DM - pour mardi

La fonction cube :




Soit f la fonction donnée par f(x) = x^3


1) Pour quels réels x la fonction cube est-elle définie ? (je n'ai pas appri ça)


2) a. Montrer que b^3-a^3=(b-a) (b²+ ab + a²)

Sa me donne : b^3 + ab² + a² b - ab² - a²b - a^3

b. Etudions la fonction sur [0; + l'infinie[
Soient deux réels a et b tels que 0 inférieur ou égal à "a" inférieur ou égal à "b". Déduire du a) le sens de variation de la fonction carrée sur [0; + l'infinie[


c. Etudions la fonction sur ]-l'infinie ; 0]
Soient deux réels a et b tels que "a" inférieur ou égal à "b" inférieur ou égal à 0. Déduire du a) le sens de variation de la fonction carrée sur ]-l'infinie, 0 ]

J'aimerai savoir pour la question petit b et petit c si je m'y prends comme l'exercice précedent que j'avais posté.


A partir de là ===> cela devrait être plus facile, par contre les cubes devraient peut etre me poser problèmes :s

d. Donner le tableau de variation de f en faisant apparaître 0 et son image.



3) a. Donner un tableau de valeurs pour f, tracer la courbe représentant f dans un repère orthonormal.
b. A l'aide de la courbe représentative de la fonction racine carrée, résoudre graphiquement x^3 supérieur ou égal à 0 et x^3 strcitement inférieur à 0

Bonsoir Darka,

Voici, un devoir maison qui est exactement du même gabarit que celui sur la fonction racine carrée. En effet, ici on va étudier la fonction cube dans le but d'en effectuer un tracer .

Alors la première question tu sais la faire sauf erreur flagrante de ma part mais tu sais la faire depuis quelque temps déjà (premier trimestre de cette année, je pense).

En effet, l'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x tel que f(x) existe. Or pour la fonction cube, l'ensemble des x pour que x^3 existe est ?

Pour la 2)a), ton calcul est juste, il faut juste que tu finisses de réduire l'expression que tu viens de calculer. En effet, certains termes se compensent.


Pour les questions 2)b) et 2)c), la méthode est en effet la même que pour la fonction racine. En effet, on vient de trouver une factorisation de f(b) - f(a) = b³ - a³ grâce à la question 2)a). Il faut maintenant trouver le signe pour savoir si la fonction est croissante ou décroissante sur les deux intervalles proposés via le thoérème que nous t'avons donné la dernière fois.

Tu vas voir qu'à partir de la question d) celà va découler tout seul. En effet, on te demander de mettre 0 dans ton tableau de variation, celà est loin d'être anodin vu qu'il va servir pour la dernière question vu que f(0)=0³=0.

Je te souhaite donc bon courage pour cette exercice et n'hésite pas à poser tes questions.

@bientôt au sein du forum!

Ok très bien, merci beaucoups, je vais voir ça de plus près vendredi soir ou samedi dans la journée.
Par contre la fonction cube je ne l'ai jamais vu !

Je sais que tu n'as jamais vu la fonction cube .

Je disais juste que la définition d'un ensemble de définition tu l'avais déjà vu normalement et que tu devrait pouvoir en déduire l'ensemble de définition de cette nouvelle fonction très intéressante (tu va voir lorsque tu l'auras tracée qu'elle est intéressante cette fonction ).

Le but est de voir qu'avec ce que tu sais déjà faire ce qu'on peut maintenant faire en plus en fait et celà va de plus en plus être orienté ainsi: "aller un peu plus loin à partir des bases actuelles".

Bon courage donc et @bientôt!

1) la fonction x^3 est définie pour des x positifs ou nul car un carré, cube, est toujours positif.

2) b. Pour a et b tels que 0 inférieur ou égal à "a" qui est inférieur ou égal à "b", f(b) - f(a) = b^3 - a^3 = (b - a) (b² + ab + a²)

Or "a" inférieur ou égal à "b" donc b - a supérieur ou égal à 0 et b^3 - a^3 est positif donc f(b) - f(a) supérieur ou égal à 0 car le quotient de deux nombres positifs est positif.

On a donc: "a" inférieur ou égal à "b" et f(b) supérieur ou égal à f(a): on en déduit que f est croissante sur R+


Est ce que c'est bon ? Pour cette partie ?

Bonsoir,

La première question est fausse pour le moment. En effet, tu doit confondre entre "la fonction est a valeur dans quel ensemble?" et "quel est son ensemble de définition?".

En effet, la fonction G: x -> x² est définie sur R car pour tout réel x, G(x) existe (ce qui revient à dire qu'on peut toujours prendre le carré d'un nombre réel).

Et la fonction x -> x² est à valeur dans R⁺ mais ceci est la valeur de la fonction et non son ensemble de définition.

Dans cette question, on te demande l'ensemble de définition de la fonction F: x -> x³ (fonction cube) c'est à dire "sur quel ensemble F(x) existe?" ou dit autrement encore "Est-ce qu'il existe des réel x tel que F(x) n'existe pas?"


Sinon pour la question 2)a) elle est juste et pour la question 2)b) elle est juste jusque là sauf qu'il s'agit du produit de deux nombre positif et non du quotient de deux nombre positif . En effet, b -a > 0 et a² +a*b + b² > 0 car 0<a<b donc a*b>0 (produit de deux nombre positif) et a² et b² sont des carrés donc positif. Donc on en déduit bien que F(b) - F(a) = b3 - a3 >0 (car multiplication de nombre positif).

Bon courage pour la suite!

1) je comprends pas

2) b. c'est bon maintenant ?


c. Maintenant étudions la fonction sur ]- infinie ; 0 ]
Pour a et b tels que a inferieur ou égal à b qui est inférieur ou égal à 0 et f(b) - f(a) = b3 - a3

Or a inférieur ou égal à b donc b - a inferieur ou égal à 0 et b3 - a3 est négatif donc f(b) - f(a) inférieur ou égal à 0 car le produit de deux nombres négatifs est négatif.

On a donc a inférieur ou égal à b et f(b) inférieur ou égal à (f(a) : on en déduit que f est décroissante sur R+

Quelle est le soucis pour la compréhension de la première question ?


Pour la question 2) b) et c), j'ai l'impression en fait que tu n'as pas compris car tu me mets dans les deux cas:

Darka a écrit:

b) b - a supérieur ou égal à 0 et b^3 - a^3 est positif
c )b - a inferieur ou égal à 0 et b3 - a3 est négatif

Or tu ne peux pas dire que b³ - a³ est positif ou négatif directement vu que c'est ce qu'on cherche.

Savoir que b - a >0 n'implique pas directement que b³ - a³ est positif ou négatif.

Regarde la rédaction que j'ai fait dans mon dernier post (je l'avais d'ailleurs écrit car j'avais un doute sur ta démarche):

Blagu'cuicui a écrit:

En effet, b -a > 0 et a² +a*b + b² > 0
Car on suppose 0<a<b

Donc a*b>0 (produit de deux nombres positifs) et a² et b² sont des carrés donc positif.

Donc on en déduit bien que F(b) - F(a) = b3 - a3 >0 (par multiplication de nombre positif).

Tu dois déduire le signe de b³ - a³ en cherchant le signe de la forme factorisée (b-a)(a² + a*b + b²). C'est d'ailleurs à celà qu'elle sert cette forme factorisée.

Si tu te rappelles bien, on avait fait la même chose pour la fonction racine carrée, on avait factorisé √b -√a sous la forme (b - a)/(√b + √a) et c'est à partir de cette forme que nous avions cherché le signe de F(b) - F(a).

Ici c'est exactement la même démarche .

2) b. on sait que a supérieur ou égal à 0
et que b supérieur ou égal à 0
et que a inférieur ou égal à b



b - a supérieur ou égal à 0 et b² + ab + a² supérieur ou égal à 0

Donc (b-a) (b²+ab+a²) supérieur ou égal à 0
Donc b^3 - a^3 supérieur ou égal à 0
Puisque b supérieur ou égal à 0 et a supérieur ou égal à 0

Donc b^3 supérieur ou égal à a^3
Donc f(x) = x^3 est croissante sur R+



c. On sait que a inférieur ou égal à b
et que a inférieur ou égal à 0
et que b inférieur ou égal à 0



<=> (b-) inférieur ou égal à 0 et b²+ab+a² inférieur ou égal à 0
<=> (b-a) (b²+ab+a²) inférieur ou égal à 0
<=> b^3-a^3 inférieur ou égal à 0
<=> b^3 inférieur ou égal à a^3
Donc f(x) = x^3 est décroissante sur R (mais d'après le graphique de ma calculette c'est croissant dans je comprends pas....)



Sinon dans l'ensemble où sont mes erreurs ?

La rédaction du b) est bon (même si tu devrait justifier pourquoi a*b >0).

Pour le c), il y a bien une erreur:

Citation :

<=>(b-a) inférieur ou égal à 0 et b²+ab+a² inférieur ou égal à 0

Cette équivalence est fausse en fait. Car on a a<b donc b-a>0 et de plus a²>0, b²>0 et a*b>0 (car a<0 et b<0, donc en multipliant deux nombre négatif on obtient un nombre positif).

Ta calculatrice a belle et bien raison, la fonction cube est croissante sur R.

Non en fait en y réfléchissant, c'est non

La rédaction de ton exercice est tout ce qu'il y a de plus juste.

Relis mon dernier poste je te montre pourquoi c'est positif lorsqu'on considère a < b < 0.

Citation :

on a a<b donc b-a>0 et de plus a²>0, b²>0 et a*b>0 (car a<0 et b<0, donc en multipliant deux nombre négatif on obtient un nombre positif).

Tu en déduis donc que F(b) - F(b) > 0 pour a < b < 0 (par multiplication de deux termes positifs).

edit: Ok pas de soucis .

Donc je récapèpète depuis le bidule :

On a a inférieur ou égal à 0 et b inférieur ou égal à 0 donc b-a supérieur ou égal à 0
De plus a² supérieur ou égal à 0 et b² supérieur ou égal à 0
Donc a x b supérieur ou égal à 0 car a inférieur ou égal à 0 et b inférieur ou égal à 0, car l'on sait qu'en multipliant deux nombres négatifs on obtient un nombre positif

On a donc (b-a) supérieur ou égal à 0 et b²+ab+a² supérieur ou égal à 0
<=> (b-a)(b²+ab+a²) supérieur ou égal à 0
<=> b^3 - a^3 supérieur ou égal à 0
<=> b^3 supérieur ou égal à a^3

Donc f(x)=x^3 est croissant sur l'intervalle ]-infinie à 0]

C'est presque ça en effet.

Juste la première ligne, c'est a inférieur ou égale à b qui implique b-a supérieur ou égale à 0.

Sinon le reste à juste .

Tu trouves donc une croissance sur ]-l'inf; 0] et dans le b), tu avais une croissance sur [0; + l'inf[

Donc la fonction est bien croissante sur R.

Oui faute de frappe de ma part
Il serait préférable de faire un tableau de variation pour la "b" et la "c" ou pas ?

Non, le tableau de variation tu vas le faire dans la question d) qui est un récapitulatif en gros. Donc pas besoin d'en fait un pour le b) et le c).

Ok, je vais recopier tout ça au propre demain entre midi et deux, je t'écrirai pour savoir si ce que je note est juste ok ?
Par rapport au tableau de variation et à la suite...

Pas de soucis.

Bon courage pour la rédaction de ton exercice et @bientôt au sein du forum!

Je suis confiant avoir très bien fait la suite et fin de mon exercice, j'aimerai juste savoir pour en être sûr si c'est bien [2;+infinie[ pour le 1) B et ]-infinie;-1] pour le 2 B

Sauf erreur, tu parles de la question 3) b) avec premièrement résoudre x³ ≥ 0 et deuxièmement x³ ≤ 0.

Cependant, les deux réponse que tu donnes s'avère incomplète. En effet, sers-toi de ton tableau de variation car on t'as fait placer 0 dans celui-ci et la fonction est croissante sur R.

Celà signifie donc que la fonction passe une seule fois par 0 et qu'elle est donc positif avant (réponse à la première partie) et négative avant (réponse à la deuxième partie).

La résolution ici se fait en utilisant toute les informations que t'offre un tableau de variation.

On me demande dans la 3) b. A l'aide de la courbe représentative de la fonction racine carrée, résoudre graphiquement:


(1) x^3 supérieur ou égal à 8
(2) x^3 strictement inférieur à -1

Je me suis fait berné par ton propre post mon cher :

Citation :

b. A l'aide de la courbe représentative de la fonction racine carrée, résoudre graphiquement x^3 supérieur ou égal à 0 et x^3 strcitement inférieur à 0

Donc tes réponses sont tout ce qu'il y a de plus justes alors .

Looooooool excuse moi ! :p