[Term S] suites (devoir maison/correction)

bonjour, j'ai un xercice sur les suites que je n'arrive pas à faire pur jeudi car je ne suis pas à l'aise en suites...

On se propose d'étudier la suites (Un) définie sur l'ensemble des entiers naturels par Uo=1 et Un+1=Un*e^(-Un) pour tout entier n, puis la convergence de la suite (Sn) définie par Sn=somme de p=0 jusqu'a p=n de Up
1)montrer que Un est décroissante
2)en déduire qu'elle converge et trouver sa limite.
3)Montrer que pour tout n, Un+1=e^(-Sn) et en déduire que Sn tend vers plus l'infinie quand n tend vers plus l'infinie

bonsoir.

Bonsoir Maths57,

Lorsqu'on est bloqué dans un exercice, il faut commencer par regarder vers quoi, nous allons nous diriger.

On veut démontrer à la fin que S_n tend vers +∞. Pour celà, nous allons démontrer que U_n+1 = e^-S_n (question 3) )

Or S_n tend vers +∞ celà signifie que U_n+1 tend vers 0 par composition des limites.

Il va donc falloir montrer que U_n converge et qu'elle converge vers 0 (question 2) ).

Mais comment montrer que U_n converge? Nous disposons de plusieurs moyens mais ici le plus adapté va être de montrer que la suite est décroissante et qu'elle est minorée car un théorème nous dit que si une suite est décroissante et minoré alors elle converge. Et c'est la question 1) qui nous demande de montrer que la suite est décroissante.

Bon maintenant que nous avons où nous allons et par quel procédés nous allons y aller, il va falloir passé à la pratique pour démontrer toutes les étapes.


Le principe est souvent le même pour ce genre de résolution. En effet, on défini U_n+1 en utilisant une fonction F.

Ici la fonction en question est F(x) = x*e^-x. En effet, on a bien U_n+1 = F(U_n)

Dans pour déduire des propriétés sur la suite il va falloir trouver des propriétés sur la fonction. Les propriétés à déduire, il faut pas forcément les chercher très loin. En effet, regarder les propriétés toutes simples dans un premier temps peut éviter de chercher pendant des heures.

Ici par exemple, on peut regarder les propriétés simple de la fonction exponentielle. En effet, on sait que e^x ≥ 1 si x ≥ 0, donc ^e[sup]-x ≤ 1 si x≥0[/sup]

Donc x*e^-x≤ x pour x≥0

On vient donc de trouver une propriété très intéressant en prenant x=U_n qui nous dit que:

Si U_n ≥ 0, alors U_n+1 = F(U_n) ≤ U_n (c'est à dire que U_n+1 ≤ U_n, d'où le résultat du 1) ).

Donc pour faire la question 1), il nous reste à montrer que pour tout n, U_n ≥ 0.

Vois-tu comment faire pour démontrer celà ?

bonsoir,
j'ai reçu mon dm corrigé, en ce qui concerne la question 2 je n'ai eu qu'1/6 des points car le théorème qui dit que si une suite est décroissante et minoré ne suffit pas à dire que la suite tend vers 0!
j'ai prouvé qu'elle était positif par récurrence et donc minoré par 0 mais je ne comprend pas pourquoi je n'ai pas eu beaucoup plus de points....
En ce qui concerne la question 3, je n'ai malheureusement pas compris et donc pas faites.

Une correction de votre part explicative serait pour moi d'une très grande aide car mon professeur ne donne que les réponses essentielles et non pas des explications...

merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,

Bonsoir Maths57,

J'ai fusionné les deux conversations pour ne pas perdre le fil de l'exercice et garder en mémoire ce que j'avais déjà expliqué ce qui sera plus simple pour suivre le raisonnement.

Alors comme je te le disait dans mon post, on montre dans la question 1) que la suite est décroissante puis pour montrer que cette suite converge il faut qu'elle soit minorée.

C'était bien par récurrence qu'on montrait que cette suite était positive.

Mais le théorème que tu peux appliquer nous dit seulement la chose suivante:

Citation :

Une suite décroissante et minorée converge

Mais ce théorème nous donne juste le fait que ta suite converge vers une limite L. On sait juste qu'elle existe cette limite mais on ne sait pas à quoi elle est égale par contre.

Alors la question serait de savoir comment trouver sa valeur et bien on sait que:

a) U_n+1 = F(U_n)
b) (U_n) converge vers L lorsque n tend vers l'infinie.

Du b) on en déduit que (U_n+1) converge aussi vers L car (U_n+1) est une suite extraite de (U_n) et que (U_n) converge vers L.

Mais on sait aussi que la fonction F définie par F(x) = x*e^-x est une fonction continue sur R.
Donc F admette une limite lorsque x tend vers L qui est égale à F(L).

En conclusion par unicité de la limite, on a:

L = F(L) (on fait tendre n vers l'infinie dans l'expression a) )

C'est à dire que: L= L*e^-L

Ce qui veut aussi dire: L*(1 - e^-L) = 0

Donc L=0 ou 1 - e^-L = 0

Or e-L = 1 <=> -L = Ln(1) =0

En conclusion, on a donc L=0 (dans tous les cas)!!


Je récapitule le principe de ce genre d'exercice:

On définie une suite de façon récurrente ce qui introduit la donner d'une fonction F telle que U_n+1 = F(U_n)
La première chose est de mettre en évidence F car cette fonction est à la base de tous le raisonnement.

Ensuite, on cherche à savoir si la suite converge et trouver sa limite. Le moyen assez simple serait de montrer qu'elle est croissante et majorée ou décroissante et minorée.

Mais attention, une suite qui est soit croissante et majorée ou décroissante est minorée, on ne peut en déduire seulement que cette suite converge vers une limite L qu'on ne connais pas dans un premier temps (on sait juste que cette limite existe).

Ensuite si la fonction est continue sur le domaine où se situe la limite L alors on peut passer à la limite dans l'expression U_n+1 = F(U_n) ce qui permet de déduire la ou les valeurs de L. En effet, on a l'existence mais pas l'unicité, il peut donc y avoir des cas où il y a deux limites possibles qui dépendent du premier terme de la suite par exemple, c'est rare mais ça peut arriver.

Il ne fallait pas hésiter à poser tes questions lorsque tu l'as eu car comme tu le sait nous ne résolvons pas les exercices sans un échange ce qui te permet d'acquérir plus rapidement les réflexes face au erreur ou problèmes que tu peux rencontrer face à ton exercice. Donc, il ne faut surtout pas hésiter si tu as des questions.

En tout cas, est-ce plus clair maintenant pour ces deux premières questions?

Sinon, mon premier message te montrait comment était construit l'exercice, qu'est-ce qui te bloque dans la question 3) que ce soit dans mon explication ou dans la question elle-même? Je suis loin d'être avare d'explication donc pose tes questions sans retenu bien au contraire c'est ainsi que tu verras les mécanismes de l'exercice et sera comment aborder un exercice du même style, une autre fois.

merci pour votre aide, mais serait-il possible d'avoir une explication pour la question3) car je connais pas le signe sigma de Sn=somme de p=0 jusqu'à p=n de Up. De plus cette question je n'arrive pas bien à la cernée...

En fait à la fin de la question 2), on sait que (U_n) converge vers 0.

Dans un premier temps, si j'admets que U_n+1 = e^-S_n

Alors en passant au logarithme népérien, je trouve Ln(U_n+1) = -S_n

C'est à dire que S_n = - Ln(U_n+1)

Or (U_n+1) tend vers 0 comme suite extraite de (U_n)

Or la limite de Ln(x) lorsque x tend vers 0 est -∞

Conclusion, ( -Ln(U_n+1) ) converge vers +∞ c'est à dire que (S_n) converge vers +∞

Le réflexe de passer au logarithme lorsqu'il y a des exponentielles et inversement lors des calculs de limites est souvent utile comme tu le constatera pas toi-même et le constate déjà sur cette exemple.

Bon maintenant, il faut qu'on prouve que U_n+1 = e^-S_n.

Est-ce que tu vois un moyen de démontrer cette égalité?

ps: pour information, tu peux utiliser un copier-coller de Word pour les caractère spéciaux mais sinon tu retrouves ceux-ci dans la page d'accueil: Ici. Le signe somme ( ∑ )suffit pas besoin de préciser que celà va de 0 à n à tous les coups vu que tu l'avais précisé dans l'énoncer.

moi j'aurais plutôt utiliser la récurrence mais je vois pas trop comment...

C'est tout à fait celà!

On démontre l'égalité par récurrence sur n.

Mais avant il faut mieux explicité la forme du terme général de la suite (S_n), qui est S_n=∑_{0 à n} U_p

Dans le but d'initialiser et de montrer l'hérédité de notre égalité, il faut commencer par expliciter la suite S_n au rang 0 et n+1:

S₀= ∑_{0 à 0} U_p= U₀

S_n+1=∑_{0 à (n+1)} U_p = (∑_{0 à n} U_p ) + U_n+1

Donc S_n+1 = S_n + U_n+1


Je mets en évidence se qui va servir dans la récurrence mais il est bien évident que les deux expression que j'ai mis au-dessus est normalement mis en évidence dans la récurrence elle-même.

Passons donc à la récurrence sur n de l'égalité U_n+1 = e^-S_n. Il y a deux chose à faire:

1) Montrer que l'égalité est vrai pour n=0, c'est à dire qu'on a bien U₀₊₁=e^-S₀ (c'est ici qu'on a besoin d'expliciter S₀)

2) Supposé que l'égalité est vrai au rang n et montrer qu'elle l'est toujours au rang n+1.

Je suppose donc qu'on a U_n+1 = e^-S_n et je cherche à montrer que U_n+2 = e^-S_n+1

Mais U_n+2 s'exprime en fonction de U_n+1 vu que la suite (U_n) est définie par récurrence.

En effet, U_n+2= U_n+1*e^-U_n+1

Maintenant il ne reste plus qu'à travailler sur le terme de droite pour retrouver e^-S_n+1 (ne pas oublier que S_n+1= S_n + U_n+1 )


En fait, vu que la suite de départ est définie par recurrence, on a toujours un moyen d'exprimer un terme en fonction du terme qui le précède. C'est ce qui fait aboutir la récurrence que nous avons mise en place.

Vois-tu comment conclure et comprends-tu la démarche qui est mise en place?

Les récurrences se ressemble beaucoup dès qu'on en a vu un certain nombre dans leur démarche et notre façon d'aborder celle-ci. Il est donc important que tu puisses avoir quelque réflexe face à ce genre de raisonnement. N'hésite donc pas à poser des questions si, il y a des choses qui ne restent pas claires.

Bon courage pour la suite!

bonjour , je reste bloquer à Un+2=(Sn+1-Sn)*e^(Sn-Sn+1), je n'arrive plus à simplifier...

et au rang n=o on trouve que Uo+1=Uo*e^-Uo=e^-1 et e^-So=e^-1 car So=Uo=1 donc Po est vraie...(c'est au début ça mais je ne sais pas si c'est juste....)

C'est tout à fait juste ça!

On a donc l'initialisation de la récurrence (ta réaction est bonne aussi).

Maintenant, il faut montrer l'hérédité de celle-ci.

Ha je vois ton problème pour démontrer l'hérédité. Ne remplace pas les U_n+1 par une différence de S_n pour tous les U_n+1. En effet, n'oublie pas qu'on a fait une hypothèse de récurrence qu'il faut utiliser absolument, c'est le principe d'une démonstration par récurrence.

Alors vu que dans l'exponentielle, il faut faire apparaître S_n+1, ton idée est bonne en écrivant U_n+1 = S_n+1 - S_n.

Bon jusque là, on a pas encore utilisé l'hypothèse de récurrence mais ça tombe bien car il nous reste l'autre U_n+1 qui est multiplié à l'exponentielle. Et c'est ça qui va te faire apparaître le résultat.

Donc, il faut te souvenir que dans une récurrence, il faut à un moment utiliser l'hypothèse de récurrence. Et pour celà, il y a deux façons:

- Soit on l'utilise dès le départ

- Soit elle intervient dans les calculs


Ici, vu qu'on part de l'expression de U_n+2, il fallait donc avoir à l'esprit qu'on allait utiliser l'hypothèse de récurrence sur U_n+1 dans les calculs. Mais, on ne va pas l'utiliser dans l'exponentielle car celà nous donnerait des exponentielle d'exponentielle et ce n'est pas l'écriture que nous cherchons. Il fallait donc bien utiliser l'hypothèse de récurrence sur l'autre U_n+1 pour que la forme finale recherchée apparaisse.

Pour simplifier les calculs, on aurait pu supposer la propriété vraie jusqu'au rang (n-1) et démontrer qu'elle le restait au rang n. Mais ceci est un détail permettant de gagner un peu de temps mais ce n'est pas le primordiale pour le moment. Le plus important pour le moment est que tu vois comment on peut s'en sortir de façon "simple" dans une récurrence en se posant deux ou trois question:

- Qu'est-ce que je cherche ?

- Qu'est-ce que j'ai démontré dans les question précédentes qui peut me servir dans la récurrence?

- Et surtout ai-je utilisé l'hypothèse de récurrence?


En espérant que celà t'aidera à poser quelque base dans ton raisonnement pour te permettre de mieux voir comment fonctionne une récurrence dans les exercices.

Bon courage!

merci pour votre aide j'ai enfin pu clore cet exo..merci, merci et encore merci!!!!!!!!!!

De rien Maths57,

Le plaisir pour nous est votre réussite .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!