Angles et trigonométrie: Formules.

Bonjour à tous, je rencontre quelque difficultés avec mon exercice de math!
J'ai besoin de votre aide!
Voici l'énoncé:

1°) Simplifier π-(π/10) ; π-(2π/5) ; π/2-π/10 .

2°) Calculer (sans l'aide de la calculatrice) :
A = cos(π/10) + cos(2π/5) + cos(3π/5) + cos(9π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(11π/10) + sin(7π/5) + cos(8π/5) + sin(19π/10)
C = sin(2π/5) + sin(4π/5) + sin(6π/5) + sin(8π/5)

(Il n'est pas nécessaire de connaitre les lignes trigonométrique de /10, ni de /5 pour faire ces calculs).


Voici les résultats que j'ai trouvé:

1°) π-(π/10) =9π/10
π-(2π/5) = 3π/5
π/2-π/10 = 4π/10 soit 2π/5

2°) A = 0. (Je peux vous refaire le calcule si vous en avez besoin, mais comme il est assez long, je met directement le résultat)
B = ??
C = ??

Je bloque sur le 2°) B et C, J'ai besoin d'aide s'il vous plaît..

Merci d'avance!

Bonsoir et bienvenue parmi nous Émeline!

La première question est tout à fait juste!

Sinon, il faut se souvenir ou le retrouver grâce au cercle (ou encore refaire les calculs pour s'en convaincre rigoureusement) que:

Cos(π-a)=-Cos(a)
Cos(π/2-a)= Sin(a)

Sin(π-a)=Sin(a)
Sin(π/2-a)=Cos(a)

Et avec cela, ton premier calcul qui fait en effet 0, ce calcul beaucoup plus rapidement:

A= Cos(π/10) + Cos[π/2-π/10] + Cos[π-2π/5] + Cos[π-π/10]= Cos[π/10] + Cos[2π/5] - Cos[2π/5] - Cos[π/10] (j'ai laissé le deuxième terme lorsque j'ai vu apparaître le -Cos[2π/5], ce qui me permet l'annulation direct ).
Donc A=0 nous sommes d'accord.

Maintenant pour B c'est le même principe mais il faut commencer par exprimer 11π/10, 7π/5, 8π/5 et 19π10 en fonction de π/10 ou 2π/5, sinon nous n'allons pas pouvoir nous en sortir.

Alors comment décomposer 11π/10 en fonction de π/10 ? Et mêem question pour les 3 autres termes.

Bon courage!

& bien..
Cos11π/10 = Cos(π + π/10) = Cos(π/10) ??
Sin7π/5 = Sin(π + 2π/5) = Sin(2π/5) ??
Cos8π/5 = Cos(π + 3π/5) = Cos(3π/5) ??
Sin19π10 = Sin(π + 9π/10) = Sin(9π/10) ??

Alors ça:

Citation :

Cos(11π/10) = Cos(π + π/10)
Sin(7π/5) = Sin(π + 2π/5)
Cos(8π/5) = Cos(π + 3π/5)
Sin(19π/10) = Sin(π + 9π/10)

c'est excellent!

Après, faut faire attention, car là on additionne donc ça change un peu les résultats:

Cos(π+a)=-Cos(a)
Cos(π/2+a)=Sin(a)
Sin(π+a)=-Sin(a)
Sin(π/2+a)=-Cos(a)

Je te laisse refaire les calculs si tu veux en développant grâce au formule Cos(a+b) et Sin(a+b).

Et maintenant, il nous reste à mettre les mains dans le cambouis pour faire les calculs du B et du C avec tout ça .

Bon courage!

B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(11π/10) + sin(7π/5) + cos(8π/5) + sin(19π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(π + π/10) + sin(π + 2π/5) + cos(π + 3π/5) + sin(π + 9π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10)
B = 2cos(π/10) + 2sin(2π/5) + 2cos(3π/5) + 2sin(9π/10)
(Formules de dupplication..)
B = [cos²(π/10) - sin²(π/10)] + [2sin²(2π/5) x 2cos²(2π/5)] + [cos²(3π/5) - sin²(3π/5)] + [2sin²(9π/10) x 2cos²(9π/10)]
B = [2cos²(π/10) - 1] + [2sin²(2π/5) x 2cos²(2π/5)] + [2cos²(3π/5) - 1] + [2sin²(9π/10) x 2cos²(9π/10)]
B = [1 - 2 sin²(π/10) - 1] + [2sin²(2π/5) x 2cos²(2π/5)] + [1 - 2 sin²(3π/5) - 1] + [2sin²(9π/10) x 2cos²(9π/10)]

C'est bon jusque là ? Parce que je n'ai pas envie de me lancer dans quelque chose qui n'est même pas bon..

Alors c'est faux dès la troisième ligne .

En effet, tu as mis que Cos(π+π/10)=Cos(π/10) mais ce n'est pas exacte ça!

Cos(π+π/10)=Cos(π)Cos(π/10)-Sin(π)Sin(π/10)=-Cos(π/10)

Relis mon dernier message avec les correspondances entre Cos(π+a), .... car j'ai l'impression qu'il te manque quelque signe "-" un peu partout pour le coup.

Bon courage!

Aaah Oui, complètement..

Bon, on recommence tout !

B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(11π/10) + sin(7π/5) + cos(8π/5) + sin(19π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) + cos(π + π/10) + sin(π + 2π/5) + cos(π + 3π/5) + sin(π + 9π/10)
B = cos(π/10) + sin(2π/5) + cos(3π/5) + sin(9π/10) - cos(π/10) - sin(2π/5) - cos(3π/5) - sin(9π/10)
B = 0 ??

Cela t'étonne tant que ça? .

Sachant qu'à la base, on nous dit explicitement qu'on ne connaît pas la valeur des cosinus et des sinus de π/10 et qu'on n'a pas le droit d'en donner des valeurs approchées à la calculatrice, je dirai qu'en toute logique, cela ne pouvait faire que 0 .

Je pencherai encore pour un joli 0 pour le dernier résultat mais essayons de voir ce que cela va donner en faisant le calcul .

Alors la première chose est d'arranger les termes qu'on ne connaît pas encore en fonction de π/10, 2π/5 avec la même optique que pour la B en fait.

Bon courage!

Alors:

C = sin(2π/5) + sin(4π/5) + sin(6π/5) + sin(8π/5)
C = sin(π-3π/5) + sin(π-π/5) + sin(π+π/5) + sin(π+3π/5)
C = -sin(3π/5) -sin(π/5) -sin(π/5) -sin(3π/5)

Maais ça ne fais pas zéro..

Attention de ne pas confondre π+a et π-a .

Sin(π-3π/5)=Sin(π)Cos(3π/5)-Cos(π)*Sin(3π/5)=+Cos(3π/5)

Je te laisse revoir tes calcus et à la rigueur, il faudrait que tu retrouves les résultats que je t'es montré à la main pour t'en convaincre ça éviterait les erreur je pense.

Bon courage!

Ooooook !
J'ai compris!
Donc :
C = sin(2π/5) + sin(4π/5) + sin(6π/5) + sin(8π/5)
C = sin(π-3π/5) + sin(π-π/5) + sin(π+π/5) + sin(π+3π/5)
C = sin(3π/5) sin(π/5) -sin(π/5) -sin(3π/5)
C = 0

En faite, je me mélangeais entre les formules des Cos et des Sin.
Maintenant j'ai bien compris et bien enregistrée que:
Cos(π-a)=-Cos(a)
Cos(π+a)=-Cos(a)

Sin(π-a)=Sin(a)
Sin(π+a)=-Sin(a)

Nickel!

Et comme par hasard, on trouve 0. On pourrait résumer le fait que c'est un exercice nul .

Bon courage pour la suite!

Merci Bcp bcp bcp bcp!
J'reviendrais sur ce Forum si je rencontre d'autres problèmes parce que c'est vraiment le Meilleur de tous ceux que j'ai connu. Vous répondez rapidement et surtout, vous ne donnez pas les réponses comme ça, vous m'aider (c'est un peu le but d'un forum, mais trop souvent, les gens vous donnent les réponses comme ça sans aucune explication). Merci Bcp en tous cas!