Bonsoir Maths57,
J'ai fusionné les deux conversations pour ne pas perdre le fil de l'exercice et garder en mémoire ce que j'avais déjà expliqué ce qui sera plus simple pour suivre le raisonnement.
Alors comme je te le disait dans mon post, on montre dans la question 1) que la suite est décroissante puis pour montrer que cette suite converge il faut qu'elle soit minorée.
C'était bien par récurrence qu'on montrait que cette suite était positive.
Mais le théorème que tu peux appliquer nous dit seulement la chose suivante:
- Citation :
- Une suite décroissante et minorée converge
Mais
ce théorème nous donne juste le fait que ta suite converge vers une limite L. On sait juste qu'elle existe cette limite mais on ne sait pas à quoi elle est égale par contre.
Alors la question serait de savoir
comment trouver sa valeur et bien on sait que:
a)
Un+1 = F(Un)b)
(Un) converge vers L lorsque n tend vers l'infinie.
Du b) on en déduit que
(Un+1) converge aussi vers L car (U
n+1) est une suite extraite de (U
n) et que (U
n) converge vers L.
Mais on sait aussi que la fonction F définie par F(x) = x*e
-x est une fonction continue sur
R.
Donc F admette une limite lorsque x tend vers L qui est égale à F(L).En conclusion par unicité de la limite, on a:
L = F(L) (on fait tendre n vers l'infinie dans l'expression a) )
C'est à dire que: L= L*e
-LCe qui veut aussi dire: L*(1 - e
-L) = 0
Donc L=0 ou 1 - e
-L = 0
Or e-L = 1 <=> -L = Ln(1) =0
En conclusion, on a donc
L=0 (dans tous les cas)!!
Je récapitule le principe de ce genre d'exercice:On définie une suite de façon récurrente ce qui introduit la donner d'une fonction F telle que U
n+1 = F(U
n)
La première chose est de mettre en évidence F car cette fonction est à la base de tous le raisonnement.
Ensuite, on cherche à savoir si la suite converge et trouver sa limite. Le moyen assez simple serait de montrer qu'elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée.
Mais attention, une suite qui est soit croissante et majorée ou décroissante est minorée, on ne peut en déduire seulement que cette suite converge vers une limite L qu'on ne connais pas dans un premier temps (on sait juste que cette limite existe).
Ensuite si la fonction est continue sur le domaine où se situe la limite L alors on peut passer à la limite dans l'expression U
n+1 = F(U
n) ce qui permet de déduire la ou les valeurs de L. En effet, on a l'existence mais pas l'unicité, il peut donc y avoir des cas où il y a deux limites possibles qui dépendent du premier terme de la suite par exemple, c'est rare mais ça peut arriver.
Il ne fallait pas hésiter à poser tes questions lorsque tu l'as eu car comme tu le sait nous ne résolvons pas les exercices sans un échange ce qui te permet d'acquérir plus rapidement les réflexes face au erreur ou problèmes que tu peux rencontrer face à ton exercice. Donc, il ne faut surtout pas hésiter si tu as des questions.
En tout cas, est-ce plus clair maintenant pour ces deux premières questions?
Sinon, mon premier message te montrait comment était construit l'exercice, qu'est-ce qui te bloque dans la question 3) que ce soit dans mon explication ou dans la question elle-même? Je suis loin d'être avare d'explication donc pose tes questions sans retenu bien au contraire c'est ainsi que tu verras les mécanismes de l'exercice et sera comment aborder un exercice du même style, une autre fois.