Exercice sur les polynomes

Salut à tous!
Comme le titre le dit si bien ( ), j'ai affaire à 1 exos sur les polynomes que j'ai fait et, j'aimerais avoir confirmation ou non de mes résultats.

Exercice 1 :

Résoudre les inéquations suivantes en utilisant le changement d'inconnue :

1) (x² + x)² + 2(x² + x) - 8 = 0
2) 2*(cos x)² - 3cos(x) + 1 = 0 avec x Appartient [0 ; Pi]
3) sin²x + (3/2)*sin(x) - 1 = 0 avec x Appartient [0 ; Pi]
4) 2/(x² + 1)² - 2/(x² + 1) + 1/2 = 0

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Voici mes résultats : (Je mets le changement d'inconnue, le déterminant et, y1, y2, solutions finales )

1) y = (x² + x)
Delta = 40
y1 = -1 - (1/2)Racine(40)
y2 = -1 (1/2)Racine(40)

Les solutions finales de cette équation sont donc :
[(-1 - (1/2)Racine(40))² + (-1 - (1/2)Racine(40))]
ou : [(-1 (1/2)Racine(40))² + (-1 + (1/2)Racine(40))]

2) y = cos(x)
Delta = 1
y1 = 1/2
y2 = 1

Les solutions finales de cette équation sont donc :
cos(1) ou cos (1/2)


3) y = sin (x)
Delta = 25/4
y1 = -11/8
y2 = -1/8

Les solutions finales de cette équation sont donc :
sin( -11/8 ) ou sin( -1/8 )

4) y = x² + 1
Delta = 0
y0 = 1/2

La solution finale de cette équation est :
(1/2)² + 1 = 5/4

Merci d'avance

Bonjour MrTheYo,

Je viens de t'envoyer un mp pour quelques précisions. Mais je vais tout de même commencer:

Alors pour la première équation qui sauf erreur devrait être: (x² + x)² + 2*(x² + x) -8 = 0

Tu poses y= x² +x ce qui est judicieux en effet. Ainsi, nous voici fasse à une équation du second degré en y que nous savons résoudre:

y² + 2*y - 8 = 0

Mais là, il y a une erreur pour le calcul du discriminant. En effet, Δ= 2² - 4*1*(-8 ) = 4 + 32, donc Δ=36 et non 40 ce qui a donc une influence assez remarquable sur la suite des calculs. Je te laisse reprendre les calculs. Mais ATTENTION, tu as posé y = x² + x et tu viens de trouver deux valeurs possible pour y et non pour x !!!


Pour la deuxième équation: 2*[Cos(x)]² - 3*Cos(x) +1 = 0 avec x Є [0, π]

Tu pose donc y= Cos(x) c'est tout à fait juste. Par contre, je te donne un conseil: n'oublie pas de regarder à quel intervalle appartient y car il se peut qu'il n'y est pas deux solutions possibles pour l'équation en y mais qu'une seule.

Donc si x Є [0, π], alors y Є ???

Nous sommes donc devant l'équation en y suivante: 2*y² - 3*y +1 =0 et on cherche les solutions y₁ et y₂ de cette équation.
Donc Δ=1
Ce qui entraîne que les solutions de l'équtino en y sont vbelles et bien y₁= 1/2 et y₂= 1

Mais la conclusion est hélas fausse!!

Tu avais posé y=Cos(x) et tu trouves deux solutions en y et non en x.
Tu aurais dû voir qu'il y avais une erreur en regardant ce qu'on cherchait comme solution. En effet, on cherche x Є [0, π]+

Je pense que les remarques faites jusque là, vont suffire pour recadrer la méthode de résolution pour celles qui restent mais je vais te rappeler la méthode générale pour ce genre de résolution:

1) Nous sommes fasse à un polynôme en Cos(x), Sin(x), Tan(x) ou encore d'un degré supérieur ou égale à 3.

2) Il faut tout d'abord repérer un changement de variable permettant de ramener le polynôme que nous avons en un polynôme de degré 2. Il s'agit de changement du style y= Cos(x), ..., ou y=P(x) avec P un polynôme de degré 2 ou 1.

3) Ce changement de variable effectué, il ne faut pas oublier de regarder à quoi apparient notre nouvelle variable y si il y avais des contrainte sur la variable x

4) Ensuite, nous sommes donc devant un polynôme du second degré dont on sait calculer les racine si sont discriminant est positif ou nul. Nous en déduisons donc ces racines.

5) Nous sommes maintenant fasse à une nouvelle résolution. En effet, nous avons trouvé les solution en y grâce au changement de variable mais nous voulons les solution en x. Pour celà, il faut revenir à notre changement de variable en posant les valeurs trouvée pour y.

Un dernière petite chose: Ne jamais oublier l'étape 3 et 5 !!!!!!!!!

Voilà la démarche à suivre poru ce genre d'exercice. en espérant qu'ainsi tu pourras mieux comprendre les enchaînements dans ce genre d'exercice.

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

Re.
Donc, pour le 1), y1 = -4 et y2=2
une des solutions est donc : Racine (2)/2 et l'autre, est impossible car un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

2) Les solutions sont 60 (Non car, x appartient à [0;Pi]) et 0.

3)Ici, je n'arrive pas à savoir quoi prendre comme y du fait que nous avons sin²x.

4) Ici, j'ai un doute sur les valeurs de a et b :

a = 2/1 et b = 2/1 ??

Merci pour la récapitulation des étapes de la méthode

Alors pour la première équation, les solutions de l'équation ne y sont bien -4 et 2

Or y= x² + x

Donc nous sommes ramené à résoudre les équations -4= x² +x et 2= x² + x.

Ce qui faut comprendre c'est que les solutions de la première équation ne x reste inchangé par changement de variable. Donc notre première équation est une équation de degré 4. En effet, (x² + x)² donne le terme de plus haut degré qui est x⁴.
Or une équation du quatrième degré admet au plus 4 racines.
Il est donc possible qu'on puisse avoir 4 solutions en tout.

Et celà est toujours visible par le changement de variable. En effet, on pose y= x²+ x qui est une équation du second degré en x si on considère qu'on a trouvé y. Donc y= x² +x nous donne 2 solutions en x au maximum.

Or l'équation en y que nous avons résolue nous donne deux valeurs de y possible qui sont -4 et 2.

Nous sommes donc bien ramené à résoudre 2 équations du second degré en x ce qui nous donnera au maximum 4 solutions. La cohérence de ce changement de variable vient de là.

Maintenant, il te reste bien deux résolutions à faire -4= x² +x et 2= x² + x.

Ta solution s'avère donc fausse. car le x que tu trouve ne vérifie aucune des deux équations et donc ne peut vérifier la première non plus ce que tu pourras vérifier par le calcul.


2) Attention au fait que ta calculatrice est une machine très utile mais très bête aussi . En effet, celà ne m'étonnerai nullement qu'elle t'es fourni des réponse en degré comme tu le lui as demandé et non en radian comme te le suggère ton énoncé (petit rappel: π rads=180°)


3) Pour le troisième, ton changement de variable était bon, il s'agit bien de poser y=Sin(x) car Sin²(x) est une notation pour dire [Sin(x)]².


4) Un polynôme du second degré est toujours de la forme a*x² + b*x + c, ton doute vient du fait que ton changement de variable est erroné vu que tu as a/y² + b/y + c. Donc poser y= x² + 1 n'est pas le bon changement de variable. Un petit conseil: ne jamais oublier que a/b = a * (1/b) .

Bon courage pour la suite !

Pour le 1), j'ai une racine carrée d'un nombre négatif et, pour la seconde je trouve Racine2/2.

Pour le 2), je trouve Pi/3 et 0

Pour le 3), je trouve -11/8 et -1/8 pour les y donc, des nombres négatifs pour x donc, il n'y aurait pas de solutions...

Pour le 4) j'ai remanié l'équation et, j'ai trouvé 2y² -2y + 1/2 mais, j'ai pris la même variable.. et je trouve le même résultat... Impossible vu qu'un nombre négatif n'a pas de racines carrée...

Pour le 1), il y a bien une des équation qui a un discriminant négatif (x² + x +4=0) mais l'autre admet deux solutions et non une seule.

En effet l'autre équation est x² + x -2 = 0, donc Δ= 1* - 4*(1)*(-2)= 9. Il s'agit donc d'un carré parfait ce qui implique que les deux solutions sont sans racine carré.


Je suis d'accord pour la 2).


Pour la 3), en posant y= Sin(x), on a y Є [0, 1]. Donc les solutions de y que tu trouves te disent qu'il n'y a pas de solutions en x si celui-ci est compris entre 0 et π.

Cependant, il y a tout de même une erreur dans ton calcul, car l'équation à une solution. En effet, Δ= 9/4 + 4 = 25/4, donc les solutions en y sont plus de la forme d/4 vu que b=3/2 et a=1 dans ton équation.

Pour la 4), pour te ramener à 2*y² - 2y + 1/2 =0 tu ne peux pas poser y= x² +1. Cependant, tu avais bien trouvé y=1/2 la première fois ce qui est juste.

Il te reste donc à résoudre 1/2 = ......

A titre indicatif, cette équation a bien deux solutions.

Bon courage, tu tiens le bon bout .

1) J'ai repris ta méthode et je trouve donc Racine3 et -Racine de 3 mais en vérifiant, ces valeurs ne marchent pas

Pour le 3) je ne comprends pas ton explication

4) Je dois poser y=?

1/2 = x² + 1
-1/2 = x²

Tu as fait une petite erreur pour la 1). En effet, si Δ=9, tu n'as pas de racine carré dans les solution vu que ton Δ est un carré parfait .

Alors pour la 3), j'avoue que mon explication n'est pas clair.

Alors, en fait, tu disais qu'il n'y a pas de solution car les deux solutions trouvés en y sont négatives et sachant que y Є [0, 1]. Donc le raisonnement est tout à fait juste si et seulement si tes résultat était bon en fait. Or il s'avère que des deux résultats en y sont faux. Reprend tes calculs, avec le discriminant que j'ai calculer dans le dernier post, tu vas voir qu'il y a une erreur.


Pour la 4), tu t'obstines . En effet, en posant y = x² +1, ton équation devient 2/y² - 2/y + 1/2 =0.

Or nous voulons 2*y² - 2*y + 1/2 = 0

Il faut donc que tu trouves un autre changement de variable et n'oublie pas mon astuce qui est que a/b= a*(1/b) ou plus explicitement 2/(x²+1) = 2*[1/(x+1)] .

Tu vas y arriver t'inquiète pas et prend ton temps pour les calculs surtout . Rien ne sert de faire les choses rapidement, il faut mieux perdre du temps à faire des calculs juste que d'en gagner en faisant dans calculs faux .

1) A oui! Désolé j'avais pas tilté. Donc, solutions : 3 et -3.

Pour le 3, j'ai y1= -11/8 et y2 = -1/8 donc :

x² + x -11/8 --> x=-3/8
x² + x + -1/8 --> x = 1/2

4) y1 = 8-4Racine8
y2 = 8+4Racine8

Reprenons depuis le début tu veux . (C'est pas à toi que j'avais fait la coup du plafond avant de reprendre l'exercice?)

Pour la 1), nous sommes arrivé à la conclusion qu'il y avais au maximum deux solutions et que ces solutions étaient celles de l'équation x² + x -2 =0

Là, on calcul le discriminant et on trouve Δ=9. donc les solutions de cette équation sont ???


Pour la 3), nous sommes en train de résoudre l'équation y² + (3/2)*y - 1 = 0 avec y=Sin(x) et x Є [0, π]. Ce qui implique que y Є [0, 1].

Il s'agit donc de résoudre l'équation sachant que comme je te l'ai dit, on a: Δ= 25/4.


Pour la 4), il s'agit de résoudre l'équation 2/(x²+1)² - 2/(x²+1) + 1/2 =0.

Je peux aussi écrire cette équation ainsi: 2*[1/(x²+1)²] - 2*[1/(x²+1)] + 1/2 =0 mais on sait aussi que 1/(x²+1)²=[1/(x²+1)]²

Donc l'équation peut s'écrire: 2*[1/(x²+1)]² - 2*[1/(x²+1)] + 1/2 =0

A partir de là, trouve le bon changement de variable pour te ramener à ce que ton intuition avait trouvé c'est à dire 2*y² - 2*y + 1/2 = 0.

Fait une pose et re-concentre-toi, tu vas voir que celà va se faire tranquillement .

(Si je crois bien...)
1) On a donc x1 = 1 et x2 = -5/2
(Ici, on a calculé les y et après, on calcule x avec la même méthode si j'ai bien compris)

3) on a : x² + x -1/8.
Delta = 1/2 --> x1 = -2-2Racine(1/2) et x2 = -2+2Racine(1/2)

4) Es-tu sûr de ceci : 2*[1/(x²+1)]². Ca ne devrait pas être 2*[1/(x²+1)²]?

y = 1/x²+1

y1 = 8-4Racine8 et y2 = 8+4Racine8

Alors pour la première, il y a une faute de calcul car la solution x=1 est juste mais x= 5/2 n'est pas juste.

Pour la 3), je ne comprend pas comment tu arrives pour la troisième fois de suite à écrire x² + x - 1/8 = 0. Pourrais-tu détailler ton raisonnement pour cette fameuse 3ème équation qui nous pose quelques problèmes.


Pour la 4), relis bien ce que j'ai marqué car j'explique le passage d'une expression à l'autre. Sinon, en posant y= 1/(x²+1)², nous arrivons à l'équation 2y² -2y +1/2 =0

Donc nous avons Δ= 2² - 4*2*(1/2) = 0. Ce qui implique une seule solution poru l'équation en y.

Nous allons y arriver mais reprend tes calculs tranquillement en essayant de reprendre la méthode à zéro si il le faut.

Oups! Pour la 1), les solutions sont 1 et -1/2
Sinon, j'ai recommencé tout et, pour la 1), je trouve y1 = -4 et y2 = 2

Ensuite, pourquoi dois-je prendre x²+x+4 = 0 et x² + x-2 = 0?


Pour la 3), jusqu'au y je comprends mais après, je ne vois pas comment faire la suite c'est à dire mettre en x (voir ci-dessus)

Pour la 4), y0 = 1/2

Jusque là, tout va bien mais, c'est après que mon raisonnement s'enlise.

Alors en fait, pour la 1), on pose y = x² + x puis on résout l'équation du second degré en y et on trouve y₁ = -4 et y₂ = 2.

Mais ce que nous voulons c'est les solutions de la première équation en x et non en y. Pour celà, il faut revenir à ce que nous avons posé pour y c'est à dire que ici on a poser y= x² + x

Donc, il nous reste à résoudre y₁ = x² + x et y₂ = x² + x. Ce qui veut dire qu'il reste à résoudre les deux équation suivantes x² + x = -4 et x² + x = 2

Après calcul du discriminant, tu as vu que la deuxième n'avait pas de solution et que la première avait deux solutions qui sont 1 et -2 (en effet -1/2 n'est pas solution comme tu pourras le remarquer, je te laisse refaire les calcul).


En fait le problème que tu as dans la résolution de tes équations par changement de variable est que tu oublies d'effectuer la dernière étape de la démarche. En effet, pour la 3) par exemple tu avais posé y= Sin(x) donc c'est que tu as les solution en y, il ne reste plus qu'à les mettre dans l'égalité que tu as posée lors de ton changement de variable. Et pour la 4), tu as posé y = 1/(x² +1).

La démarche est toujours la même en fait, tu changes de variable pour te mettre dans une situation que tu sais résoudre mais après il ne faut pas oublier que la résolution que tu as effectuée n'est pas dans la variable de départ, il faut donc que tu reviennes à celle-ci dans tous les cas.

En espérant que ce soit plus clair maintenant, je te souhaite bon courage pour la suite et n'hésite pas à poser tes questions même si tu les as déjà posée, j'essaierai de trouver d'autre moyen d'expliquer au cas où .

Quand on a : x² + x = -4 et x² + x = 2, il faut donc réemployer la même méthode avec calcul du discriminant et x1 et x2.
Mais, certaines équations auraient donc 4 solutions?
En fait, quand je trouve y1 et y2 et quand je veux trouver x, je ne sais pas si je dois faire comme une équation normale ou si, je dois refaire la méthode avec discriminant etc...

C'est tout à fait ça. Une équation de degré 4 à quatre solutions au maximum, du 5ème degré à 5 solutions au maximum et ainsi de suite.

En fait quand tu as trouver y1 et y2, il faut que tu reviennes en x. Pour celà tu utilise la méthode que tu veux tout dépend de ce que tu as comme changemetn de variables en fait tout simplement.

Il y a quoi comme méthodes et, pourquoi selon le changement de variable?

En fait, il n'y a pas de méthode qui marche à tous les cou c'est à dire que je peux pas te dire tiens tu fais tel changement de variable et c'est bon.

Je vais donc le faire sur un de tes exemples: (x² + x)² + 2*(x² + x) - 8 = 0

1ère étape: On cherche un changement de variable permettant de nous ramener à une équation du second degré.

Ici, en posant y= x² +x, je constate que celà me ramène à la recherche des solutions de l'équation y² + 2*y - 8 = 0


2ène étape: Résolution de l'équation en la nouvelle variable y:

On obtient comme solutions, y1 = -4 et y2= 2


3ème étape: Revenir à la recherche des solutions en x

Nous avions posé y= x² + x et on a trouvé qu'il y avait deux solutions possible pour y qui sont -4 et 2

On a donc deux équations pour trouver les solutions en x qui sont -4= x² + x et 2= x² +x

La première équation ne donne pas de solution car le discriminant est négatif et la deuxième équation donne deux solutions qui sont x1= -1 et x2 = 2


4ème étape: Vérification de l'ensemble de définition des solutions

Les solutions étaient défini sur R.

Donc les solutions de l'équation (x² + x)² + 2*(x² + x) - 8 = 0 sont 1 et -2


Voilà la rédaction pour cette exemple et après il faut l'adapter à chaque exemple mais c'est exactement la même démarche en tout cas.

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

Comment fais-tu pour trouver que x2 = ces réponses?

la deuxième équation est x² + x = 2, donc x² + x - 2 = 0

Je calcule le discriminant qui est égale à 9 puis après x1= (-1 + 3)/2 = 1 et x2= (-1 - 3)/2 = -2

Ok!
Donc, le plus sûr est de reprendre cette méthode.

Il faut utiliser cette méthode et l'adapter pour chaque changemetn de variable différent c'est à dire l'étape 1 et l'étape 3 change en fonction du changement de variable.

Salut!
J'ai tout refais et, pour le 1), je trouve -2 et 1
Pour le 2), je trouve Pi/3 et 0
Pour le 3), je trouve y1 = -3-Racine25/2 et y2 = -3+Racine25/2

Ensuite, pour trouver x, vu qu'il n'y a qu'un x dans les équations x1 et x2, je les résoud comme n'importe quelle équation et, je trouve que x1 est impossible et que x2 = Pi/6.

4)Là, je trouve y0 = 1/2 mais après, je n'arrive pas à résoudre l'équation 1/2 = 1/x²+1...

Bonjour,

La 1) et 2) sont justes.

Pour la 3), tu as posé y= Sin(x) et tu as trouvé y1 = -3-Racine25/2 et y2 = -3+Racine25/2. Je pense que tu pourrais simplifier les racines car 5²=25. Après attention au erreur de calculs car la solution n'est pas Pi/6.

Pour la 4), tu as 1/2 = 1/(x² + 1) et bien l'idée est que lorsqu'on a: a/b = c/d c'est équivalent à a*d = c*b. Je pense qu'avec celà tu vas pouvoir arrivé à l'équation du second degré qu'il te reste à résoudre.

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

Décidément... c'est pas une faute de calcul mais, de recopie : le résultat est Pi/3...

4) x=Racine1 --> 1 ou -1