Géométrie et Résolution d'équation (dm)

bonjour je suis de passage voila j'ai fait une partie de mon nouveau dm mais a 3 questions ou je bloque
voici le sujet
construire
a b c d sont 4 points du plan
a et d sont situes dans le meme demi plan
delimité par (bc)
de plus (ab) perpendiculaire a (bc)
(cd) " " a (bc
on a bc = 7 CM ab=3 CM
CD=2 CM
M est un point du segment bc on pose bm=x


determiner que la position pour que am=dm
determiner que la position du point m pour que (am) est perpendiculaire a (dm)
du point m pour que am+dm soit minimale

bien je commence par la première question : m tel que am=bm.

Pour cette question il faut exprimer am d'une part et dm d'autre part en fonction des autres longueurs connues.
Pense à Pythagore.
Pour dm prouve au préalable que (cd) et (bc) sont perpendiculaire.

Lorsque tu aura ces deux expressions l'égalité am=dm se transformera en équation.
Tu pourra même plutôt essayer de résoudre am²=dm² car am² et dm² s'exprime plus simplement que am et dm.

Voilà je pense que avec ça tu devrai pouvoir répondre à la première question.

je pense que c'est bon pour la question 1 et 2
mais pour la question 3 par contre je ne comprends rien

tu dois exprimer dm+am en fonction de x. Tu as alors un fonction de x, et tu dois étudier sa variation pour pouvoir trouver son minimum.

Excuse, ma réponse précédente ne tenait pas compte de ton niveau de 2nd.
En faite, tu dois tracer la courbe de la fonction que tu trouves et conjecturer le résultat.
Donne-moi la fonction que tu trouves.

Bonsoir @toutes et tous!

Je vais vous proposer une correction de cette exercice dont je vais rappeler l'énoncer:

Citation :

Soit A B, C et D quatre points du plan avec A et D sont situés dans le même demi-plan délimité par (BC).
De plus, (AB) ⊥ (BC) et (CD) ⊥ (BC).
On a: BC= 7cms, AB=3cms et CD=2cms
On considère M est un point du segment [BC] et on pose BM=x


1) Déterminer la(les) position(s) du point M pour que AM=DM.
2) Déterminer la(les) position(s) du point M pour qu'on ait (AM) ⊥ (DM).
3) Déterminer la(les) position(s) du point M pour que la distance AM+DM soit minimale.

Commençons par construire la figure pour voir à quoi elle ressemble (je ne respecte pas les mesures):



1)

Nous savons que AM et DM sont des distances donc elles sont toutes les deux positives. Nous avons donc l'équivalence suivante:

AM=DM <=> AM² = DM²

Cette équivalence à un grand intérêt ici vu que nous allons utiliser le théorème de Pythagore comme vous l'aurez sans doute déjà deviné. Il est donc intéressant de faire les calculs sur les distances au carré.

Nous avons (AB) ⊥ (CB) et M Є [CB]. On a donc (AB) ⊥ (BM)
Le triangle ABM est donc rectangle en B.
Donc d'après le théorème de Pythagore appliqué dans ce triangle, nous avons l'égalité suivante: AM² = AB² + BM²

Or AB=3 et BM=x

Donc AM² = 9 + x²

De plus, nous avons (DC) ⊥ (CB) et M Є [CB]. On a donc (CD) ⊥ (CM)
Le triangle DCM est donc rectangle en M
Donc d'après le théorème de Pythagore appliqué dans ce triangle, nous avons l'égalité suivante: DM² = DC² + CM²

Or DC=2 et CM=CB - BM avec BC=7

Donc DM² = 4 + (7 - x)²

Nous avons donc l'équivalence suivante:

AM=DM <=> 9 + x² = 4 + (7-x)² <=> 5 + x² - (49 - 14x + x²) = 0 <=> 5 + x² -49 +14x -x² =0

Donc AM=DM <=> 14x = 44 <=> x= 22/7
d'où AM=DM <=> BM=22/7 ≈ 3.14cms


2)

Dans un premier temps pour cette question, il faut savoir ce que celà signifie d'avoir (AM) perpendiculaire à (DM). En effet, le but étant de mettre en équation le problème pour savoir quelle position de M sur le segment [BC] permet d'avoir cette condition là.

En fait, (AM) ⊥ (DM) <=> ADM rectangle en M

On peut donc appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle et celà nous donne l'égalité suivante:

AD²= AM² + DM² (**)

Nous avons déjà calculé dans le cas général AM² et DM² dans la question 1). Nous savons donc que AM²= 9+x² et DM²= 4 + (7-x)²

Il nous faut donc calculer la valeur de AD à partir des données du problème.

En fait, ABCD est un trapèze rectangle en B. [BC] est donc une hauteur de ce trapèze.
Mais il y a une autre hauteur que nous pouvons tracer dans ce trapèze. Il s'agit de celle issue de D. Je trace donc la parallèle à (BC) passant par D que j'appelle (D) et cette droit coupe perpendiculairement le segment [AB] en E (car (D) // (BC) et (BC) ⊥ (AB) ).

Le triangle ADE est donc rectangle en E.
Nous savons aussi que DE=BC (les hauteurs ont la même valeur) et DE= AB - BE
Or BE=DC car EBCD est un rectangle par construction. En effet, DE=BC et (DE) // (BC) donc DE=CB ce qui implique que EBCD est un parallélogramme. Mais (DC) ⊥ (BC) donc EBCD est un rectangle.

Donc par le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle ADE, on a: AD²= AE² + DE² = (3-2)² + 7² = 50

Notre égalité (**) est donc équivalente à 50= 9 + x² + 4 + x² -14x + 49

<=> 2x² -14x + 12 =0
<=> 2*[ x² - 7x + 6] = 0
<=> x² -2*(7/2)*x + [(7/2)² - (7/2)²] + 6 =0 (ici j'ai divisé par 2 et j'ai ajouté 0= (7/2)² - (7/2)² )

<=> (x -7/2)² - (49 - 4*6)/4 =0 (j'utilise ici le fait que (x-7/2)² = x² -7x + (7/2)² )
<=> (x - 7/2)² - 25/4 = 0
<=> (x - 7/2)² - (5/2)² = 0 (je met en évidence l'identité remarquable)

<=> (x - 7/2 + 5/2)*(x -7/2 - 5/2) =0
<=> (x - 1)*(x - 6) =0

<=> x=1 ou x=6

Conclusion, (DM) ⊥ (AM) si le point M est tel que BM=1cm ou BM=6cms


3)

Cette question me paraît pour le moins bizarre. En effet, j'aurai plutôt vu la question suivante:

Trouver la position du point M pour que la distance AM² + DM² soit minimale.

Et je vais commencer par résoudre cette question-ci.

D'après la question 1), nous avons calculé AM² et DM².

Donc AM²+DM² = (9 +x²) + [4 + (7-x)²]
D'où AM² + DM² = 2x² - 14x + 62

Donc AM² + DM² = 2*[ x² -2*(7/2)*x + (7/2)² - (7/2)² + 31] (j'utilise la même astuce pour mettre en évidence mon identité remarquable)

D'où AM² + DM² = 2*[ (x -7/2)² + (31*4 - 49)/4 ]

On en conclut donc que AM² + DM² = 2*[ (x- 7/2)² + 75/4]

AM² + DM² est donc minimale lorsque (x -7/2)² est minimale (ceci vient du fait qu'on ajoute quelque chose à cette expression qui ne dépend pas de x et la multiplication par 2>0 ne change rien).

Conclusion, AM² + DM² est minimale lorsque BM=7/2 = 3.5cms. La valeur de ce minimum est 75/2=37.5.

Un autre moyen pour résoudre cette question sans faire tous les calculs est de tracer la courbe d'équation y= 2x² -14x +62 et de demander à votre calculatrice de vous donner le minimum de cette fonction qui sera x=7/2.



Si nous revenons à la question posé tel que: Trouver la position de M pour que la distance AM + DM soit minimale.

D'après les calculs effectués en 1), nous avons AM + DM = √(9 + x²) + √[4 + (7-x)²]

Et a partir de là, vous n'avez pas d'autre choix que de tracer la fonction y=√(9 + x²) + √[4 + (7-x)²] sur une calculatrice graphique et de lui demander de vous donner le minimum de cette fonction.

Et vous constaterez qu'il y a deux minimum x= 21 et x= 4.2.

Or on sait que M est sur le segment [BC], donc BM Є [0;6].

Conclusion, AM + DM est minimale lorsque BM= 4.2cms. La valeur de ce minimum est environ égale à 8.6.


La complexité de cette exercice repose sur le fait qu'il faut bien poser les choses. Déjà faire une figure pour fixer les idées même si celle-ci est fait à main levée celà n'a pas d'importance. Il faut ensuite bien mettre en évidence sur cette figure les données du problème. Enfin, dans les question, il faut mettre en évidence ce qu'on cherche et voir quelles données du problème peut être utilisées.

A partir de là, il s'agissait d'utiliser le théorème de Pythagore pour faire les mises en équation de deux premières questions (la troisième question étant la plus complexe). Et après la mise en équation celà devenait un exercice de résolution d'équation.


Je vous souhaite une bonne continuation @toutes et tous et @bientôt au sein du forum!