Equation différentielle

Bonjour,

toujours des problèmes de maths dans la physique :

Lors de l'étude d'un certain système usant d'un condensateur, j'obtiens l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension Vs aux bornes du condensateur:

u0(t) = Vs + R.C.dVs(t)/dt avec u0(t) = R.I0.exp(-t/τ), et R.C=k.τ avec k une constante réelle positive.

On a vu que pour résoudre une telle équation, il fallait chercher une solution particulière, puis une solution homogène et faire la somme des deux.

Le problème c'est que dans le cours, la solution particulière était une constante, facile à trouver. Or ici u0(t) varie en fonction du temps. Comment faire pour trouver cette solution particulière ?

Bonjour,

Pour résoudre des équation différentielle linéaire du première ordre à coefficient non constant, on n'a pas de formule toutes faites mis à part le raisonnement que tu as écrit c'est à dire qu'on doit trouver une solution particulière et une solution de l'équation différentielle homogène (c'est à dire sans second membre).

Pour résoudre l'équation différentielle sans second membre il y a des méthodes qui existe mais pour trouver une solution particulière cela dépend exclusivement de la forme du second membre.

En effet, s'il s'agit d'une équation différentielle à coefficients constant, on va chercher une solution particulière sous la forme d'une constante tout simplement.

A partir du moment où les coefficients ne sont plus constants, il y a quelque difficulté à trouver la forme de la solution particulière. Cependant, on peut utiliser une méthode qui s'appelle la variation de la constante c'est à dite considéré une solution de la forme λ(t)*(Solution de l'équation homogène). C'est une technique lourde qu'on aime bien éviter lorsqu'on le peut mais dans ton exemple c'est exactement cela qu'il faut faire en fait pour expliciter une équation différentielle en λ(t) vu qu'on sait que l'ensemble des solutions de l'équation homogène est un espace vectoriel, donc tout ce qui dépend de la solution de cette équation va finir par disparaître dans les calculs pour nous laisser une équation "simple" à la fin.

Sinon, lorsqu'on a un polynôme en second membre, on peut cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme par exemple. Lorsqu'il s'agit d'une fonction trigonométrique ou d'une exponentielle, on peut utiliser la variation de la constante ou la forme P(x)*Solution avec P un polynôme d'un degré adéquat pour que cela puisse fonctionner.

En tout cas, lorsqu'on est bloqué, il faut se souvenir que le seul moyen sensiblement viable c'est la méthode de la variation de la constante pour trouver les solutions. Je te laisse voir comment la méthode se comporte sur ton exemple.

Bon courage!

Ok merci j'ai à peu près compris la méthode. Mais en fait dans l'exercice le prof nous a dit qu'il suffisait juste de vérifier que la solution proposée marchait bien (solution de l'équa diff et vérifiant les conditions inititales).

Bonjour,

Vu coment tu posais ton exercice, il était pour moi quasiment impossible de savoir que tu possédais la solution de l'équation différentielle en question. Car en effet, lorsqu'on dispose de la solution d'une équation différentielle, la vérification que cette solution marche suffit pour répondre à la question.

Mais cela n'est pas valable dans tous les cas. EN effet, ici cela doit suffir car tu possèdes les conditions initiales de la solution de l'équation différentielle. Par conséquent, tu es dans les conditions du problème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires du premier ordre c'est à dire que tu possèdes une équation différentielle linéaire du première ordre avec une condition initiale ce qui permet d'avoir l'unicité de la solution.

Bon courage pour la suite!