géométrie

Trouver les mesures des angles d 'un triangle sachant que:
- deux d'entre eux diffèrent de 30°
- le triangle est isocèle

Voilà un exercice que j'ai déjà lu quelque part .

Trêve de plaisanterie et rentrons dans le vif du sujet.

Je t'avais parlé de système d'équation à deux inconnues et tu avais du me prendre pour un fou alors essayons de voir les choses par étape, c'est plus simple et au moins on voit bien les choses au fur et à mesure se dessiner.

On a donc un triangle isocèle et tu m'avais dit qu'un triangle isocèle avait deux angles égaux. Et on avait aussi dit que la somme des angles d'un triangle était égale à 180°.

Bon essayons de mettre tout cela sous forme d'équation. On va appeler a, b et c la mesure des trois angles de notre triangle qu'on peut appeler ABC et ainsi a c'est la mesure de l'angle A, b la mesure de l'angle B et c la mesure de l'angle C. Et vu qu'on a toujours le droit d'ajouter des notations ou des précisions du moment qu'on ne change pas le problème, on va dire que notre triangle est isocèle en A.

En fait, sur ce genre d'exercice, il faut prendre des initiatives sur les notations pour essayer d'avoir un cadre de travail rassurant. Il est tellement plus agréable de travailler avec des notations qu'on connaît et sur des objets qu'on connaît que dans un cafarnahome théorique.

Maintenant, pourrais-tu exprimer en fonction de a, b et c les deux choses qu'on a explicité plus haut c'est à dire le fait quel e triangle soit isocèle en A et le fait quel a sommes des angles est égale à 180°. Cela nous donnera notre première équation en fait.

Bon courage!

a(b+c) et a+b+ c=180°

Bonjour,

Je suis d'accord avec cette première équation:

Citation :

a+b+c=180

Mais à quoi correspond a(b+c)?

Nous voudrions exprimer en fonction de a, b et c (sans forcément utilisé les trois angles) le fait que ABC est isocèle en A.

Plus simplement que pouvons dire de c et b ?

c = b

Tout à fait!

Conclusion, a+b+c=180 devient quoi comme équation?

bc+a=180°

Oulà!

Un peu de concentration tout de même . Si b=c, b+c=b+b=2*b (=2*c).

Ce qui nous donne?

Je n 'ai pas très bien compris l'équation

Pas de problèmes.

Reprenons:

* a+b+c=180 car la somme des angles d'un triangle est égale à 180°
* b=c car notre triangle est isocèle en A

Ce sont les deux choses que nous avons pour l'instant. Tu constates que nous pouvons les regrouper vu que si je considère la deuxième égalité et que j'ajoute c de chaque côté de l'égalité j'obtiens:

b+b=c+b ce qui me donne 2*b=c+b

Est-ce que jusqu'ici c'est clair ?

nn, j'ai tjrs pas compris

Arf, c'est pas grave, je reprend.

On sait que b=c jusque là c'est bon .

C'est une égalité, je ne change pas l'égalité si j'ajoute de chaque côté la même chose à savoir b, est-ce que jusque là, ça va?

oui,jusqu'à là j'ai compris

Bonjour,

Donc si j'ajoute de chaque côté de l'égalité b, qu'est-ce que cela donne?

b+ b=c+b

Nickel!

Maintenant, b+b=2*b (=2b)

Du coup, on a 2b=b+c et a+b+c=180

On peut regrouper ses deux égalité pour exprimer 180 seulement en fonction de a et b et cela donne?

euh 2b=b et a+b =180

Grrrrr, je vais mordre .

C'est pas moi qui l'est écrit, c'est toi:

Citation :

b+ b=c+b

Ce qui donne si on regroupe les deux b ensemble, 2b=b+c

Or a+(b+c)=180

Conclusion? je remplace b+c par sa valeur qui dépend de b

Je pense avoir trouvée les mesures des angles 30°, 75°et 75°

Ta solution serait presque juste sauf qu'on a encore une hypothèse qu'on a pas mis en équation:

Citation :

- deux d'entre eux diffèrent de 30°

Si deux angles diffère de 30° dans notre triangle isocèle c'est forcément avec l'angle A. On a donc -a+b=30° ou a-b=30°

Ce qui ne correspond pas à tes dires pour l'instant. Est-ce que tu vois le soucis tu comprends la mise en équation de celui-ci?

Maintenant on a deux équation à 2 inconnues (a et b) qu'il ne reste plus qu'à résoudre.

Bon courage!

Je ne sais commemt faire pour résoudre

Tu n'a jamais résolu de système? C'est possible mais ça m'étonne tien.

Alors on a le système suivant:

a+2b=180
-a+b=30

ou

a+2b=180
a-b=30

Ce sont les deux possibilités que nous offrent notre exercice. Prenons le premier système:

a+2b=180
-a+b=30

Tu constates qu'en retranchant la deuxième équation à la première, nous allons annuler les "a" ce qui va donc nous permettre d'exprimer b.

Est-ce que cela t'évoque des souvenirs ou pas du tout ?

J'ai du le voir mais je m'en souviens plus

Il y a deux façon de résoudre ce type de système de deux équation de degré 1 à deux inconnues.

Soit par substitution c'est à dire que j'isole une des inconnues dans l'une des deux équations puis je remplace celle-ci dans l'autre.

Soit par addition c'est à ddire que je vais multiplier l'une des deux ligne de tel sorte qu'en additionnant les deux j'annule l'une des deux variables.

Ici je vais choisir la deuxième méthode:

Je considère le système suivant:

{a+2b=180
{a+b=30

(il y a une erreur car c'est -a+b=30 qu'il faut considérer mais pour rappeler la méthode cela ne change rien. Il faut considérer ce qui suit comme étant un exemple de résolution d'un système en dehors de l'exercice qui est entamé. Avec mes excuses pour l'erreur de frappe.)

Je multiplie la deuxième ligne par (-1) ce qui donne -a-b=-30

J'ai donc le système suivante:

a+2b=180
-a-b=-30

J'ajoute les deux lignes et je garde la deuxième ligne ce qui donne:

(a+2b)+(-a-b)=180-30
-a-b=-30

On a donc en effectuant les opération de la première ligne:

b=180-30=150
-a-b=-30

On a donc pour solution:

b=150
-a=-30+b=120

c'est à dire

b=150
a=-120

Est-ce que cela commence à revenir? Si c'est pas clair n'hésite pas à m'interrompre surtout.

Pour finir, nous savons que a est un angle strictement positif, par conséquent, cela ne nous donne pas de réponse à notre problème.

Je te laisse faire la résolution du deuxième système qui quant à lui va te donner la fameuse solution au problème .

Bon courage!

Bonsoir @toutes et tous,

Voilà un exercice de géométrie très intéressant car il s'agit en fait d'un problème. En effet, imaginons que je souhaite faire un parterre de fleurs avec les condition suivante:

Citation :

Je souhaite que mon parterre soit sous la forme d'un triangle avec les conditions suivantes:
- Deux angles diffèrent de 30°
- Le triangle est isocèle

Les conditions étant imposées par d'énorme arbre qui entoure mon futur parterre de fleurs par exemple. Le but avant de planter mes fleurs c'est bien entendu de délimité mon parterre et par conséquent n'ayant aucune mesure, il va falloir trouver les angles de ce triangle pour pouvoir le tracer à l'aide d'un simple rapporteur par exemple. C'est un prétexte comme un autre après tout et je suis bien embêté si j'ai tout oublié de mes propriétés mathématiques du collège-lycée. Car en effet, il y a des mathématiques là-dessous et pas beaucoup en fait, il suffit de savoir trois choses:

- Savoir ce que vaut la somme des trois angles d'un triangle
- Savoir la propriété fondamentale sur les angles d'un triangle isocèle
- Savoir résoudre un système de deux équations à deux inconnues

La propriété fondamentale des triangles isocèles réside dans le fait qu'ils aient deux angles égaux. Par conséquent, on sait qu'il y aura deux angles égaux à la base de mon parterre de fleurs

Ensuite, je sais que la somme des angles d'un triangle est égale à 180° (un angle plat).

Maintenant, je peux mettre en équation, une partie de mon problème:

Je pose a, b et c comme étant la mesure en degré des trois angles de mon triangle.
Pour fixer les idées, je dis que les angles de la base sont b et c et par conséquent b=c vu que le triangle est isocèle.

De plus, j'ai a+b+c=180°
Sachant que b=c, j'ai donc a+b+b=180°
Donc a+2*b=180°

Maintenant, il me reste une hypothèse: Deux angles diffèrent de 30°
Par conséquent, soit j'ai 1) a-b=30°, soit j'ai 2) b-a=30° (je ne considère que la mesure b vu que b=c).

Regardons les deux possibilités:

1) a-b=30

On a donc le système suivant:

{a+2*b=180
{a-b=30

Si je fais la première ligne moins la deuxième, j'obtiens:

{a+2*b-(a-b)=180-30
{a-b=30

c'est à dire:

{3*b=150
{a=30+b

Donc b=50° et a=80°

D'où mon parterre peut avoir des angles qui mesurent respectivement 50°, 50° et 80°


2) b-a=30

On a donc le système suivant:

{a+2*b=180
{b-a=30

Si je fais la première ligne plus la deuxième, j'obtiens:

{3*b=210
{a=b-30

Donc b=70° et a=40°

Par conséquent, il y a une deuxième façon pour faire mon parterre de fleurs en considérant les mesures d'angle suivant: 70°, 70° et 40°


Un petit exercice amusant et très intéressant car le niveau des connaissant demander n'est pas si grand que cela et pourtant l'exercice n'est pas simple en soi car vous n'avez pas l'habitude de la résolution de problème de ce type là.

Bonne continuation et n'hésitez pas à poser vos questions.

@bientôt au sein du forum!