Révision sur les fonctions polynômes du second degré

Bonjour,

A la demande d'un membre du forum, je propose donc un exercice (ultra classique) permettant de faire des révisions sur les fonctions polynômes du second degré.

Soit la fonction F définie sur R tel que:
Pour tout x dans R, F(x)= 3x² + 4x - 6

Partie A: Compréhension du cours

0) Qu'est-ce qu'une fonction polynôme ? Pourquoi F est une fonction polynôme ?

1) a) Qu'appelle-t-on "coefficient" dans une fonction polynôme ? Citer les coefficients de celui-ci.
b) Qu'appelle-t-on "coefficient dominant" dans une fonction polynôme?

2) Qu'est-ce que le degré d'un polynôme ? Pourquoi, la fonction F est une fonction polynôme de degré 2 ?
3) Quelle est la représentation graphique d'une fonction polynôme ? (Attention de préciser le type de repère utiliser pour répondre à cette question).


Partie B: Analyse de la fonction F

0) La fonction F admet-elle un extremum ? (on admettra les variations e la fonction carrée pour répondre à la question). Si oui, donner sa valeur.
1) S'il existe, donner un antécédent par la fonction F de l'extremum trouvé en 0). Bonus: Est-il possible d'avoir deux antécédents ?)
2) Donner le sens de variation de la fonction F sur R.


Partie C: Position de la courbe, C, représentant F dans un repère orthonormé

0) Si elles existent, chercher les coordonnées des points d'intersection entre C et l'axe des ordonnées.
1) Si elles existent, chercher les coordonnées des points d'intersection entre C et l'axe des abscisses.
2) Si elles existent, chercher les coordonnées des points d'intersection entre C, et la courbe représentant la fonction G définie sur R par:
Pour tout x dans R, G(x)=3x+10


Bonus2: Dans la partie B, question 2), serait-il possibles de démontrer le "truc" appris en classe de 2nd sur les variations des fonctions polynômes. C'est à dire reprendre la question 2) en s'interdisant d'utiliser le "truc" appris par coeur mais en utilisant une démonstration sur cet exemple là (on peut admettre les variations de la fonction carrée si on veut aller plus vite).

Bon courage et n'hésitez pas à poser vos questions!

Bonjour,

Partie A : Compréhension du cours

0) Une fonction polynôme est une fonction définie sur R et qui peut s'écrire sous la forme :
F(x) = (A)
avec n Є N et Є R.

F est une fonction polynôme car elle est définie sur R et s'écrit sous la forme (A) : 3x² -> ...

1) a) Si a ≠ 0, alors sont les coefficients du polynôme.
Ici, les coefficients de f(x) sont 3, 4 et 6.

b) Dans une fonction polynôme, le coefficient dominant est celui qui accompagne l'inconnue au degré le plus élevé.
Ici, 3 est le coefficient dominant car il accompagne x² (degré 2).
Par ailleurs, 4 est appelé "coefficient de degré 1" et 6 "terme constant".

2) Si a ≠ 0, alors n est le degré du polynôme. La fonction f est une fonction polynôme de degré 2 car n = 2 ("n" est le plus grand degré de l'expression).

3) Dans un repère orthonormé, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole ayant pour axe de symétrie -b/(2a).

Pour le B., est-il possible de répondre aux questions 0) et 1) en une seule fois ? Car je ne vois pas comment prouver que le minimum est -22/3 sans passer par son antécédant ... Si j'utilise les formules pour calculer les coordonnées S(α;β), je calcule d'abord α (à moins d'utiliser la formule β = -Δ/(4a), mais du coup pourquoi demander s'il est possible d'avoir deux antécédants ? ), et si je le fait par calcul pour aboutir à f(x) ≥ - 22/3, n'est-il pas plus "propre" d'affirmer que - 22/3 est un minorant de f sur R avant de calculer f(x) = -22/3 (donc trouver l'antécédant et prouver que -22/3 appartient à f) et conclure alors que -22/3 est le minimum de f ? (c'est un peu brouillon tout ça, désolée ...)

Merci beaucoup,
Scientia

Bonsoir,

Alors vu que tu as l'air plutôt assidue d'une part et assez doué dans tes réflexions d'autre part, je vais essayer de t'apporter un plus dans mes réponses par rapport à tes dire.

Citation :

Une fonction polynôme est une fonction définie sur R et qui peut s'écrire sous la forme :
F(x) = (A)
avec n Є N et Є R.

Ici, je ne suis pas d'accord avec la définition. Tu me diras surement que je chipote mais le but est de te faire entrevoir les notions telles qu'elles sont.

a) Une fonction polynôme est une fonction OK
b) définie sur R OK

et le reste est faux tel qu'il est écrit c'est à dire que tout n'est pas à jeter loin de là mais il manque des choses et une cohérence. En effet, dans l'ordre d'apparition:
- F n'est pas définie dans ton propre texte (première erreur de forme)
- F est utilisé dans l'énoncé (il faut faire attention lorsqu'on utilise des lettres de vérifier si elles ne sont pas déjà utilisées avant ou après dans l'énoncé)
- x n'est pas défini (deuxième erreur de forme)
- a_n, a_n-1, ..., a₁ et a₀ ne sont pas définis (s'agit-il d'entiers, de réels, de rationnels ? Est-ce qu'ils fonctionnent pour toutes les fonctions ou seulement pour celle-ci ? ...)

- F(x) est un nombre et non une fonction (erreur de fond, ici)


Bien sûr, tu as compris le concept mais en revanche tes confusions sont logiques et assez habituelles chez les élèves. En revanche, ceux qui arrivent à ne plus faire ce genre d'erreur (de forme, de fond, de logique, de définition) s'en sortent encore mieux que les autres et le plus souvent ce sont eux qui finissent par exceller en science et en maths en particulier. C'est pour cela que je me permet d'aller un peu plus loin vu que nous sommes en vacances et que nous pouvons justement prendre notre temps pour résoudre et aborder les thèmes.

Donc pour la question, tu as voulu écrire des maths à tout prix c'est à dire utiliser la définition symbolique ce qui est très bien après tout vu qu'on a dû te l'apprendre ainsi cependant, à ce moment là, il faudrait être plus précis:

"et si je note P cette fonction, elle est définie par:
Il existe n dans N, il existe un n-uplet a_n, ..., a₀ de réel tel que,
Pour tout x dans R, P(x)= .... "

Comme tu l'as bien écrit, cela fonctionne pour un n dans N mais il faudrait préciser que cela est vrai pour TOUT les n dans N mais bien entendu les "a_n" sont propres à chacune des fonctions polynômes.

Est-ce que cela te paraît plu claire ainsi ? Est-ce que tu comprends tes maladresses ? Est-ce que la façon dont je l'ai écrite te paraît compréhensible ?

Admettons que tout soit bien écrit. LA deuxième partie est incorrect car elle ne répond pas à la question poser "est-ce une fonction polynôme?". Tu réponds sans le dire "Cela se voit" et je ne suis pas convaincu, pourrais-tu me convaincre en utilisant la définition complète ci-dessus ?

Pour la 1)a),

Citation :

Si a ≠ 0, alors sont les coefficients du polynôme.

Je ne suis pas d'accord. Et d'ailleurs ta réponse n'est pas en rapport avec cette affirmation là. Pour moi,
n'a pas de sens car x et n ne sont pas définis avant et si ils étaient définis cela donnerait un nombre réel mais sans aucun rapport avec les coefficients d'une fonction polynôme.
Autre question, a-t-on besoin d'avoir a ≠ 0 pour définir ce que sont les coefficients d'une fonction polynôme ? Si la réponse est oui, j'aimerai que tu argumentes et de même si elle est non pour savoir si tu as compris le sens de ma question.

Je te laisse reprendre cela.

Sinon, les coefficients que tu donnes dans la deuxième partie sont bons bien entendu. Je ne remet pas en cause les applications des notions que tu utilises car dans les grandes lignes, tu as compris cela est évident mais j'essaie de t'emmener plus loin dans la compréhension des notions elle-même pour mieux les manipuler d'une part et pouvoir avoir un regard plus profond sur d'autre thème par la suite (les maths se résument à peu de chose en fait ).

Pour la question 1)b),

Citation :

Dans une fonction polynôme, le coefficient dominant est celui qui accompagne l'inconnue au degré le plus élevé.

- Qu'est-ce qu'une inconnue pour une fonction ?
- Qu'est-ce que le degré le plus élevé pour une fonction polynôme ? En effet, tu n'as pas défini ce qu'est le degré d'un polynôme et vu que nous sommes sur une définition des coefficients et du coefficients dominant, il n'est pas évident que la notion de degré soit connue ici (les questions reviennent à la base du cours en fait).

La suite de la question est toujours aussi juste quant à elle (c'est à dire que tu sais bien appliquer mais les notions restent floues pour les définir de façon rigoureuse même si c'est avec tes mots d'ailleurs, on sent qu'il y a des choses qui ne sont pas si clair pour toi et que les questions sont presque évidentes et amène des réponse du style "Cela se voit" mais bien sûr, nous n'avons pas le droit de dire cela pour démontrer ou définir quelque chose).

La question 2) est juste sauf la parenthèse

Citation :

"n" est le plus grand degré de l'expression

Tu tournes en rond là, tu définis le degré et tu écris que "n" est le plus grand degré de l'expression sous entendu, il y a d'autre degré de l'expression ? Alors, il y aurait plusieurs degrés d'une fonction polynôme de R à valeur dans R ? Ce qui contredirait la définition que tu donnes et donc poserait un problème de logique.

Tu as confondu deux termes qui ne signifie par la même chose, ici. En effet tu as confondu "degré" avec quel terme ?


La question 3) est juste sauf que là encore tu as été trop loin:

Citation :

ayant pour axe de symétrie -b/(2a)

- Un axe de symétrie est une droite, nous sommes d'accord ?
- "-b/(2a)" n'est pas définie qu'est-ce que b ? Qu'est-ce que a ?
- "-b/(2a)" si on considère que cela est défini est un nombre réel, nous sommes toujours d'accord ?

Existe-t-il un lien entre une droite et un nombre réel ? La réponse est non, hélas. En revanche, nous pouvons faire un lien entre la géométrie et le numérique/algèbre via la mise en place d'un repère du plan ce qui est le cas ici mais à ce moment là, le lien qui existe entre un objet géométrique et un objet algébrique est ce qu'on appelle une équation de l'objet qu'on considère.


Pour la partie B:

Citation :

Pour le B., est-il possible de répondre aux questions 0) et 1) en une seule fois ? Car je ne vois pas comment prouver que le minimum est -22/3 sans passer par son antécédant ... Si j'utilise les formules pour calculer les coordonnées S(α;β), je calcule d'abord α (à moins d'utiliser la formule β = -Δ/(4a), mais du coup pourquoi demander s'il est possible d'avoir deux antécédants ? ), et si je le fait par calcul pour aboutir à f(x) ≥ - 22/3, n'est-il pas plus "propre" d'affirmer que - 22/3 est un minorant de f sur R avant de calculer f(x) = -22/3 (donc trouver l'antécédant et prouver que -22/3 appartient à f) et conclure alors que -22/3 est le minimum de f ? (c'est un peu brouillon tout ça, désolée ...)

Alors ta réflexion est intéressante car c'est exactement celle que je voulais te faire avoir. En effet, en utilisant une formule toute faite, tu serais obligé d'admettre l'existence d'un extremum alors que je te demande de montrer qu'il existe. Donc tu ne peux pas l'admettre, en effet. Du coup, arrive ta réflexion que j'ai mise en gras et qui est tout à fait celle qui permet de montrer que la fonction admet un minorant. Après, il resterait à utiliser un argument permettant de dire qu'il y a changement de variation (décroissante puis croissante) pour affirmer au moins l'existence de l'extremum. Mais nous ne pouvons pas utiliser les variations de la fonction car la question est posée par la suite. Il faut donc bien montrer qu'il existe une valeur de x telle que F(x) soit égale au minorant et à ce moment là, il devient en effet un minimum (minorant atteint => minimum comme tu l'as bien écrit). Cela empiète en effet sur la question suivante mais ne répond par totalement à la question suivante, donc il n'y pas incohérence car il faudra tout de même montrer que cet antécédent est unique ou non et cela va t'obliger à faire une démarche que tu n'auras pas faite à la question 0), donc cela ne me gêne pas. Donc suis ton intuition, elle n'est pas mauvaise, donc tu compléteras ensuite s'il y a compléter la question 1), cela n'est pas gênant. De plus, rien n'empêche de dire "d'après la question 0), on a vu que ....." bien au contraire après tout.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions ou à exposer tes interrogations s'il y a des choses qui ne te paraissent pas évidentes ou pas claires.

Bonjour,
Juste histoire que ma réponse soit lisible ^-^, pouvez vous me dire comment écrit-on les indices et les exposants sur le forum ?
Merci ^^
Scientia

Bonjour,

Pour les indices et les exposants, ils sont accessibles dans la rubrique "Autres" de l'éditeur de texte. Il suffit de surligner l'objet qu'il faut indicer ou mettre en exposant puis de cliquer sur "Autres" et enfin choisir "Indice" ou "Exposant".

Bon courage!

Rigueur mathématique oblige, je reprends tout ^^ !

Je renote votre définition :

0) Soit P une fonction polynôme,
Il existe n Є N et a_n, a_n-1, ... , a₁, a₀ Є R tels que :
Pour tout x Є R, P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

Sachant que F(x) = 3x² + 4x - 6
On remarque qu'il existe bien n Є N, ici 2, et 3 réels : 3, 4 et 6. Ainsi, 3x² correspond à a_nxⁿ, 4x à 4x^2-1 c'est-à-dire à a_n-1x^n-1 et -6 correspond à a₀.
De plus, la fonction F est définie sur R, donc cette fonction est bien une fonction polynôme.

1) a) Si a ≠ 0, les coefficients du polynôme sont a_n, a_n-1, ... , a₁, a₀.
En ce qui concerne le "si a ≠ 0" : (Q : a_n et a_n-1 sont bien deux nombres différents, quelle que soit la valeur de a ?, sinon, le raisonnement qui suit est faux)
Si a = 0, a_nxⁿ=0, donc on arrive à une fonction polynôme d'un degré inférieur (n-1). Concrétement, ça ne change pas grand chose puisque même une fonction affine est un polynôme (de degré 1). Mais du coup, on ne peut pas dire que a_n est un coefficient puisque si a = 0, la fonction n'est plus la même. C'est pourquoi je maintiens la condition.

Les coefficients de la fonction f sont donc 3(=a_n), 4 (=a_n-1) et -6(=a₀).

b) Dans une fonction polynôme, le coefficient dominant est a_n (je trouve pas ça merveilleux comme définition ...). Je ne peux pas dire que c'est le coefficient qui accompagne le premier terme, car à supposer qu'ils ne soient pas dans l'ordre ... (ou alors, le coefficient dominant est celui qui accompagne le terme en x ayant l'exposant le plus élevé, là encore, il suffirait que le terme en x soit appelé p, (c'est possible ?) pour que ce soit faux).

2) Si a ≠ 0, alors n est le degré du polynôme. La fonction f est une fonction polynôme de degré 2 car n = 2.

Citation :

Tu as confondu deux termes qui ne signifie par la même chose, ici. En effet tu as confondu "degré" avec quel terme ?

heu ... exposant

3) Dans un repère orthonormé, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. (mon "ayant pour axe de symétrie -b/(2a)" était du pur délire :-) )
Votre question portait sur les fonctions polynômes en général, or je ne connais que les fonctions polynômes de degré 1 (représentation graphique = droite) et de degré 2 ...

Pour le B., c'est compris, je prépare tout ça ^^,
Merci beaucoup,
Scientia

La question 0) de la partie A est bonne maintenant même si la rédaction n'est pas nickel cela est déjà tout de même plus rigoureux.
En posant n=2, ainsi que 3 réels a₂=3, a₁=4 et a₀=-6, on a bien
Pour tout réel x, F(x)= a₂x² + a₁ x + a₀

Conclusion, F est bien une fonction polynôme.

En fait, dans ta façon d'aborder la question, tu utilises presque le fait que les "a_n" sont déjà définis. Alors qu'en réalité c'est toi qui les définit. Pour montrer l'existence, dès fois, il suffit simplement de les poser tout simplement. Donc il est préférable de dire que a₂=3 que de dire "3 correspond à a₂" car le 3 lui est défini alors que le a₂ ne sont pas défini, nous cherchons juste à les poser pour mettre la fonction que nous avons sous la forme qui nous intéresse. Mais tout est juste .


Pour la suite:

Citation :

a_n et a_n-1 sont bien deux nombres différents, quelle que soit la valeur de a ?

Alors attention, qu'est-ce que a pour toi ? A-t-on un réel a de défini quelque part ?

Ton argumentation suivante est intéressante mais n'étant pas convaincu (c'est le principe des maths après tout, le but est de convaincre à 100% celui qui est en face de soi lorsqu'on a en charge de montrer quelque chose) alors je vais te poser une question:

La fonction G définie de R dans R par:
Pour tout réel x, G(x)= 0*x⁴+0*x⁵+0*x³+ 3*x² + 0*x + 3 est-elle une fonction polynôme ?

Citation :

le coefficient dominant est celui qui accompagne le terme en x ayant l'exposant le plus élevé

C'est une définition qui est déjà plus convaincante car il existe forcément un exposant le plus élevé pour la variable. Mais n'y a-t-il pas tout de même une supposition, ici qu'il manque pour vraiment être le coefficient dominant de la fonction polynôme ? Regarde l'exemple que je te donne plus haut par exemple.

Citation :

Si a ≠ 0, alors n est le degré du polynôme. La fonction f est une fonction polynôme de degré 2 car n = 2.

Ici encore, qu'est-ce que a ? Sinon, la définition est juste si je prend en compte ce que tu penses mais pas si je me limite à ce qui est écrit.

Sinon, nous sommes d'accord, il faut faire attention à ne pas confondre le degré d'une fonction polynôme qui est unique (il n'y a qu'un degré vu qu'on considère des fonctions à valeur dans R ici) et les exposants qui eux sont multiples.

Enfin, nous sommes d'accord pour la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 (parabole) et de degré 1 (droite) dans un repère orthonormé. Dans un cadre général, on ne donne pas de nom à la représentation graphique d'une fonction polynôme dans un cadre général. En revanche, on a un nom de la représentation pour une fonction polynôme de degré 0, tu le connais normalement.

Pour ce qui est de l'axe de symétrie pour les paraboles, elles existent bien (et elle peut être utile de temps en temps) mais par contre, son équation est s'il existe trois réels a, b et c tel que P(x)=ax²+bx+c alors la droite d'équation x=-b/(2a) est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction P.

Bon courage pour la suite!

Bonsoir,

Citation :

Alors attention, qu'est-ce que a pour toi ? A-t-on un réel a de défini quelque part ?

A mon tour de poser une question : concrètement, avec des chiffres, si on choisit le même a, qu'est-ce que a_n? a_n-1 ? qu'est-ce que ce petit n ? Par exemple, je ne vois pas le rapport qu'il y a dans F entre le carré (n=2) et ce qu'il peut bien faire dans le coefficient dominant ...

Citation :

Pour tout réel x, G(x)= 0*x⁴+0*x⁵+0*x³+ 3*x² + 0*x + 3 est-elle une fonction polynôme ?

G(x) = 3x²+3
-> définie dans R
-> a_nxⁿ = 3x² ; a₀ = 3
Donc oui, G est une fonction polynôme avec a_n-1x^n-1 = 0 (d'ailleur ça pourrait tout aussi être a_n-2x^n-2 = 0, non ?). Je pense que je pourrais en dire plus après que vous ayez répondu à ma première petite question ( parce que si a_n ≠ a_n-1, alors est-ce qu'on peut avoir 10 fois le même coeff ?!).

Si on définit une fonction polynôme de degré 2, on a :
ax²+bx+c avec a ≠ 0
du coup a = a_n ? (c'est ce que je pense)

Si G(x)= 0*x⁴+0*x⁵+0*x³+ 0*x² + 0*x + 3
on a alors G(x) = 3, ça reste un coefficient, puisque 3 = a₀ mais sachant qu'il est composé de a justement, alors il devrait aussi être égal à 0 (a₀=0₀ ?), non ? Mon problème tourne toujours autour de la signification de ces indices et exposants (n, n-1, ...), à moins qu'ils soient là juste pour indiquer une suite de valeurs différentes, donc on aurait pu écrire : axⁿ+bx^n-1+...+j ...

Pour l'axe de symétrie, je connaissais la formule mais je me suis pas rendue compte que sans définir ses composants, elle n'avait rien à faire là ^^.

Merci beaucoup pour toutes vos explications,
Je pense qu'il y a peut-être une confusion avec les indices en physique chimie dans mon cerveau,
Scientia

Nous touchons ici le coeur de la compréhension des mathématiques (il y a plusieurs coeurs dira-t-on mais là, c'est réellement le plus important à comprendre). Si tu arrives à dépasser ce cap, je pense que tu vas pouvoir exceller et réussir en mathématiques jusqu'au bac sans aucun problème.

Alors, je ne vais pas répondre à toutes tes questions car ton questionnement est très intéressant et je ne souhaite pas t'enlever toute la découverte des réponses.

Citation :

donc on aurait pu écrire : axⁿ+bx^n-1+...+j ...

Exactement !!!!!!!!!

Lorsque j'ai écris la définition moi-même je savais que tu étais passé à côté de quelque chose mais je pensais que tu aurais posé une question sur celle-ci tout de même.

Lorsqu'on écrit ce qu'on appelle les "quantificateurs" qui sont en maths au nombre de deux:

- il existe (condition d'existence de quelque chose)
- Pour tout / Quelque soit (généralisation à tout un ensemble)

Ce qui suit ces quantificateurs sont de deux types:

- des constantes
- des variables

Je ne te fais pas l'affront de croire que tu ne sais pas faire la différence entre les deux mais je vais tout de même l'expliciter sur la définition d'un polynôme:

Citation :

Un fonction polynôme P est définie sur R à valeur dans R et elle est définie par:
Il existe n dans N, il existe un n-uplet a_n, ..., a₀ de réel tel que,
Pour tout x dans R, P(x)= ....

Dans cette définition:
On demande l'existence de
- n qui est une constante
- a_n, ..., a₀ qui sont des constantes au nombre de n

On demande que quelque soit sa valeur:
- x soit un réel et il s'agit ici d'une variable (cela varie car nous demandons la totalité des valeurs réels)

Maintenant si je réécris la définition à partir de la remarque que j'ai cité ci-dessus et qui est la tienne (ce qui montre que tu as presque compris la subtilité des maths), on arrive à ceci:

Citation :

Un fonction polynôme P est définie sur R à valeur dans R et elle est définie par:
Il existe n dans N, il existe un n-uplet a, ..., j de réel tel que,
Pour tout x dans R, P(x)= ....

Et là, je te pose la question suivante: "Comment savoir combien, il faudra écrire de lettre ? Doit-on s'arrêter à j ? à k ? à p ? à z ? Peut-on avoir plus de 26 coefficient qui serait le nombre maximal que tu proposes l'alphabet actuel ?"

Quelle parallèle sur les indices fait-on avec la physique ? (Il y a plein de lien entre les deux et comprendre les maths permet dès fois d'éclairer la physique mais l'inverse est aussi vrai). Quelle(s) différence(s) fais-tu, toi, pour l'instant entre b_n et bⁿ ? Comment appréhendes-tu l'indice et l'exposant en quelque sorte?

Bon courage!

Bonsoir,

Je me rends compte qu'utiliser des lettres est problématique ...

Petit rappel de la formule : P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀
Je reprends F(x) avec quelques modifications pour l'exemple :
F(x) = 3x⁵+ 4x - 6, si j'ai bien compris, en réalité, c'est exactement la même chose que :
F(x) = 3x⁵+ 0x⁴ + 0x³ + 0x²+ 4x - 6
En fait, les "n", c'est exactement le nombre qu'il y a de x dans l'expression, et exactement ce nombre + 1 de coefficients (le +1 est pour le coefficient qui n'accompagne pas de x, le a₀)
a_n est le coefficient qui accompagne xⁿ, a_n-1 est celui qui accompagne le x qui a justement pour degré n-1. C'est plus pratique que l'alphabet lorsque l'on a par exemple 36 coefficients, (donc plus de 26), et ça s'applique donc à toutes les fonctions polynômes ...

Donc, contrairement aux formules de chimie, où l'indice indique le nombre de fois qu'il a d'un atome (CO₂), en maths, un indice sert plus à nommer, situer un réel parmis les autres.

... c'est ça

Pour répondre à votre question, l'exposant d'un nombre est le nombre de fois que celui-ci est multiplié par lui même, et l'indice, pour l'instant, c'est toujours ce que j'ai dit juste au dessus.

Merci beaucoup pour vos explications,
Scientia

Bonjour,

Tu as tout compris !!!

Il s'agit "juste" d'un jeu d'écriture pour simplifier celle-ci. Si si, je te jure que c'est pour simplifier et non compliquer les choses, image qu'on ait 36 coefficients et bien si nous n'avions pas cette simplicité d'écrire t₃₆, t₃₅, ..., t₁ cela nous obligerait à écrire TOUT les nombres car il faudrait pouvoir les compter et donc l'utilisation des pointillés serait exclu vu qu'il n'y aurait pas de logique d'écriture d'une part et d'autre part, il faudrait utiliser d'autre lettre que celles de notre alphabet.

Là où la physique-chimie pose des soucis dans un cadre général est qu'il utilise les bases logiques des maths ainsi que sont écriture mais il ajoute des "largesses" par rapport à ses écritures ce qui amène des chevauchements de notation.

En effet, CO₂ est une simplification d'écriture dont l'indice indique le nombre de fois où est pris l'atome
Mais il y a aussi, n₁ qui correspond, quant à lui, au nombre de moles de la molécule 1
De même, q₁ correspondrait à la charge électrique de l'objet 1
On peut aussi avoir, P₁ qui correspond au poids de l'objet 1

Mais si on va au fond de l'analyse, on constate tout de suite de celles qui ressortent d'une notation des sciences physiques et celles qui ressortent d'une notation prise à l'écriture mathématique. En effet, le premier exemple sort directement d'une notation physique qui n'a pas vocation à faire des calculs mais simplement à simplifier une écriture COO qu'on va écrire CO₂ mais tout le reste a vocation à servir dans le calcul et là on retrouve la notation classique prise aux sciences mathématiques (et le lien avec le calcul est des plus logiques du coup).

Enfin, si on veut analyse la totalité de l'écriture de l'image d'un nombre par une fonction polynôme, on peut aussi attribuer une puissance au coefficient a₀ quelle serait à ce moment là, l'exposant de la variable x ?

La notation ici est fait pour avoir un lien visuel avec les exposants de la variable. Maintenant, sur ton exemple de F, tu as plusieurs coefficients qui sont égaux à zéro. Du coup, a-t-on réellement a_n ≠ a_n-1 ? Est-ce que a existe réellement ici ?

Je pense que tu vas sortir grandi d'une compréhension globale des mathématiques avec les quelques échanges que nous avons actuellement et en plus de cela, tu auras aussi une compréhension plus clairs des liens entre sciences physiques et les mathématiques pour ce qui est du langage.

Bon courage et n'hésite pas si tu as besoin d'autres précisions.

Bonjour,

Citation :

quelle serait à ce moment là, l'exposant de la variable x ?

Puisque x⁰ = 1, alors l'exposant de la variable x sera 0.

Merci beaucoup pour toutes vos explications ^^.

Partie B : Analyse de la fonction F

0) F est une fonction polynôme du second degré, elle admet donc un extremum sur R.

F(x) = 3x² + 4x – 6
= 3(x² + 4/3*x + 4/9 – 4/9 -2)
= 3[(x+2/3)²-(4+18)/9]
= 3(x+2/3)²-22/3

Un carré étant toujours positif, on a :
3(x+2/3)² ≥0
D’où f(x) ≥-22/3
Ainsi, -22/3 est un minorant de f sur R.
De plus, f(-2/3)=-22/3, donc -22/3 est une valeur prise par f.
On en déduit que -22/3 est le minimum de f sur R.

1) D’après la question 0), l’antécédent par la fonction F du minimum -22/3 est -2/3. Il est impossible d’avoir deux antécédents car la courbe d’une fonction polynôme de degré 2 étant une parabole, elle n’admet qu’un seul extremum, ici un minimum, qui n’a par conséquent qu’un seul antécédent. Cependant, pour tout f(x) >-22/3, il existe deux antécédents pour chaque image, car une parabole a un axe de symétrie.

2) D’après les questions précédentes, f admet pour minimum -22/3, atteint en x=-2/3.
Par ailleurs, a > 0, donc la fonction f est strictement décroissante sur]- ∞ ;-2/3[ est strictement croissante sur ]-2/3 ;+ ∞[.
Je ne vois pas ce qu’il y a à démontrer … prouver que sans le « si a > 0 », que la fonction est décroissante puis croissante ?
Dans ce cas : soit a < b < -2/3
F(a)-f(b) = 3(a+2/3)²-22/3 – [3(b+2/3)²-22/3]
= 3(a+2/3)²- 3(b+2/3)²=3[(a+2/3)²- (b+2/3)²] > 0 car (a+2/3)²> (b+2/3)²
Donc la fonction f est strictement décroissante sur]- ∞ ;-2/3[.
Même calcul pour -2/3 < a < b : 3[(a+2/3)²- (b+2/3)²] < 0 car (a+2/3)²< (b+2/3)²
Donc la fonction f est strictement croissante sur]-2/3 ; + ∞[.
(Ce sont de vagues souvenir de début de seconde donc c’est peut-être faux ^^)

Partie C : Position de la courbe C, représentant F dans un repère orthonormé

0) Chercher les coordonnées des points d’intersection entre C et l’axe des ordonnées revient à résoudre l’équation F(x) = 0.
On a donc : F(x) = 3x² + 4x – 6
On calcul le discriminant du polynôme : Δ = b² - 4ac = 4² - 4*3*(-6) = 88, donc Δ > 0.
Le polynôme f admet donc deux racines réelles x₁ et x₂ :
x₁ = (-b- √(Δ))/2a = (-4 - √88)/(2*3) = (-4 - 2√22)/6 = (-2(2 + √22))/6 = -(2 + √22)/3
x₂ = (-b+ √(Δ))/2a = -(2 - √22)/3
Donc les coordonnées des points d’intersection entre C et l’axe des ordonnées sont (-(2 + √22)/3 ;0) et (-(2 - √22)/3 ;0).

1) Chercher les coordonnées du point d’intersection entre C et l’axe des abscisses revient à calculer l’image de 0 par F.
On a donc : F(0) = 3*0² + 4*0 -6 = -6
Donc les coordonnées du point d’intersection entre C et l’axe des abscisses est (0 ;-6).

2) Chercher les coordonnées des points d’intersection entre C et la courbe représentant la fonction G définie sur R par G(x) = 3x+10 revient résoudre l’équation F(x) – G(x) = 0.
On a donc : F(x) – G(x) = 0
3x² + 4x – 6 – (3x+10) = 0
3x² + 4x – 6 – 3x – 10 = 0
3x² + x – 16 = 0
On calcule le discriminant du polynôme obtenu : Δ = b² - 4ac = 1² - 4*3*(-16) = 1+192 = 193. Donc Δ > 0. Le polynôme admet donc deux racines réelles x₁ et x₂ :
x₁ = (-b- √(Δ))/2a = (-1 - √193)/2*3 = (-1 - √193)/6
x₂ = (-b+ √(Δ))/2a = (-1 + √193)/6
Donc les abscisses des points d’intersection entre C et la courbe représentant la fonction G sont (-1 - √193)/6 et (-1 + √193)/6.
Ces deux points appartenant à C et à G, on a :
G(x₁) = 3 * (-1 - √193)/6 + 10 = (-1 - √193 + 20)/2 = (19 - √193)/2
G(x₂) = 3 * (-1 + √193)/6 + 10 = (-1 + √193 + 20)/2 = (19 + √193)/2
Donc les deux points d’intersection entre C et la coure représentant la fonction G sont ((-1 - √193)/6 ; (19 - √193)/2) et ((-1 + √193)/6 ; (19 + √193)/2).

Un petit graph pour visualiser tout ça :



Merci beaucoup pour votre correction,
Scientia

Bonsoir,

On ne peut pas affirmer de but en blanc qu'il existe un extremum sans aucune preuve vu qu'on te demande de le démontrer. Surtout que tu le démontres très bien juste après qu'il existe un minorant qui est atteint ce qui nous donne donc l'existence d'un minimum. Il suffirait juste de ne pas mettre ta phrase d'introduction ou sinon sous forme interrogative.

La preuve que la fonction est minorée est excellente.
Le fait de trouver que le minorant est en fait le minimum est bien effectué aussi.

Citation :

l’antécédent par la fonction F du minimum -22/3 est -2/3

Non pas "l'antécédent" mais "un antécédent" par la fonction F est -2/3.

Citation :

Il est impossible d’avoir deux antécédents car la courbe d’une fonction polynôme de degré 2 étant une parabole, elle n’admet qu’un seul extremum, ici un minimum, qui n’a par conséquent qu’un seul antécédent

Je ne suis pas convaincu par cette argument pour la simple raison qu'il ressemble beaucoup à "c'est évident, il suffit de regarder la courbe" alors qu'on te demande de montrer cette évidence visuel justement.

Pour la suite:

Citation :

Par ailleurs, a > 0, donc la fonction f est strictement décroissante sur]- ∞ ;-2/3[ est strictement croissante sur ]-2/3 ;+ ∞[.

Qu'est-ce que a ? Il n'y a pas de "a" de défini dans l'énoncé ni dans les questions. Impossible de l'utiliser sans l'avoir défini au préalable.
L'application est juste quant à elle.

La démonstration que tu proposes:

Citation :

Dans ce cas : soit a < b < -2/3
F(a)-f(b) = 3(a+2/3)²-22/3 – [3(b+2/3)²-22/3]
= 3(a+2/3)²- 3(b+2/3)²=3[(a+2/3)²- (b+2/3)²] > 0 car (a+2/3)²> (b+2/3)²
Donc la fonction f est strictement décroissante sur]- ∞ ;-2/3[.
Même calcul pour -2/3 < a < b : 3[(a+2/3)²- (b+2/3)²] < 0 car (a+2/3)²< (b+2/3)²
Donc la fonction f est strictement croissante sur]-2/3 ; + ∞[.

est excellente !!! Tes souvenirs sont bons et surtout connaître ce genre d'idée de calcul peut débloquer des situations de recherche de variation ou même de démonstration sur les inégalités. Pour chipoter je dirais que les deux "car" manque d'un petit détail et devrait se rédiger peut-être autrement. Je te propose ceci au cas où:

On a:
F(a)-f(b) = 3(a+2/3)²-22/3 – [3(b+2/3)²-22/3] = 3(a+2/3)²- 3(b+2/3)²=3[(a+2/3)²- (b+2/3)²]

Or on a: a<b<-2/3 donc (a+2/3) < (b+2/3) < 0
Donc (a+2/3)² > (b+2/3)² par décroissance de la fonction carrée sur R^- (c'est à dire ]-∞ ; 0]

Donc : F(a)-F(b) > 0
Même conclusion que toi (les images sont rangées dans le sens inverse de leur antécédent).

Partie C:

- Quelle est l'équation de l'axe des abscisses dans un repère ?
- Quelle est l'équation de l'axe des ordonnées dans un repère ?

Normalement en répondant à ces deux questions, tu vas constater une erreur entre la question 0) et la question 1).

Sinon, ok pour les deux méthodes. Même si j'aurai vraiment tendance à parler de résolution de système d'équation (d'où mes deux questions ci-dessus pour avoir les deux autres équations manquantes) que de résolution d'une seule équation. Le but étant d'avoir toujours un cadre général dans lequel travailler et cela permet aussi d'éviter les erreurs sur les axes par exemple .

Ta résolution via le discriminant est exacte mais je te fais les même remarque qu'à la partie B, les constantes a, b et c ne sont pas définies ! Donc utilise directement les nombres que tu connais à savoir :
Δ = 4² - 4*3*(-6) = 88

sans écrire le b²-4ac que tu peux écrire sur un brouillon bien entendu et cela est même fortement conseillé mais pas dans une copie surtout si tu n'as pas redéfini les constantes a, b et c. Je vais être honnête sur le fait que cela n'enlèvera pas de point c'est évident car, hélas au épreuve nationale, on est moins regardant sur la rigueur d'écriture (ce qui est regrettable mais ce sont les faits) mais le but est plus la compréhension et la rigueur de mon point de vue que l'acquisition de recettes pour avoir une bonne note car justement les recettes s'oublient vite et monopolisent une mémoire de dingue alors que la compréhension et la rigueur monopolisent aucune mémoire (ce qui permet de libérer pas mal de place dans le système pour l'histoire, la géographie, l'anglais, l'espagnole/l'allemand entre autre qui nécessite beaucoup de mémoire vive/instantanée).

Sinon, si nous avions été lors d'un contrôle ou d'un devoir maison ou même lors d'un exercice personnelle à faire pour le lendemain, il faut savoir tout de même gagner du temps (surtout en contrôle). Ainsi, ici, tu as révisé le discriminant et les deux racines d'un polynôme du second degré ce qui est excellent en soi mais tu avais déjà fait tout le boulot !!! Quel dommage de tout refaire. En effet, dans la partie B sur les variations, tu as mis le polynôme sous forme canonique c'est à dire:

Pour tout réel x, F(x)= 3[(x+2/3)²-22/9]

Donc, il ne te reste plus qu'à factoriser via une identité remarquable là. En effet, la racine carrée de 22 est évidente sur cette expression là. Après, libre à toi de choisir les chemins les plus court mais n'oublie pas que le discriminant même s'il est rapide dans les calculs est en fait un résultat qui se démontre en utilisant des factorisation successive à l'aide des identités remarquables. Cela permet dès fois (en cas de panique ou d'oublie des formules du discriminant ou des racines du polynôme) de ne pas monopoliser la mémoire pour trois formules mais seulement pour une technique de calcul que tu sais appliquer, la preuve.

Excellent pour la dernière partie ! De même, attention à ne pas apprendre des choses toutes faites car cela génère du stress (la peur de l'oubli tout simplement). Revenir à la définition simple d'un point d'intersection permet d'avoir un cadre général pour tous les cas possibles.

Donc si tu veux chercher le point d'intersection entre deux courbes représentant les fonction H et K, il faut et il suffit de résoudre le système suivant:

{ y = H(x)
{ y = K(x)

c'est à dire que nous cherchons s'ils existent (il est évident que deux courbes peuvent ne pas se croiser du tout), tous les couples (x ; y) vérifiant le système ci-dessus.

Cela revient au même que tes trois méthodes sauf que pour le coup, il s'agit d'une seule et même méthodes à appliquer et donc à connaître au lieu de connaître tous les cas particuliers de celle-ci.

Bonne continuation et n'hésite pas si tu as des questions (de fond, de forme) restées en suspens à les poser.

Bonsoir,
(Désolée pour le retard ... )

Citation :

Je ne suis pas convaincu par cette argument pour la simple raison qu'il ressemble beaucoup à "c'est évident, il suffit de regarder la courbe" alors qu'on te demande de montrer cette évidence visuel justement.

Il faut prouver qu'il n'y a qu'un seul minimum ? C'est à dire prouver que la courbe est strictement décroissante puis strictement croissante après avoir atteint le minimum ... (c'est pas logique puisque c'est ce qui est fait juste après ... )

Citation :

- Quelle est l'équation de l'axe des abscisses dans un repère ?
- Quelle est l'équation de l'axe des ordonnées dans un repère ?

Oups ... Erreur d'inatention comme d'hab' ^^ :
Les coordonnées des points d’intersection entre C et l’axe des ordonnées sont (0 ; -(2 + √22)/3) et (0 ; -(2 - √22)/3).
Les coordonnées du point d’intersection entre C et l’axe des abscisses est (-6 ; 0).

Merci beaucoup pour votre correction,
Scientia

Bonsoir,

Non, il ne faut pas forcément utiliser la notion de variation. On vient de montrer qu'il y avait un minimum mais rien ne nous dit à priori qu'il soit atteint que pour une unique valeur de la fonction.

Conclusion, comment calculer les antécédents d'un nombre par une fonction données ?


Pour ta rectification, elle est totalement erronée, quant à elle, car ce que tu as écrit n'a aucun sens en soi. Par définition, une fonction est un lien qui fait correspondre un nombre à un unique autre nombre. Comment la courbe pourrait-elle atteindre l'axe des ordonnées en deux points distincts alors qu'il s'agit de la représentation graphique d'une fonction ? Cela n'a pas de sens.

Je te laisse reprendre ces trois questions à tête reposée car je pense que tu as voulu écrire trop vite pour les deux dernières questions.

Bon courage!

Bonjour,
(aujourd'hui, je réponds "à tête reposée", si c'est toujours faux, c'est que le problème est ailleurs ^^)

Citation :

Pour ta rectification, elle est totalement erronée [...]

Ce serait alors plutôt :
Les coordonnées des points d’intersection entre C et l’axe des abscisses sont (-(2 + √22)/3 ; 0) et (-(2 - √22)/3 ; 0).
Les coordonnées du point d’intersection entre C et l’axe des ordonnées est (0 ; -6).
...

Citation :

Conclusion, comment calculer les antécédents d'un nombre par une fonction données ?

En calculant f(x) = n (n étant le nombre dont on recherche les antécédants)
Je ne voulais pensait pas qu'il fallait recalculer en quelque sorte ce qui a déjà été calculé.

On avait (d'après le 0.):

Citation :

F(x) = 3x² + 4x – 6
= 3(x² + 4/3*x + 4/9 – 4/9 -2)
= 3[(x+2/3)²-(4+18)/9]
= 3(x+2/3)²-22/3

Un carré étant toujours positif, on a :
3(x+2/3)² ≥0
D’où f(x) ≥-22/3
Ainsi, -22/3 est un minorant de f sur R.
De plus, f(-2/3)=-22/3, donc -22/3 est une valeur prise par f.
On en déduit que -22/3 est le minimum de f sur R.

Donc on recherche les antécédants de -22/3 par f :
f(x) = -22/3
3(x+2/3)²-22/3 = -22/3
3(x+2/3)² = 0
3 ≠ 0 donc x+2/3 = 0 <=> x = -2/3
-22/3 n'a donc qu'un seul antécédant par f, -2/3.

...

Merci beaucoup,
Scientia

Bonjour,

Citation :

Ce serait alors plutôt :
Les coordonnées des points d’intersection entre C et l’axe des abscisses sont (-(2 + √22)/3 ; 0) et (-(2 - √22)/3 ; 0).
Les coordonnées du point d’intersection entre C et l’axe des ordonnées est (0 ; -6).
...

Ha oui beaucoup beaucoup beaucoup mieux là .

En fait, vu que tu n'as pas répondu à la question sur les équations des axes d'un repère, je vais le faire et cela te permettra, je l'espère de ne plus confondre l'une et l'autre lors des recherches des points d'intersection:

l'axe des abscisses : y=0


l'axe des ordonnées : x= 0

Ainsi, lorsqu'on cherche les points d'intersection entre la courbe représentant une fonction H et l'axe des abscisses, on est amener à résoudre le système suivant:

{ y = H(x) (notre représentation de la fonction H)
{ y = 0 (l'axe des abscisses)

<=> (par substitution de la deuxième ligne dans la première; on remplace y par sa valeur en gros)

{ H(x) = 0
{ y = 0

Donc sur la première ligne, j'ai bien la résolution d'une équation et sur la deuxième ligne, j'ai bien l'ordonnée égale à 0 ce qui prouve que je suis sur l'axe des abscisses.


Maintenant pour la recherche des points d'intersection entre la même courbe et l'axe des ordonnées, on a à résoudre le système suivant:

{ y = H(x) (notre représentation de la fonction H)
{ x = 0 (l'axe des ordonnées)

<=> (par substitution de la deuxième ligne dans la première ; je remplace x par sa valeur en gros)

{ y = H(0)
{ x = 0

Donc sur la première ligne, j'ai bien le calcul de l'image de 0 par la fonction H et sur la deuxième ligne, j'ai bien l'abscisse égale à 0 ce qui prouve que je suis sur l'axe des ordonnées.


C'est pour cela que j'ai autant insisté sur l'utilisation des systèmes pour la recherche des coordonnées des points d'intersection entre deux courbes car avec ce genre de méthode de résolution (qui n'est que la traduction mathématique du problème d'ailleurs), la possibilité d'erreur est quasi nulle (sauf erreur bête de calcul dira-t-on).


Pour l'unicité de l'antécédent du minimum de la fonction F,

Citation :

Je ne voulais pensait pas qu'il fallait recalculer en quelque sorte ce qui a déjà été calculé.

Je comprend ton désarroi et imagine bien que si je n'avais pas vu que tu étais motivé et sensible de vouloir comprendre un peu plus en profondeur ce que tu manipules, je n'aurai même pas poser cette question car c'est le genre de question qui permet d'avoir avec un quasi-certitude 0% de réussite à un examen. Pourquoi ? Car il y a une subtilité qui n'est hélas plus enseigné ou même dite à l'oral par beaucoup de collègue à savoir celle-ci:

il y a une différence entre l'existence d'un objet et l'unicité de cette objet

Lorsque tu calcule F(-2/3) et que tu trouves -22/3, que venons-nous de faire ?

On vient d'écrire implicitement ceci: "J'ai trouvé une valeur de x pour laquelle l'image par la fonction F donne -22/3 et cette valeur est -2/3"

Mais absolument rien ne permet de dire à l'instant t, que l'équation (car il s'agit d'une équation) F(x)=-22/3 n'admet QUE -2/3 comme solution.

La nuance paraît idiote et sans importance mais je vais grossir l'erreur sur un autre exemple pour que tu puisses visualiser le pourquoi de mon insistance sur ce point mathématique.

Je considère la fonction T définie sur R à valeur dans R par: pour tout x dans R, T(x) = x² + 3x

Je trouve le faire que T(0)=0.
Ai-je le droit de conclure que l'équation T(x)=0 n'admet QUE 0 comme solution ????
Et bien non et l'erreur est d'autant plus visuelle ici car il y a une deuxième solution pour x=-3 car T(-3)=0

Maintenant, ai-je le droit de conclure que l'équation T(x)=0 n'admet que deux solutions 0 et -3 ????

NON !!!!!!!

J'ai seulement le droit de dire ceci: "L'équation T(x)=0 admet deux solutions qui sont 0 et -3"

Et tu remarqueras qu'on vous fait écrire souvent cette dernière phrase et non celle-ci "l'ensemble des solutions est {0;-3}" car celle-ci sous-entend qu'il n'y a pas d'autres valeurs dans l'ensemble de solution mis à part ces deux là. Il s'avère qu'en cours on écrit "une équation du second degré admet au plus deux solutions" puis on part sur le signe du discriminent mais là où il y anguille sous roche réside dans le "au plus" pourquoi il ne peut pas en avoir 3 ??? Souvent on ne le démontre pas et on fait un tour de passe-passe en visualisant directement la représentation graphique "alors vous voyez bien qu'il n'y a que trois cas possible, soit le droit horizontale coupe en deux points distinct la courbe, soit elle la coupe un unique point soit elle ne la coupe pas du tout. Vous voyez c'est pour cela qu'il y a soit 0, soit 1 soit 2 solutions à l'équation". Hmmmm, il y a des élèves qui peuvent s'amuser à faire tourner chèvre un prof qui souhaite avancer en lui objectant l'argument suivant: "Mais professeur, vu que pour trouver les coordonnées d'un point d'intersection entre deux courbes, on résout un système, cela revient au même que résoudre l'équation du second degré nous sommes d'accord mais cela ne démontre pas qu'il ne peut pas y avoir plus de 2 solutions" et là, paf c'est le drame car la démonstration dépasse le cadre du lycée sauf si la classe est excellente et donc il ou elle botera en touche via l'argument "vous avez raison et cela se démontre en effet mais on va se limiter à une approche intuitive et visuelle comme via ce graphique". Mais tout ceci, n'empêche pas d'avoir un regard critique sur ce qui est admis (c'est à dire non démontré ou non justifié) et ce qui est vraiment démontré.

Bref, je ne sais pas si je suis très clair pour le coup mais n'hésite pas à poser tes questions si quelque reste flou, je ne suis pas avare d'explication. N'hésite pas non plus à proposer tes propres exercices si tu souhaites qu'on regarde la rédaction, aller plus loin ou encore si tu bloques sur un point.

Bonne continuation et encore bravo pour ton travail tu peux être fier de toi !

Bonjour,

Waw ça fait plaisir merci ^^ !

Citation :

Car il y a une subtilité qui n'est hélas plus enseigné ou même dite à l'oral [...]

Justement, quelle serait la meilleure justification pour prouver l'unicité de cet antécédant ?

Citation :

Je considère la fonction T définie sur R à valeur dans R par: pour tout x dans R, T(x) = x² + 3x

Pourquoi est-ce qu'il faut écrire 3 fois R (définie, à valeur, pour tout x ...) ?

Citation :

N'hésite pas non plus à proposer tes propres exercices si tu souhaites qu'on regarde la rédaction, aller plus loin ou encore si tu bloques sur un point.

Merci infiniment ! J'ai toujours envie de prouver les formules qui me tombent sous la main, mais parfois, ça me dépasse. La subtilité des maths n'est pas toujours évidente, mais c'est un plaisir de chercher, et surtout soulageant de trouver quelqu'un pour me lancer sur quelques pistes. =)

Merci beaucoup pour vos explications,
Scientia

Oups, je me suis emballé et j'ai oublié de te dire que bien évidemment la résolution d'équation F(x)=-22/3 était bien la seule méthode permettant de montrer l'unicité vu qu'on prouve ici à l'aide de la propriété 'Le produit de nombre réel est nul si et seulement si l'un de ses facteur est nul' et on trouve ici qu'il y a deux solutions mais qui ont la même valeur ce qui montre l'unicité ici. C'est ce qu'on appelle une "racine double" du polynôme car la valeur est bien deux fois solutions (vu qu'il y a deux facteurs identiques dû à la factorisation en fait). Donc ce que tu as fait permet de montrer l'unicité sans problème.

Sinon, pour une fonction polynôme du second degré comment démontrer qu'il y ait au plus deux racines ? Le "au plus" se démontre via la factorisation du polynôme et c'est ainsi qu'on retrouve le discriminant du polynôme d'ailleurs. Mais on passe trop vite dessus en cours, hélas et du coup la subtilité qui permet de dire qu'une équation du second degré n'a qu'au plus deux solutions (c'est à dire pas de solution, une solution ou deux solution) vient de la démarche de factorisation et du coup cela repose sur une seule propriété de 3ème en fait qui est celle citée ci-dessus que je peux te rappeler:

"Si un produit de nombres réels est nul alors au moins l'un de ces deux facteurs est nul" (es-tu convaincu que cette propriété se démontre ?)

Et on a aussi l'implication inverse qui est vraie à savoir:

"Si au moins un des facteurs d'un produit est nul alors le produit est nul" (démontrer cela est évident, car le produit par 0 donne bien 0)


Pour la définition de ma fonction T, j'avoue qu'on peut se passer d'un des R, je pourrais écrire:

"On considère la fonction T définie sur R telle que pour tout x dans R, T(x)= ..."

La définition de la fonction est en deux parties en fait. Le premier R donne l'ensemble de définition de la fonction et permet de dire où nous nous situons (sur quel ensemble nous allons travailler). La deuxième partie est une caractérisation de la fonction T c'est à dire qu'on va expliciter sa forme en donnant l'image d'un nombre quelconque. Il faut bien avoir conscience qu'on pourrait très bien définir une fonction T sur R et ne pas forcément expliciter comment on calcule l'image d'un nombre. En effet, tout comme il existe des ensembles de nombres (N, Z, D, Q, R que nous avons revus ou vus dans un autre exercice), il existe aussi des ensembles de fonctions (l'ensemble des fonctions polynômes, l'ensemble des fonctions rationnelles qui sont définies comme le quotient de deux fonctions polynômes, l'ensemble des fonctions affines, l'ensemble des fonctions linéaires (qui est un sous-ensemble inclus dans l'ensemble des fonction affines d'ailleurs), l'ensemble des fonctions définies sur R, l'ensemble des fonctions définies sur N qu'on appelle d'ailleurs l'ensemble des suites et dont on note les éléments différemment comme tu le verras, ....). C'est fou tout de même cette notion d'ensemble commune à deux domaines qui ont pourtant l'air totalement différents, non ? On pourrait donc travailler comme ceci:

Soit T et F deux fonctions définies sur R, on définie la fonction G comme somme des deux autres. C'est à dire que formellement, j'écrirai G= T + F et tu constateras que si je lis en diagonale ce genre d'énoncé, on peut être à deux doigts de croire qu'on manipule des nombres au lieu de manipuler des fonctions. Bien entendu, je peux éxpliciter l'image d'un point dans l'ensemble de définition commune aux deux fonctions (bon ici pas de grand risque j'ai pris la totalité des réels pour les deux fonctions mais tu imagines sans doute bien que si l'une n'est pas définie sur R tout entier, je ne vais pas pouvoir définir la somme sur R tout entier non plus) ainsi:
Pour tout x dans R, G(x)= T(x) + F(x)

Et là, la magie opère car G(x) est un nombre !!!! Du coup, on retrouve l'addition sur les nombres qu'on connaît déjà sur les réels. Alors c'est là que le saut philosophique est énorme
car lorsque j'écris G = T + F et lorsque j'écris G(x)=T(x) + F(x)

et bien j'écris le même "+" et le même "=" alors que dans le premier cas, il s'agit de l'addition et de l'égalité sur et entre des fonctions et les deux objets n'ont pas été définis mais alors pas du tout !!!!!! Alors que dans l'autre cas, j'écris une égalité de nombre (qu'on connaît et qu'on a défini) et une addition entre deux nombres (qu'on a défini et qu'on connaît). Et, je suis totalement persuadé qu'à la première lecture rien ne t'a choqué lorsque j'ai écris l'addition de fonction alors qu'il y a un saut conceptuel immense vu qu'il faut définir de quoi on parle et le plus troublant est qu'on note les deux (égalité et addition) de la même manière que sur les nombres.

Bon le saut conceptuel est tout bête en fait mais le plus dur est d'en avoir conscience. En effet, définitions:

1)
Deux fonctions sont égales lorsqu'elles ont le même ensemble de définition ET que les images de chacun des points de l'ensemble de définition soit égale.

Dit autrement:
Soit F et G deux fonctions définies respectivement sur I et J (I et J intervalle de R ou R)
F et G sont égales lorsque I=J et pour tout x dans I, F(x)=G(x)


2)
L'addition de deux fonctions est une fonction définie sur l'intersection des ensembles de définition des fonctions ET telle que pour tout nombre dans cette ensemble, on définit l'image de la somme comme la somme des images de chacune des fonctions.

Dit autrement:
Soit F et G deux fonctions définies sur I et J (I et J deux intervalles de R ou R)
L'addition de F et G est la fonction S définie sur H="l'intersection de I avec J" et telle que pour tout x dans H, on ait S(x)=F(x) + G(x)


Et tu comprendras aisément qu'on les notes de la même manière car en fait leur définition sur l'ensemble des fonctions est tributaire totalement de la définition de ces mêmes opérateurs sur l'ensemble des nombres.


Bon maintenant, pourquoi rappeler le "pour tout x dans R" alors qu'on a déjà dit que la fonction était définie sur R ? Tout simplement pour ne pas écrire ceci:
"T(x)= ..... est vraie pour tout les nombres x dans R"

En effet, à priori rien ne nous dit que l'égalité soit vraie. On définit la notion d'égalité comme deux membres qu'on met en relation à l'aide d'un signe "=". Et ensuite vient une propriété qui nous dit "une égalité est vraie si le premier membre est égale au second membre". Cela permet de ne pas oublier la recherche de l'ensemble de définition d'une fonction.
En effet, lorsqu'on effectue une étude sur le terrain, via les lois de la physique, de la chimie ou de la biologie, il s'avère qu'on arrive de temps à autre à une fonction avec des contraintes et on cherche à expliciter cette fonction. La première chose à chercher pour le matheux est l'ensemble de définition de la fonction (et oui, le physicien, il s'en balance de l'ensemble de définition car la fonction doit forcément être définie dans les conditions où il se trouve vu qu'il a le problème concret devant le yeux et qu'il cherche justement à le comprendre). Car bien entendu, lorsqu'on lui amène le problème, on lui l'amène dans un ensemble de fonctions ou un ensemble de nombres mais rarement avec l'ensemble de définition tout cuit et encore moins la fonction explicitées pour tous les cas de figure. En maths, le but va être de généraliser le problème un maximum pour comprendre la situation dans ces moindres recoins puis ensuite, on mettra les contraintes du physicien et on évaluera l'évolution de l'ensemble de définition sous les contraintes puis enfin et peut-être que nous pourrons (il y a des cas où cela n'est pas possible) montrer que la solution au problème est unique (le fait qu'elle existe dans les conditions est évident pour le physicien mais pour le matheux, il faudra aussi le prouver rigoureusement à un moment) et encore mieux expliciter la solution pour en montrer une modélisation concrète (une courbe, une évolution, ...). Alors, il est vrai qu'on a l'impression de rabâcher en maths mais bon chaque chose à son utilité en fait l(ensemble de définition, l'ensemble des valeurs permettant qu'une égalité soit vraie, l'ensemble image qui permet de savoir où nous allons travailler lorsqu'on va calculer l'image des nombres car il peut parfois être intéressant de restreindre l'ensemble image c'est à dire que même si la fonction serait à image dans R, on peut la limiter sur un intervalle précis pour effectuer une étude sur telle partie de l'image ce qui permettra de calculer le nouvel ensemble de définition permettant d'être exactement dans l'ensemble image voulu). Nous sommes dans un domaine très vaste qui touche aux sciences au sens large comme tu le constates.

Désolé du pavé mais j'espère que les enjeux mais aussi les subtilités te seront plus lisibles puis plus visibles à force de les côtoyer et de les comprendre.

Bonne continuation!

Bonsoir,

Merci beaucoup c'est plus clair maintenant ^^. Votre "pavé" est très agréable à lire, de plus, ce sont des explications qu'un prof n'a pas vraiment le temps de nous donner au lycée =).

Scientia