[PCSI] Fonctions usuelles (1)

Me revoilà avec un nouveau DM à rendre pour demain. =D

Alors:

[quote="Exo 1"Soit n€N, n 2. Montrer que:

|cosⁿ(x) + sinⁿ(x)| ≤ 1 pour tout x€R.

L'inégalité est-elle vraie pour tout x réel lorsque n=1?[/quote]

Donc pour celui-ci, j'ai d'abord essayé une récurrence mais j'ai pas réussi. Puis voici ce que j'ai tenté:

La fonction puissance est décroissante sur [-1;1], donc:

-1 ≤ cosⁿ(x) ≤ cos²(x) ≤ 1
-1 ≤ sinⁿ(x) ≤ sin²(x) ≤ 1

On additionne les inégalités membre à membre:

cosⁿ(x) + sinⁿ(x) ≤ 1 car cos²(x)+sin²(x) = 1

Et ensuite viens le souci, je sais pas si j'ai le droit d'appliquer la valeur absolue vu que je connais pas le signe de ce à quoi je l'applique...

Et l'inégalié n'est pas vraie pour n=1 car: par exemple cos(pi/4) + sin(pi/4) = √2 >1

Bonsoir Nakor,

Démontrer une inégalité avec une valeur absolue c'est en fait démontrer deux inégalités qui sont ici:

-1≤Cosⁿ(x)+Sinⁿ(x) et Cosⁿ(x)+Sinⁿ(x)≤1

Sinon, j'ai un doute sur la propriété que tu utilises. En effet, par exemple -1<-1/2<1 par de problème mais (-1/2)²=1/4>-1/2 !!

Grâce à cette remarque là, tu va peut-être justement comprendre pourquoi il y a les valeurs absolus et d'où viennent les deux inégalités .

Bon courage!

ps: n'oublie pas que par 2pi-périodicité, on peut restreindre l'intervalle d'étude

Mais ouiiiiii. xD

Donc en fait je montre les deux inégalités à l'aide de ma méthode (fonction puissance décroissante sur [-1,0] et croissante sur [0,1])et ça montre que la valeur absolue du truc est inférieure à 1 ?

Encore une question sur ta dernière remarque: est-ce vraiment utile ici de restreindre l'ensemble d'étude ?

Ah non je suis toujours embêté...

Bon j'ai dit n'importe quoi.

Mais si on revient à mon premier raisonnement, c'est juste l'inégalité nan ?

Puisque uⁿ ≤ u ² pour tout u entre -1 et 1 nan ?

Bon restreindre l'intervalle d'étude n'a pas trop d'importance (même-ci en fait, il faudrait dire pour quelle valeur de x nous sommes entre tel ou tel portion de [-1;1] mais bon mettons ceci de côté pour l'instant).

Oui en effet, avec le carré, l'inégaltié est juste tout le temps pour n>1. On a même mieux:

|Cosⁿ(x)|≤Cos²(x) pour toute valeur de x et pour tout n>1. Et nous avons la même chose pour le Sinus.

Mon raisonnmeent était erroné à cause de la puissance 2 en fait, j'ai tappé mon aide beaucoup trop vite (j'allais manger en fait xD).

Donc, maintenant, qu'on a rétabli celà, est-ce qu'on ne pourrait pas directement conclure du coup??

Ouais jcrois qu'on pourrait conclure avec l'inégalité triangulaire après.

Mais le truc c'est que j'ai loupé 3h30 de maths et j'ai tjs pas rattrapé le cours (avec un DS mercredi ça va donner^^). Donc je sais pas exactement ce qu'on a fait sur les fonctions puissances etc. Il me semble que mes camarades ont écrit Cosn(x)≤Cos²(x) aussi, donc ça doit être issu du cours. Mais ensuite avec la valeur absolue, ça parait logique mais comment ça se fait ?

En fait, Cosⁿ(x)≤Cos²(x) c'est immédiat pour n≥2 comme tu l'as dit car 1≥Cos²(x)≥0 (et on applique avec alpha=n-2, c'est pour cela que ça marche!).

Pour l'autre côté, il faudrait montrer que -Cos²(x)≤Cosⁿ(x). Mais en fait -1≤-Cos²(x)≤0, donc là, lorsqu'on va appliquer la puissance alpha=n-2, on aura une croissance.

Donc -Cos²(x)≤(-1)^n-2Cosⁿ(x) (car n-2+2=n)

Or (-1)^n-2Cosⁿ(x)≤Cosⁿ(x). D'où le résultat.

Normalement, là c'est bien rédigé.

Est-ce plus clair? Est-ce que tu comprends mieux pourquoi, je parlais tout à l'heure de deux cas de figure [-1;0] et [0;1]? La fonction puissance ne fonctionne pas de la même façon.

Bon courage!