Exercice combinaison

Salut!
Voici un exercice qui est bon à coup sûr (j'ai suivi scrupuleusement la méthode donnée donc normalement il n'y a pas de problèmes majeurs mais, si on peut améliorer la rédaction, pourquoi s'en priver?

Voici l'énoncé :



Soit n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.
En utilisant une combinaison judicieuse de (5n +7) et (3n -4), démontrer que :
PGCD (5n + 7 ; 3n-4) est égal à 1 ou à 41.



a = 5n + 7 -------->
b = 3n -4 --------> PGCD (a;b) = 41 ou 1

--> Soit D le PGCD de a et b :


Donc d divise aussi 3a - 5b :


-----> d sera donc égal à 41 ou égal à 1 (car 41 est un nombre premier!)

Notre combinaison judicieuse sera donc :





Pourrais-tu m'expliquer cette phrase :

Citation :

d sera donc égal à 41 ou égal à 1 (car 41 est un nombre premier!)

Ok, on a PGCD(a;b) = 41 mais pourquoi "(car 41 est un nombre premier rentre-t-il en jeu"?

Bonsoir,

La rédaction me paraît en effet plutôt bonne.

Pour répondre à ta question, il faut savoir d'après le théorème de Besout que si il existe u et v tel que a*u + b*v= p alors PGCD(a;b) divise p.

Il on a trouver u et v tel que a*u + b*v=41, en conclusion, on a bien d|41

Or 41 est premier c'est à dire qu'il n'est divisible que par 1 et par lui-même (définition-caractérisation des nombres premiers).

Donc si d divise 41, cela signifie bien que d ne peut être égale que à 1 ou à 41 vu que les seuls diviseurs de 41 sont 1 et 41.

En conclusion, d=1 ou 41.

Est-ce plus clair ainsi ?

Et si par exemple on trouvait d = un nombre pair genre 42 ça ferait quoi?

Alors là on aurait plusieurs cas.

En effet, les diviseurs de 42 sont 1, 2, 3, 7, 6, 14, 21, 42

Donc d=1 ou 2 ou 3 ou 7 ou 6 ou 14 ou 21 ou 42 vu que d divise 42.


En fait, le fait que d divise un nombre p, cela signifie qu'il peut être égale à n'importe lequel de ses diviseurs. Donc si nous n'avons pas plus de précision sur d, nous pouvons seulement conclure qu'il peut être égale à l'un des déiviseurs de p.

Est-ce plus clair ainsi?

Ok!
Merci pour cette précision et merci d'avoir vérifié