Spé : Cône et surfaces

Salut!
Me voici avec le dernier exercice de spé. sur les surfaces du plan. Ici, il y a des questions que je ne comprends pas donc, ça n'aide pas à la résolution même si j'ai su me débrouiller pour certaines choses. j'aurais donc besoin d'explications et d'un coup de main svp.
Voici l'énoncé :

On considère le cône (C) de sommet O, d'axe (Oz) et qui coupe le plan d'équation z = 2 suivant un cercle de rayon 4.
1. Quelle est l'équation du cône?
2. Soit M(x;y;z) un point du cône dont les coordonnées sont des nombres entiers.
Démontrer que x et y sont de même parité.
3. Déterminer tous les points à coordonnées entières appartenant à l'intersection du cône et du plan d'équation z = 1.
4. Soit (P) le plan d'équation y = 1 rapporté au repère orthonormal (I;i;k) avec I(0;1;0).
a. Faire un dessin en perspective de ce plan.
b. Donner dans le repère (I;i;k) l'équation cartésienne de l'intersection (H) du cône (C) et du plan (P).
c. Dans le plan (P) on considère le nouveau repère (I;u;v) avec :
u = 2i + k
et
v = -2i + k.
Déterminer l'équation de la courbe (H) dans ce nouveau repère. Quelle est la nature de (H)?

Voici mes réponses :

1. Equation d'un cône :

avec R rayon à l'altitude z = 1.
Donc :

car à z = 1 on a r = 2

2. Ici, je ne comprends pas le sens de la question...

3.

On sait que l'intersection à z=1 entre le plan d'équation z=1 et le cône (C) sera un cercle.
Sachant qu'à z = 2 son rayon r vaut 4. On fait un Produit en croix et on en déduit donc qu'à z = 1, r = 2.
L'équation d'un cercle est :
(x − a)² + (y − b)² = r² en deux dimensions.
Donc en 3 dimensions cela donne :

avec a,b et c les coordonnées du centre du cercle : C(a;b;c).
Ici, on a : C(0;0;1) donc :
(x-0)² + (y-0)² + (z-1)² = 2²
x² + y² + (z-1)² = 4
On nous demande toutes les coordonnées ENTIERES donc, sur cet ensemble défini, il faudrait épurer mais, je ne vois pas comment...

4. a.

b. Cette intersection aura la forme d'un triangle mais là, je bloque...

c. Je ne comprends pas trop... Ca donnerait ceci ?



Voilà! J'aurais donc besoin d'explications et d'aide là-dessus mais je pense que je suis parti dans la bonne voie pour les questions que j'ai commencées ou faites.
Merci d'avance!

Bonsoir,

Alors il y a quelque soucis de cours à la base. Rappel:

Équation d'un cône de révolution de sommet O et d'axe (Oz): x²+y²=Tan²(α)*z²
Avec α l'angle formé entre la droite qui engendre le cône et son axe de révolution.

Dans la question 1), tu ne peux pas utiliser des propriété de coupe pour z=1 car on ne les connaît pas à priori vu qu'on nous donne seulement la coupe de notre cône par le plan d'équation z=2 et on nous dit qu'il s'agit d'un cercle de rayon 4.

On sait donc que pour z=2, la section est un cercle de rayon 4. C'est à dire que si on muni le plan d'équation z=2, d'un repère centré au point A(0;0;2), R=(A;i,j), l'équation de notre cercle est: x²+y²=4²=16.

{x²+y²=16
{z=2

Or l'intersection du cône avec le plan d'équation z=2 est:

{x²+y²=Tan²(α)*4 (car 2²=4)
{z=2

Donc par unicité de l'intersection d'un cône avec un plan, on a:

16=Tan²(α)*4 <=> Tan²(α)=4

Par conséquent, l'équation du cône de révolution est: x²+y²=4*z²


Un autre moyen de le trouver est de calculer Tan(α) à partir des données en exhibant un triangle rectangle grâce à la coupe avec le plan z=2. En faisant un dessin, pourrais-tu en deux ligne me donner la valeur de Tan(α) ? (Il faut mieux savoir plusieurs méthode et surtout savoir cette formule là plutôt que celle que tu donnais car si on te donne l'angle au moins tu as tout de suite la bonne formule pour appliquer).

La question 2) est de dire que x et y sont soit tous les deux pairs soit tous les deux impaires (peu importe si z est pair ou impair).

Est-ce que tu as des idées sur comment aborder cette question?

Salut!
Merci pour ta réponse!
C'est bizarre dan mon cours je t'assure que j'ai la formule suivante :
x² + y² = R²z² avec R le rayon à l'altitude z = 1.

Je veux bien admettre qu'on ne te donne plus la formule avec la tangente.

Cependant, de là à poser qu'on ne peut calculer le R² que pour z=1, ce n'est pas logique du tout car comme tu le constates, le coefficient n'est pas 2 mais 4. Il n'y a pas de rapport direct entre la coupe à la côte z=2 et la côte z=1 mis à par l'équation du cône elle-même (ce que nous cherchons).

Par conséquent, tu détermines le R² à partir d'une section de plan parallèle au plan (Oxy) mais pas forcément fixé à z=1.

De plus, je trouve que la notation R² est très très très très très tendancieuse car R² est souvnet utiliser comme était le rayon au carré d'un cercle. Or ici R² n'a strictement rien à voir avec le rayon au carré d'un cercle.

EN effet, on constate que dans un plan z=a, l'équation est x²+y²=R²a² c'est à dire x²+y²=(R*a)². donc le rayon du cercle dans ce plan là est R*a et non pas R.

Je te conseille pour éviter toute erreur d'interprétation d'apprendre la formule avec un β² pour éviter tout sous-entendu. L'équation d'un cône de révolution de sommet O et d'axe de révolution (Oz) devient:

x²+y²=β²z²

Est-ce que tu comprends mieux les soucis de ta notation et le problème du z=1 (qui est absurde en fait)?

D'accord je retiendrais cette notation.
Mais alors, je fais comment pour trouver le Bêta à z = 1?

On ne trouve pas β à z=1 !!!!

Il faut absolument que tu t'enlève cela de la tête!

On trouve β à l'aide de z=a avec un a quelconque sur l'axe (Oz) du moment que le plan d'équation z=a coupe le cône et qu'on te donne le rayon du cercle représentant l'intersection.

Réfélchissons deux minutes. Tu sais comment on calcule l'intersection d'une surface avec un plan, il s'agit de résoudre le système contenant les deux équations:

{x²+y²=(β²)*z² (équation d'un cône de révolution de sommet O et d'axe (Oz))
{z=a (équation d'un plan)

On résout le système par substituation:

{x²+y²=(β*a)²
{z=a

Ce système nous dit que dans le plan z=a qu'on muni du repère orthonormé (A;i,j) avec A(0;0;a), on a l'équation d'un cercle de centre A et de rayon β*a.

Or l'énoncer nous dit que pour z=2 l'intersection avec le cône est un cercle de rayon 4. Cela signifie que pour a=2, on a β*a=4 (par unicité de l'intersection)c'est à dire β*2=4 <=>β=2

En fait, nous sommes pas forcément en routine, on peut toujours revenir à la définition del 'intersection de deux surfaces, puis en déduire ce qu'on cherche.

Est-ce plus clair ou c'est toujours flou? J'avoue qu'on ne t'a pas donné une bonne base de cours sur ce sujet à première vu à moins que ton professeur c'est borné à faire tout le cours sur un seul exemple et a jugé que vous serez tous apte à l'adapter au cas par cas de chaque exercice (et à ce moment là, il a fait une erreur, la preuve).

J'ai lu ton raisonnement et je le comprends donc c'est déjà ça de gagné.
Je reprendrais ça demain là je dois y aller.
Merci et à demain!

Pas de soucis.

C'est déjà une bonne chose en effet que tu comprennes le raisonnement en soi car au pire tu pourras toujours le refaire ua brouillon pour retrouver ce que tu souhaites.

Mais après, si tu as le moindre doute sur la conclusion ou sur un passage dans celui-ci n'hésite pas car, il ne faut surtout pas partir sur des raisonnements trop restrictif (même si, hélas, c'est écrit dans ton cours car l'exemple est ainsi rédigé) car ce sont des cas générale qui nous intéresse si on veut réellement pouvoir appliquer des méthodes à plusieurs cas possible.

Bon courage!

Je reprends :

1. Equation d'un cône :
x²+y²=β²z²
Je sais qu'à z=2 on a la base du cône qui est égal soit β=4.
Pour trouver β à z=1 à partir de z=2, je vais calculer les coordonnées de l'intersection entre le plan z=1 et le cône C :

{x²+y²=(β²)*z²
{z=a
DONC :
{x²+y²=(β*a)²
{z=a

--> Pour a=2, on a β*a=4 soit β=2 pour z=1.
Je comprends tout sauf le "comment tu passes de notre système d'équation à β=2?

Bonjour,

Tu y tiens vraiement à ton z=1. Il N'y a PAS de détermination de β par z=1!

Ici, on nous dit:

Citation :

le cône (de révolution) (C) de sommet O, d'axe (Oz) et qui coupe le plan d'équation z = 2 suivant un cercle de rayon 4

Par conséquent, la seule chose qu'on connaisse c'est l'intersection de notre cône de révolution qui a pour équation cartésienne générale: x²+y²=β²z² (car d'axe (Oz) et de sommet O) avec le plan d'équation z=2 (qui n'est en aucun cas la base de notre cône d'ailleurs vu que cela n'est pas précisé le cône est donc infini vers les z croissant).

Et cette intersection, on nous dit que dans le plan d'équation z=2, il s'agit d'un cercle de rayon 4. Par conséquent, l'intersection à pour équation:

{x²+y²=4²
{z=2

Là j'ai juste analysé les données de notre exercice et j'en ai profité pour rappeler l'équation d'un cône de révolution de sommet O et d'axe (Oz).

Tu constate que je n'ai ABSOLUMENT PAS parler d'intersection avec plan d'équation z=1 car je ne la connaît pas cette intersection tout simplement et par conséquent, je n'en parle pas. C'est bien connu, on ne parle que de ce qu'on sait ou de ce qu'on déduit en mathématique.


Maintenant que faire?

Et bien, je connaît l'intersection avec le plan z=2 et j'ai même réussi à en donner une équation. Cependant, je n'ai pas explicité de façon générale cette intersection, c'est à dire que je n'ai pas encore écrit l'intersection du cône avec le plan dans un cas générale (en utilisant l'équation générale d'un cône). Donc je l'écris:

Intersection de (C) avec (P) d'équation z=2:

{x²+y²=β²z²
{z=2

Ceci est équivalent à:

{x²+y²=(β²)*(2²)
{z=2

<=>

{x²+y²=4*β²
{z=2

Ceci est l'équation de l'intersection entre un cône de révolution de sommet O et d'axe (Oz) avec le plan d'équation z=2. Or on a vu que dans le cas de l'exercice cette intersection avec pour équation:

{x²+y²=16
{z=2


Par identification (car il y a unicité de l'équation d'une intersection par multiplication pret), on a: 4*β²=16

Conclusion, β²=4


L'équation de notre cône est donc: x²+y²=4*z²


Est-ce que c'est encore plus clair où tu as toujours pas compris pouruqoi on utilise pas de z=1 ici?

Je pense avoir compris mais, d'où vient le 16 ici :

{x²+y²=16
{z=2

??

Alors l'équation d'un cercle en dimension deux (de centre O et de rayon r) est:

x²+y²=r²

Ici, r=4 dans le plan z=2. Par conséquent:

Pour cette intersection, on nous dit que dans le plan d'équation z=2, il s'agit d'un cercle de rayon 4. Par conséquent, l'intersection à pour équation:

{x²+y²=4²
{z=2

On peut mettre la valeur du rayon à n'importe quelle altitude?
Par exemple si à z = 5 on avait r = 50 on aurait 50²?

Soyons logique.

Si on te dit que le plan d'équation z=5 coupe ton cône en suivant un cercle de rayon r=50.

Cela signifie que l'intersection dans le plan en question est un cercle et à donc pour équation: x²+y²=50²

Donc l'intersection s'écrit:

{x²+y²=50²
{z=5

Or ton cône de révolution de sommet O et d'axe (Oz) à pour équation x²+y²=β²z² et par conséquent l'intersection avec un plan d'équation z=5 est:

{x²+y²=(β²)*5²
{z=5

On identifie les deux systèmes et on en déduit que: 50²=25*β² <=> β²=50²/25. On conclut que notre côneà pour équation:

x²+y²=(50²/25)z²


C'est un principe simple en fait de détermination d'intersection. Donc si tu pose que ton cône est coupé par un plan d'équation z=a suivant un cercle de rayon r, alors tu auras r²=(β²)*a² <=> β²=r²/a²

Et c'est ce cas général là ou tout du moins la méthode de détermination de l'équation d'un cône par la donnée de la coupe avec un plan qu'il faut retenir.

Est-ce que ça commence à être plus logique pour toi?

Je pense avoir tout saisi cette fois-ci.
Je reprends :

1. Un cône a pour équation :


On sait que le plan d'équation z = 2 coupe notre cône en un cercle de rayon 4.
L'équation d'un cercle est :
x² + y² = r² donc :
x² + y² = 4² --> x² + y² = 16

J'ai donc le système d'équation suivant :

{x²+y² = (β²)*z²
{x² + y² = 16
Donc :
(β²)*z² = 16 avec z = 2
(β²)*2² = 16
(β²)*4 = 16
(β²) = 16/4 = 4
β = 2
DONC :
Le cône C aura pour équation :

Tu peux t'arrêter à β²=4 cela suffit car c'est la valeur de β² qui nous intéresse pour avoir l'équation du cône

Sinon d'un point de vu pratique, tu as constaté par toi même qu'il manquait quelque chose à ton système pour pouvoir continuer lorsque tu as écrit:

Citation :

{x²+y² = (β²)*z²
{x² + y² = 16
Donc :
(β²)*z² = 16 avec z = 2

Il serait plus simple voire même cohérent de le dire dès le début. En effet, on se place dans le plan z=2 et on compare les deux équation de coupe qu'on a (l'une théorique et l'autre donnée par les données de l'exercice). Par conséquent, on a le système:

{x²+y² = (β²)*z²
{x² + y² = 16
{z=2

Ainsi, tu as tout en main directement. D'ailleurs d'un point de vu logique cette fois-ci je ne parlerai pas de système pour ma part. Pourquoi?

CAr l'idée est de calculer l'équation de l'intersection de deux façon différente et de mettre en évidence qu'il s'agit des mêmes équations pas unicité de la découpe ce qui nous amène donc à faire plus une identification des termes (comme on identifie les coefficients d'un polynôme si t'aime mieux) qu'à la résolution d'un système en soi.

Cependant, on comprend bien l'idée que tu avances mais quitte à ne pas marquer d'erreur autant dire qu'on dans le plan z=2 l'équation d'intersection avec le cône suivantes:

x²+y² = (β²)*2² et x² + y² = 16

Et celle-ci doivent être identique.

Par conséquent, (β²)*2²=16.

Ce sont des détails mais bon quitte à remettre à plat les choses autant que ce soit mis à plat aussi au niveau logique et enchainement des idées. Normalement, cela devrait être de plus en plus clair pour toi.

Si c'estl e cas, nous pouvons passer à la question 2) où tu en comprends pas la question ou plutôt ce que tu dois faire, je pense. En fait "avoir même parité" signifie "être pairs tous les deux" ou "être impairs tous les deux". Donc si on suppose l'un pair, on trouve l'autre pair aussi et sinon, on le suppose impair et on doit montrer que l'autre est impair.

Bon courage!

1. Un cône a pour équation :


On sait que le plan d'équation z = 2 coupe notre cône en un cercle de rayon 4.
L'équation d'un cercle est :
x² + y² = r² donc :
x² + y² = 4² --> x² + y² = 16

Donc :

{x²+y² = (β²)*z²
{x² + y² = 16
{z = 2
Donc :
x²+y² = (β²)*2² et x² + y² = 16
(β²)*z² = 16
(β²)*2² = 16
(β²)*4 = 16
(β²) = 16/4 = 4
DONC :
Le cône C aura pour équation :


2. Je dois prouver que x et y sont tous deux paris ou impairs.
Un nombre pair se note 2ⁿ et un nombre impair se note 2ⁿ + 1.
Je vais donc remplacer x par 2ⁿ dans l'équation de notre cône et voir ce qu'on va trouver :

(2ⁿ)² + y² = 4 * z²
Je suis bien parti là?

Pour la 1) c'est ok!

Pour la 2), attention à ne pas confondre une puissance de 2 et être pair. En effet, 6 est pair car il est divisible par 2 c'està dire qu'il s'écrit sous la forme 2*3.

Rappel: Un entier pair s'écrit sous la forme 2*n avec n un entier.

De même, 7 est impair mais ce n'est pas une puissance de 2 plus 1. En effet, 7 n'est pas pair car il n'est pas divisible par 2 car 7=2*3+1.

2*3 est divisible par 2 mais 1 ne l'est pas. Par conséquent, 2*3+1=7 n'est pas divisible par deux.

Rappel: Un entier impair s'écrit sous la forme 2*n+1 avec n un entier.

Je te laisse rectifier ton erreur.

Bon courage!

2. On doit prouver que x et y des coordonnées de M(x;y;z) ont même parité.
Un nombre pair s'écrit 2*n avec n entier et un nombre impair s'écrit 2*n + 1
DONC :
Je vais donc remplacer x par 2*n dans l'équation de notre cône et voir ce qu'on va trouver :

(2*n)² + y² = 4 * z²
4n² + y² = 4z²
??

Bonjour!

On pose donc x=2*n c'est à dire que x est pair. Et le but est donc de trouver que y est pair c'està dire que y=2*p avec p un entier.

On a donc après calcul: 4n²+y²=4z²

On veut y, il fait donc isoler y² pour déduire y en espérant qu'on arrive à faire sortir un facteur 2 pour montrer que y est bien pair.

Bon courage!

On doit prouver que x et y des coordonnées de M(x;y;z) ont même parité.
Un nombre pair s'écrit 2*n avec n entier et un nombre impair s'écrit 2*n + 1
DONC :
Je vais donc remplacer x par 2*n dans l'équation de notre cône et voir ce qu'on va trouver :

(2*n)² + y² = 4 * z²
4n² + y² = 4z²
y² = 4z² - 4n² = 4(z² - n²)
y = 2Racine(z² - n²) = 2(z - n)
--> On a deux en facteur donc, y est forcément pair.

Je fais la même chose en remplaçant x par 2*n + 1 :

(2n + 1)² + y² = 4 z²
(2n+1)(2n+1) + y² = 4z²
4n² + 4n + 1 + y² = 4z²
y² = 4z² -4n² -4n -1
y² = 4(z² -n² -n -1/4)
y = 2Racine(z² -n² -n -1/4)
y = 2(z -n -Racine(n) - 1/2)
--> On a deux en facteur donc, y est forcément pair.

On a donc la même parité!

Bonjour,

Il y a un soucis dans les eux calculs. En effet, dans le premier calcul, tu écris:

Citation :

y = 2Racine(z² - n²)

Lorsqu'on prend une racine carré, il faut vérifier si ce qu'il y a au-dessous de la racine est bien positif dans un premier temps. Ici c'est bien le cas car, on sait que:

x²+y²=4*z² ce qui veut dire que x²≤4z²

Donc si on pose x=2n, on a bien 4n²≤4z² <=> 0≤4*(z²-n²).

Ensuite, il y a une autre erreur dans ta série d'égalité et le pire c'est qu'une erreur comme celle-ci te ferait perdre toute ta crédibilité face à un correcteur. En effet, tu écris:

Citation :

2Racine(z² - n²) = 2(z - n)

Ce qui est complètement faux. En effet, la racine carrée d'une soustraction n'a jamais été égale à la soustraction des racines carrées!!


Enfin, il y a un soucis car tu dois montrer que y est pair c'est à dire qu'il existe un entier naturel p tel que y=2*p. Or comment tu montres qu'en passant à la racine carrée que Racine(z²-n²) est un entier naturel? Car sans cela, nous ne pouvons pas conclure.

Il y a donc une autre façon de faire pour conclure à partir de cette égalité là: y²=4*(z²-n²) sachant que z et n sont des entiers naturels tel que n²≤z².


Ton deuxième calcul contient les mêmes erreurs à ceci près que tu n'arrives pas à la bonne conclusion car si tu suppose x impair, tu devrait trouver y impair vu que x et y doivent avoir la même parité.

Mais regardons déjà comment faire le premier cas où x est pair. Dans un premier temps, y² est divisible par quoi? Et ensuite quel théorème allons-nous utilisé pour conclure que y est pair?

Bon courage!

(2*n)² + y² = 4 * z²
4 + n² + y² = 4 * z²
y² = 4z² -4 -n²
y² = 4(z² - 1) -n²

Je ne vois pas comment faire...

Allons-y doucement car là tu fais une erreur d'inattention:

Citation :

(2*n)² + y² = 4 * z²
4 + n² + y² = 4 * z²

Il n'y a pas de "+" ici car (2*n)²=(2²)*(n²)=4*n² tout simplement comme tu l'avais fait la première fois.

On arrive donc à y²=4*(z²-n²).

Il faut savoir dans un premier temps si cette égalité à un sens c'est à dire si z²-n² est bien un entier naturel.
Or nous savons que z et n sont des entiers naturels. Donc z²-n² est un entier relatif (c'est à dire un entier positif ou négatif)

Donc pour montrer que z²-n² est un entier naturel, il nous reste juste à montrer que z²-n² est bien positif ou nul.
Or nous avons pris un point du cône dont les coordonnées sont entière, nous savons donc que x²+y²=4z². Par conséquent, x²≤4z²

Nous avons posé x=2n avec n un entier naturel et donc x²=4n².

Donc 4n²≤4*z² <=> n²≤z² <=> 0≤z²-n²

Est-ce que jusque là c'est clair au niveau de la démarche? On en conclut donc que z²-n² est bien un entier naturel.

Quels sont les diviseurs de y² que tu peux déduire de cette égalité (y²=4*(z²-n²)) ?

(2*n)² + y² = 4 * z²
4n² + y² = 4 z²
y² = 4*(z²-n²)

A partir de là,

Citation :

Or nous avons pris un point du cône dont les coordonnées sont entière, nous savons donc que x²+y²=4z². Par conséquent, x²≤4z²

je bloque...