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 [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique

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Cogi



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MessageSujet: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Ven 16 Avr - 15:06

Bonjour à tous Smile

Voilà, j'ai un petit souci sur un exercice :/

Par avant, j'ai trouvé ceci :



On me demande ensuite de déduire de la variation de f sur ]-pi;pi] le nombre de solution de f(x)=0 sur ]-pi;pi]
Il s'agit puis donc de -pi/3 et de pi/3.

Ensuite, on me demande d'en déduire le nombre de solutions de sin x = 1/2x sur ]-pi;pi]

Mais je n'ai aucune idée de comment procéder.
Merci de votre aide Smile
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Ven 16 Avr - 18:25

Bonsoir et bienvenue parmi nous Cogi!

Je vais avoir un petit soucis pour t'aider avec les informations que tu donnes. En effet, tu as omis de me donner la fonction F dont tu mets le tableau de variations.

En effet, la question que tu poses commence par "En déduire", par conséquent, elle est complètement liée aux questions précédentes que je ne connais pas dans leur totalité vu qu'il me manque la dite fonction pour l'instant.

Merci d'avance!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Ven 16 Avr - 18:52

Bonsoir Smile

Oui effectivement ><

f(x)= sin x - 1/2x = 0
soit f'(x) = sin x - 1/2
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Ven 16 Avr - 18:57

C'est plus pratique ne effet.

Donc la fonction F est tel que pour tout réel x, on ait: F(x)=Sin(x)-(1/2)x

Tu as donc déduit le tableau de variation de cette fonction ainsi que les points d'annulation de la dérivée.

Maintenant, on te demande tout "simplement" d'utiliser ton tableau de variation pour déduire les solution de l'équation Sin(x)=(1/2)*x. Mais cette équation ne te rappelle rien en fait? Essaie de voir le lien avec la fonction F.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 9:42

F(x)=Sin(x)-(1/2)x
et
Sin(x)=(1/2)*x

On a juste fait passer (1/2)*x de l'autre côté.
Je vois bien que les solutions de F sont les solutions de Sin(x)-(1/2)x, mais pour arriver à l'équation j'avoue que je ne vois pas.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 11:28

Bonjour,

Il s'agit des solutions de quelle équation? Le but ici est de bien mettre en forme la démarche arrivant au résultat.

En effet, nous devons résoudre l'équation Sin(x)=(1/2)*x. Mais nous ne connaissons rien a priori sur cette équation.
Or nous avons fait tout une étude sur la fonction F qui est définie pour tout réel x par F(x)=Sin(x)-(1/2)*x.

Il va donc falloir utiliser l'étude de cette fonction pour pouvoir conclure et donc trouver les solution de notre équation.

La première chose à faire c'est d'essayer de réécrire la question qu'on nous pose en fonction de la fonction F. En effet, à partir du moment où la question sera ré-interprétée à l'aide de la fonction F, nous pourrons utiliser toutes les questions du dessus. Et c'est là que le "en déduire" prendra tout son sens d'ailleurs.

Alors comment réécrire la question "Résoudre dans R, l'équation Sin(x)=(1/2)*x" en faisant intervenir la fonction F?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 12:15

f(x)= sin x - (1/2)x
donc f(x) + (1/2)x = sin x

Franchement je suis à l'ouest je crois... Sad
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 12:24

Tu ne prends pas le problème dans le bon sens, je pense.

Nous voulons résoudre Sin(x)=(1/2)*x pour x dans R. Pars de cette expression là et essaie de voir le lien avec la fonction F à partir de là et non l'inverse.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 12:37

sin x = (1/2)x donc sin x - (1/2)x = 0 = f(x)
Donc sin x - (1/2)x et f(x) ont les mêmes solutions.
Ce qui voudrait dire que x à la même valeur pour les deux non ?
Soit pi/3 soit -pi/3, or sin pi/ 3 n'est pas = à 1/2 (pi/3) :/
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 12:48

Alors attention à ne pas tout vouloir résoudre ne même temps Wink.

Donc ta démarche est bonne dans un premier temps. C'est à dire que de résoudre l'équation sur ]-Pi;Pi] (je mettais R tout à l'heure car cela ne changeait rien mais réduisons notre intervalle à celui de notre exercice) Sin(x)=(1/2)*x revient à résoudre sur ]-Pi;Pi], l'équation F(x)=0.

Maintenant, nous sommes donc amenés à résoudre l'équation sur ]-Pi;Pi], F(x)=0.

Donc nous pouvons utiliser tout ce qu'on a fait au-dessus c'est à dire l'étude de fonction et le tableau de variation qui en découle.

Mais première question, Quelle quantité s'annule en Pi/3 et -Pi/3 ? La fonction F? Sa dérivée?

Essaie d'utiliser le tableau de variation sachant qu'on cherche à résoudre une équation vérifiée par F (ici, F(x)=0). Donc on cherche ici, pour quelle(s) valeur(s) de x sur ]-Pi;Pi], la fonction F s'annule.

Est-ce que cela est plus clair au niveau de la démarche?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 13:03

Merci de ta patiente et de ta précision Smile

Pour x = Pi/3 et x= -Pi/3, s'annule la fonction f, sa dérivée et donc sin x - (1/2)x
donc f(x) = 0 lorsque x = pi/3 ou x = -pi/3
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 13:08

Alors, il n'y a qu'un moyen de te convaincre de ton erreur alors:

F(Pi/3)=Sin(Pi/3)-(1/2)*(Pi/3)

Or Sin(Pi/3)= Racine(3)/2

Donc F(Pi/3)=Racine(3)/2 - Pi/6 qui est différent de 0

Est-ce que tu comprends le soucis du coup? Les valeurs que tu exposes sont les valeurs d'annulation de la fonction F' (F'(x)=Cos(x)-1/2) ). Mais les valeurs qui annulent la dérivée n'annule pas forcément la fonction elle-même (il s'agit même de cas plutôt très précis où la dérivée s'annule au moins point que la fonction).

Pourrais-tu finir de remplir le tableau de variation de ta fonction F? C'est à dire donner des valeurs approximatives aux bornes de l'intervalle ainsi qu'aux points particuliers (changement de variations).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 13:17

Donc si je comprends bien, quand on me demande le nombre de solutions de f(x)=0 sur ]-pi;pi], c'est faux d'écrire "2: pi/3 et -pi/3" ? Car c'était ma réponse à cette question --' Une valeur d'annulation n'est pas une solution ? auquel cas j'ai encore un problème qui s'ajoute >< A moins que ces solutions soient toutes celles comprises dans l'intervalle ]-pi/3;pi/3[ peut-être?

Pour les bornes, je t'avoue que je n'ai jamais su les calculer, même approximativement :/
Il faut utiliser la calculette et zoomer sur la courbe ?
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 14:07

Oups en effet, je n'avais pas bien lu:

Citation :
On me demande ensuite de déduire de la variation de f sur ]-pi;pi] le nombre de solution de f(x)=0 sur ]-pi;pi]

Et toi aussi, tu as du mal lire Wink. En effet, on ne te demande pas les solutions exactes (c'est à dire la valeur de x) de l'équation F(x)=0 mais le nombre de solutions de cette équation sur l'intervalle ]-Pi;Pi].

En fait, au vu même de la question, il serait peu probable que tu en déduises les valeurs exactes des solutions. Par contre, d'après le tableau de variation, nous sommes capable en le lisant (simplement le lire en fait) de savoir combien de fois F(x) va s'annuler.

Mais pour cela, il faut calculer les images des valeurs présentes dans le tableau de variation c'est à dire les bornes de l'intervalles (-Pi et Pi) ainsi que les point d'annulation de la dérivée c'est à dire -Pi/3 et Pi/3.
C'est quatre valeurs là caractérise en grande partie notre fonction car les deux valeurs du bord nous donne l'intervalle d'étude de notre fonction (surtout pour une fonction périodique tel que le sinus ou le cosinus , cela est primordiale de savoir sur quel intervalle nous allons travailler) et les valeurs d'annulations de la dérivée nous donne les valeurs auxquelles il y a changement de variation de la fonction (cela peut nous permettre de visualiser le maximum ou le minimum de la courbe par exemple et c'est pour cela qu'ils sont important ces points là).

Ici, ce qui nous intéresse ce n'est pas la valeur exacte des images mais simplement leur signe vu qu'on cherche des points d'annulation. En effet, tu n'as pas encore le théorème en main mais essayons simplement de le comprendre de façon intuitive. Nous avons ici une fonction qui se trace d'un seul trait c'est à dire qu'elle est continue et bien définie sur notre intervalle. Et par conséquent, s'il y a une valeur pour laquelle la fonction est négative et une autre pour laquelle la fonction est positive, il va bien falloir à un moment où à un autre qu'on passe par la valeur 0.

Visuellement parlant si nous sommes au-dessous de l'axe des abscisses pour une valeur puis au-dessus de celle-ci pour une autre valeur, nous allons bien à un moment traverser cette axe et donc prendre la valeur 0.

Est-ce que cela te paraît clair? Sinon, n'hésite pas à poser tes questions surtout.

Donc ici, le but est de simplement en regardant le tableau de variation complètement rempli (avec toutes les valeurs approximative des points particuliers), de savoir combien de fois nous allons avoir une image égale à 0.

Nous verrons la question d'après par la suite du coup.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 14:18

Cette fonction passera donc deux fois par 0, à pi/3 et -pi/3, en étant négative en ]-pi;-pi/3[ et ]pi/3;pi] ainsi que positive en ]-pi/3;pi/3[ ! Mais le nombre de solution doit-il etre un intervalle ? celui lorsque la fonction est positive ou ceux lorsqu'elle est négative ?

Par contre, par quel calcul trouve-t-on les bornes (ou points particuliers) ?

Mon problème est aussi méthodique, j'ai l'impression d'ouvrir plein de tiroirs, mais de ne pas savoir quoi choisir dedans...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 14:45

J'ai l'impression surtout que la notion d'étude de fonction n'est pas très bien comprise. Reprenons les choses à leur base ça sera plus simple et surtout moins flou je l'espère.

Une fonction F est caractérisée par l'image d'un point x dans un intervalle adapté, on écrit cette image F(x).

A partir de là, que souhaitons-nous faire de cette fonction? Et bien on aimerait bien savoir par exemple sur quel ensemble nous allons pouvoir l'étudier, c'est ce qu'on appelle l'ensemble de définition d'une fonction (c'est un pléonasme en fait mais je n'entre pas dans les détails de vocabulaire ici).

Donc la première chose à se demander lorsqu'on étudie une fonction c'est e savoir sur quoi nous allons l'étudier ce qui revient donc à chercher les valeurs de x pour lesquelles la fonction F admet une image. Par exemple, lorsque la fonction F est définie comme une fraction, il faut faire attention au fait qu'on n'a pas le droit de diviser par 0. De même lorsqu'il y a une racine carrée, il faut faire attention à ne pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Et à partir du moment où nous avons enfin trouver l'ensemble sur lequel nous allons étudier notre fonction, qu'est-ce qu'on appelle "étudier notre fonction"??

Et bien l'étude d'une fonction revient à la recherche de ce qui caractérise la fonction. Mais pour cela, il faut déjà avoir une notion supplémentaire d'une fonction qui est la représentation graphique d'une fonction. Qu'appelle-t-on la représentation graphique d'une fonction?

Dans un premier temps, il faut déjà se donner un repère. En effet, il faut savoir dans quoi nous allons représenter notre fonction F et donc on se donne un repère quelconque (il est souvent orthonormé d'ailleurs) et ensuite on se pose la question de savoir à partir de quel moment on dira qu'un point M(x;y) appartiendra à la représentation graphique de notre fonction F?

Et bien c'est simple, on dira que notre point appartient à notre courbe si et seulement si ses coordonnées (x;y) vérifie le lien déterminé par la fonction F. C'est à dire que l'image de l'abscisse du point M (c'est à dire x) est bien le réel F(x) qu'on a défini. Ainsi, un point M(x;y) appartiendra à la courbe représentant la fonction F si et seulement si y=F(x) tout simplement. F est donc un lien qui relie deux nombres (ici des réels) x et y.

Maintenant, comment représenter cette courbe??

Et bien voilà, la boucle est bouclée car pour représenter la courbe, il faut que nous ayons accès à des caractéristiques de celle-ci. Et par conséqunet, il nous faut les déduire de la fonction elle-même. C'est donc dans ce but là qu'on étudie les fonction F; pour mieux comprendre ce qui caractérise la fonction elle-même. Maintenant quelles sont les caractérisations d'une fonction en 1ère?

Et bien, il y a dans le désordre:

- les points d'intersection avec les axes du repère. C'est à dire l'image de 0 ainsi que les solutions de l'équation F(x)=0.

Cela permet de positionner la courbe dans le repère (qu'est-ce qui sera au-dessous de l'axe des abscisses et à gauche de l'axe des ordonnées par exemple)


- les variation de la fonction.

Cela va permettre de savoir sur quel intervalle la courbe est croissante ou décroissante et donc nous allons pouvoir mieux représenter la courbe (éviter de faire des vagues lors du tracer par exemple)


- les maxima et minima de la fonction qui ne sont que les point d'annulation de la fonction dérivée lorsque celle-ci change de signe (en effet l'annulation seule ne suffit pas pour un changement de variation, penser la fonction x |-->x3 dont la dérivée s'annule en 0 sans changer de variation).

Cela permet de mettre les tangentes horizontales pour mieux représenter la courbe.


Et c'est sensiblement tout pour la 1ère.

Maintenant, il ne faut pas confondre, une valeur d'annulation pour la fonction dérivée et une valeur d'annulation pour la fonction.

Par exemple, si je considère la fonction G définie sur R par: G(x)= x² - 3
Cette fonction s'annule en Racine(3) et -Racine(3) (factorisation via l'identité remarquable)

Mais la dérivée G' est définie sur R par G'(x)=2x
Donc le point d'annulation de la fonction est 0 qui est différent des deux valeurs annulant la fonction G.

Est-ce que tu comprends la différence? La valeur d'annulation de la fonction G' me permet de dire vu qu'il y a un changement de signe en 0 quel a fonction G change de variation lorsque x=0. D'ailleurs, sur mon exemple, la fonction G est décroissante sur ]-Inf;0] et croissante sur [0;+Inf[.
On ne sait pas d'après la fonction carrée que les valeurs au borne ici sont +Inf en +et- Inf. ET la valeuren 0 C'est G(0)=-3.
Donc notre fonction sur ]-Inf;0] passe du positif au négatif, il y a donc un point d'annulation ce qui est logique vu que -Racine(3) est bien négatif. Et de plus, sur l'intervalle [0;+Inf[, la fonction passe du négatif au positif, donc il y a un point d'annulation sur cet intervalle là et nous avions vu qu'il s'agit en fait de Racine(3).

Est-ce que la démarche sur cette exemple te paraît claire?

Maintenant, comment interpréter graphiquement les solutions d'une équation? Ici, on cherche les solution de l'équation F(x)=0. C'est à dire qu'on cherche l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles l'image est 0. C'est à dire que l'image de ces points sont en fait situé sur l'axe des abscisses. Par conséquent, on cherche à trouver le nombre de fois où la courbe représentant la fonction F va couper l'axe des abscisses.

Dans un premier temps, utilise ton graphique pour répondre à cette question, combien de fois la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses? Était-ce visible sur le tableau de variation? si oui, comment?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 16:23

Tout d'abord merci pour le temps que tu m'accordes, c'est très pédagogique comme explications, merci beaucoup.
J'ai donc relu ton post en long en large et en travers :

- la fonction f(x) = sin x - (1/2)x coupe deux fois l'abscisse. Les valeurs de x pour lesquelles l'image est 0 sont pi/3 et -pi/3 !
Sur le tableau de variation, la fonction dérivée ( cos x - 1/2 ) est négative en ]-pi; -pi/3] U [pi/3;pi[ et positive en ]-pi/3 ; pi/3].
Donc la fonction est décroissant en ]-pi; -pi/3[ U ]pi/3;pi] et croissante en [-pi/3 ; pi/3].
On constate ainsi un changement de variation lorsque x a 0 pour image (pi/3 et -pi/3) et il y a donc deux images égales à 0.

Par ailleurs les images de x sur ]-pi; -pi/3[ U ]pi/3;pi] sont négatives tandis que celles sur [-pi/3 ; pi/3] sont positives.

Le nombre de solutions de f(x)=0 est donc compris entre l'intervalle ]-pi;pi] d'après l'énoncé, et plus précisément dans[-pi/3 ; pi/3], non ?

Je pense que ce nombre de solutions m'aiderait pas mal pour celui de l'équation sin x = 1/2x, mais ne voyant pas en coin, je n'arrive pas à me projeté.

Dis moi si tu penses que j'ai avancé dans la raisonnement ou pas, merci Wink
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 16:40

Le raisonnement s'affine mais hélas s'avère toujours erroné pour le début:

Citation :
la fonction f(x) = sin x - (1/2)x coupe deux fois l'abscisse. Les valeurs de x pour lesquelles l'image est 0 sont pi/3 et -pi/3 !

La fonction s'annule bien 2 fois mais pas au valeurs que tu cites. Prends une calculatrice et calcul la valeur F(-Pi/3) et F(Pi/3) tu vas constater que ce n'estp as nul par toi-même je pense que cela sera plus simple.

Ensuite, le raisonnement est juste:

Citation :
Sur le tableau de variation, la fonction dérivée ( cos x - 1/2 ) est négative sur ]-pi; -pi/3] U [pi/3;pi[ et positive sur ]-pi/3 ; pi/3].
Donc la fonction est décroissant sur ]-pi; -pi/3[ U ]pi/3;pi] et croissante sur [-pi/3 ; pi/3].

Juste une remarque, on est négative "en" un point et négative "sur" un intervalle. Ne pas confondre les deux, car cela risque de te jouer des tour au niveau de la rigueur.

Sinon, on parle de croissance ou de décroissance sur un intervalle et non une union d'intervalle. Donc on dira plus que la fonction est décroissante sur ]-Pi;-Pi/3[ et sur ]Pi/3;+Pi
Citation :
là par contre, on constate que tu ne sais pas trop de quoi tu parles:

[quote]Par ailleurs les images de x sur ]-pi; -pi/3[ U ]pi/3;pi] sont négatives tandis que celles sur [-pi/3 ; pi/3] sont positives.

En effet, est-ce la fonction qui a le signe que tu décris ou est-ce sa dérivée?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 16:51

Merci pour le lexique, les points sautent vite avec ma prof.

Citation :
En effet, est-ce la fonction qui a le signe que tu décris ou est-ce sa dérivée?

La fonction dérivée !

Citation :
La fonction s'annule bien 2 fois mais pas au valeurs que tu cites

Dans le tableau que j'ai posté en première page, la dérivée s'annule en -pi/3 et pi/3. Cela est juste.
Au même valeur de x s'effectuent les variations, mais la fonction ne s'annule pas en ces points. C'est bien ça ?

La fonction f(x)=0 coupe l'abscisse aux environs de -1,91 ; 0 et 1,91. Serais-ce les solutions de la fonction ?
De plus lorsque je remplace x dans sin x - (1/2)x, la résultat est très proche de 0 !
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 17:01

Excellent pour l'analyse!!

Je pense que c'est tout de même plus clair maintenant. En tout cas, c'est ce que je constate.

Tu as l'air de savoir te servir de ta calculatrice ce qui est un avantage:

Citation :
La fonction f(x)=0 coupe l'abscisse aux environs de -1,91 ; 0 et 1,91. Serais-ce les solutions de la fonction ?
De plus lorsque je remplace x dans sin x - (1/2)x, la résultat est très proche de 0 !

En effet, donc la réponse à la question c'est qu'il y a deux solutions à l'équation F(x)=0. On ne te demande même pas d'expliciter les valeurs des solution mais simplement de donner le nombre de solution.

Donc la justification c'est soit par lecture graphique en expliquant qu'on regardant les point d'intersection avec l'axe des abscisses ou soit en utilisant le tableau de variation et en calculant les valeurs de la fonction au points particulier (mais les valeurs de la fonction pas de sa fonction dérivée!). Et dire pourquoi il y aurait une solution sur tel ou tel intervalle.

Et si on lit bien maintenant la question suivante:

Citation :
En déduire, le nombre de solutions de sin(x) = 1/2x sur ]-pi;pi]

Le "En déduire" comme je te l'ai dit au début nous incite donc à regarder ce qui a été fait juste avant. Et nous avions vu que l'ensemble des solution de l'équation Sin(x)=(1/2)x n'était autre que l'ensemble des solution de Sin(x)-(1/2)x=0 c'est à dire les solutions de l'équation F(x)=0.

A partir de là, peux-tu conclure?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 19:36

Désolé du retard, j'ai du m'absenter.

Et bien, sachant que l'ensemble des solutions de l'équation Sin(x)=(1/2)x est celui de Sin(x)-(1/2)x=0, c'est à dire les solutions de l'équation F(x)=0, l'équation Sin(x)=(1/2)x possède le même nombre de solutions que f(x)=0, ce qui veut dire deux !

Mais je me pose une question maintenant. Avant, tu parlais de R plutôt que de l'intervalle ]-pi;pi], pour finalement me dire que c'était identique, mais qu'est-ce qui justifie que cette équation ( sin x - (1/2)x ) ne peut avoir que ces deux solutions dans R ?

En tout cas merci de toutes tes explications qui m'ont fortement aidées et avancées, aussi bien dans la méthode que dans le raisonnement !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 21:34

Alors ta question est tout à fait pertinente et j'ai été plutôt faible en explication sur le coup pour éviter d'embrouiller plus les choses. Donc maintenant que tes réponses aux questions sont justes ainsi que les démarches comprises, je vais pouvoir y revenir.

J'ai dit:

Citation :
C'est à dire que de résoudre l'équation sur ]-Pi;Pi] (je mettais R tout à l'heure car cela ne changeait rien mais réduisons notre intervalle à celui de notre exercice) Sin(x)=(1/2)*x revient à résoudre sur ]-Pi;Pi], l'équation F(x)=0.

Et en effet, cela pouvait tout à fait porter à confusion dit entre deux lignes. Alors, je vais développer.

J'ai mis R au début car je souhaitais réfléchir sans contrainte sur l'ensemble de définition. Je n'avais pas en tête que j'allais faire un rappel sur les ensembles de définition et leur intérêt quelques messages plus loin. Du coup, il faut que je rectifie.

Notre fonction F est en fait définie sur R tout entier. En effet, la fonction sinus n'admet pas de valeur interdite et de même pour la fonction affine x|--> -(1/2)*x. Enfin, l'addition de deux fonctions définies sur R reste définie sur R. Cela vient du fait qu'à l'heure actuelle les seules fonctions qui ne sont pas définies sur R sont les fonctions qui s'écrive sous la forme d'un quotient ou encore à l'aide d'une racine carrée. L'année prochaine, tu auras l'occasion de voire une nouvelle fonction fort sympathique (surtout pour ses applications en physique et en biologie) et qui elle aussi posera des soucis de définition mais il n'en est rien pour l'instant. Pour information cette fonction s'appelle le logarithme népérien et tu la verras avec une autre nouvelle fonction qui elle sera définie sur R et qui sera la fonction exponentielle. Voilà pour l'aparté.

Donc notre fonction est tout à fait définie sur R. Maintenant, si je continue à réfléchir sur le sujet, je vais dire que notre équation Sin(x)=(1/2)*x est elle-aussi tout à fait résoluble sur R.

Par le même raisonnement que tu as fait, nous pouvions tout à fait dire que le nombre de solution sur R de l'équation F(x)=0 et celui de l'équation Sin(x)=(1/2)*x sont exactement les mêmes.

Alors pourquoi s'être limité à l'intervalle ]-Pi;Pi] me diras-tu et c'est presque un reproche d'ailleurs assez légitime (pourquoi se satisfaire de moins lorsqu'on peut avoir plus? Wink). Et bien tout simplement parce que la fonction sinus est périodique de période 2*Pi c'est à dire que Sin(x+2*Pi)=Sin(x).

La justification ne devrait pas te plaire plus pour autant. En effet, la fonction sinus est périodique mais la fonction F quant à elle ne l'est pas du tout alors la justification ne tient plus!!!

C'est tout à fait exacte!!!

Mais alors pourquoi avoir fait cette restriction si elle vraiment inutile?

Et bien, il faut aller chercher plus loin dans l'étude de la fonction. En effet, pour déterminer les variation de la fonction F ce qui a donc permis de trouver l'ensemble des solutions à notre équation F(x)=0, il nous a fallu dérivée la fonction F. Et là, tout s'éclaire, non?

Et bien si ce n'est pas le cas regardons de plus près, la fonction dérivée est la suivante F'(x)=Cos(x)-1/2 !!!
Et du coup, cette nouvelle fonction là est périodique car le cosinus est périodique!!! Il y a donc des changement de variation à toutes les valeurs de R pouvant s'écrire sous la forme Pi/3 + 2*k*Pi ou sous la forme -Pi/3+2*k*Pi avec k un entier relatif (en effet la fonction cosinus est paire donc Cos(-x)=Cos(x)).

Donc si on ne limite pas l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude 2*Pi (rappel: l'amplitude de l'intervalle [a;b] avec a<b est égale à b-a) et bien nous allons avoir beaucoup de cas à gérer et ce n'est pas faisable au niveau 1ère (au niveau de la rigueur, c'est très lourd à rédiger en fait).

C'est donc pour cela qu'on limite l'intervalle d'étude à ]-Pi;Pi].

Par contre, comme tu l'as compris, je pense, sur cette intervalle là, nos deux équation ont deux solutions mais sur R, il y en a peut-être plus, il faudrait étudier cela plus en avant pour réellement pouvoir conclure.

En espérant que cela soit plus clair, sinon n'hésite pas à demander des précisions.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 21:47

C'est justement ce nombre de solutions qui m'intrigue, il y en aurait-il une infinité sur R? :O
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 22:19

Très bonne question.

Il y a une infinité de changement de variation sur R comme tu l'as compris je suppose. Mais qu'en est-il du nombre de solution de l'équation F(x)=0 ??

Mystère?

En fait, non! Mais tu n'as pas encore les outils pour. En effet, il nous faut l'accès à la notion de limite en -Inf et en +Inf d'une fonction pour pouvoir conclure ici. Pour piquer ta curiosité au vif, je dirai que la notion de limite à l'infini c'est de savoir jusqu'où pourrait aller les ordonnées lorsque les abscisses sont très loin vers +Inf ou vers -Inf sur l'axe des abscisses.

Si tu regardes ta courbes avec une fenêtre assez grande tu constatera que ta courbe oscille autour d'un axe et que les ordonnées des points de cette courbe s'en vont de plus ne plus bas lorsque les abscisses respectives x s'en vont vers + l'infini. Et de plus, tu constateras que de même lorsque les abscisses des point s'en loin vers - l'infini, leurs ordonnées respectives sont très grandes vers +Infini.

En conséquence, il y a bien une valeur positive à partir de laquelle les images seront très loin dans les négatifs et une valeur négative avant laquelle les images seront très grande dans les positifs. Il est donc plus que probable juste en regardant la courbe, qu'il n'y ait pas une infinité de point d'annulation. Mais regarder un dessin, ne montre rien et il nous faudra donc un outils supplémentaire que tu auras l'année prochaine pour conclure totalement sur cette question.

En espérant que cela ait permis de répondre à tes questions.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: [Exercice]Dérivé de fonction trigonométrique   Sam 17 Avr - 22:51

Cela me rassure au niveau de mes capacités :p

Et bien Phoenix, un GRAND merci pour tout. J'ai pu comprendre, l'exercice, mes erreurs,... Je ne sais pas si tu es prof', mais très bonne méthode Smile
Je m'en foutais de la réponse toute crue mais je ne m'attendais pas à autant de précisions Smile
Grand bravo, merci beaucoup.

Demain je réessaye un exercice du même genre pour voir si j'ai tout compris, sur ce, bonne nuit à toi master of maths :p
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