Devoir maison de mathématiques TS

Bonjour, et Oui les cours ont repris et les Dm aussi et mon incompréhension des maths aussi.

Alors voila mon problème je ne comprend pas du tout comment commencer une question.

Partie A: La méthode de Tartaglia-Cardan : Résolution de l'équation (E): x³=6x+20

1. On pose x=u+v

a. Développer la quantité u³+v³+3(u+v)(uv-2)

Donc : u³+v³+3(u+v)(uv-2)= u³+v³+(3u+3v)(uv-2)
                                     = u³+v³+(3u*uv-6u+3v+uv-6v)
                                     = u³+v³+3u²v-6u+3v²u-6v

b.(Voici la question que je n'arrive pas)
Montrer que : x=u+v est solution de (E) ⬄ u³+v³+3(u+v)(uv-2)=20

Je ne sais même pas comment débuter la question

Merci d'avance de votre aide

Bonsoir,

Le développement à l'air bon de mon point de vue.

Ensuite, nous avons une équivalence à démontrer. Mais avant même de démarrer la démonstration, il va falloir répondre à cette question:
Que signifie "x=u+v est solution de (E)" ?
Sans réponse à cette question, tout est bloqué pour la démonstration. Dit autrement, il s'agit de savoir ce que signifie "être solution d'une équation".

Bon courage!

Bonjour, merci de votre réponse aussi rapide.

Je n'ai pas trop compris mais selon moi être solution d'une équation c'est que la solution trouvée pour l'équation est valable pour tout x.


Donc être solution d'une équation signifierait selon moi que u+v=6x+20

Non pardon je viens de penser a autre chose. Comme x=u+v et que cela est solution de (E) On a:

x³=6x+20
(u+v)³=6(u+v)+20

Ensuite on développe et on devrait arriver à l'équivalence.

Bonjour,

Je préfère en effet le second message au premier.
Si x=u+v est solution d'une équation cela signifie que l'égalité est vrai pour la valeur de x donnée tout simplement.

Maintenant, à toi de développer l'expression puis de la manipuler pour arriver à la nouvelle équation vérifiée par u et v.

Bon courage!

Merci pour votre aide, j'ai enfin réussi.

J'aimerais avoir confirmation pour une question.

On fixe pour la suite uv=2 et u³+v³=20, et on cherche à déterminer u³ et v³ puis u et v.

2.a. Montrer que pour tout réel x, (x-u³)(x-v³)=x²-20x+8

(x-u³)(x-v³)=x²-20x+8
x²-v³x-u³x+(uv)³=x²-20x+8
x²-v³x-u³x+2=x²-20x+8
x²+(-v³x+(-u³x)+8=x²-20x+8
x²-20x+8=x²-20x+8

b. Résoudre l'équation x²-20x+8=0, puis en déduire, déterminer les valeurs de u³ et v³. (penser à utiliser la question précédente)

x²-20x+8=0

calcul de Δ= b²-4ac
= (-20)²-4*1*8
= 368
Δ>0 donc 2 solutions

x1= (-b+√Δ)/2a= (20+16√23)/2
x2= (-b-√Δ)/2a= (20-16Δ23)/2

Donc par déduction u³ et v³ sont x1 et x2 les solutions de l'équation

Très fâcheuse rédaction que celle-ci:

Citation :

(x-u³)(x-v³)=x²-20x+8
x²-v³x-u³x+(uv)³=x²-20x+8
x²-v³x-u³x+2=x²-20x+8
x²+(-v³x+(-u³x)+8=x²-20x+8
x²-20x+8=x²-20x+8

En effet, dès le départ rien ne nous dit que l'égalité soit vraie!
C'est tout le problème des mathématiques, on ne manipule que des choses vraies OU on suppose au moins qu'elles sont vraies au départ pour les manipuler (solution d'équation, égalité vérifiée, ....)

Ici, on demande de montrer une égalité ce qui signifie qu'il faut montrer que l'égalité est vraie. Pour ce faire, on part soit du membre de gauche soit du membre de droite puis on fait en sorte qu'après manipulation on arrive à l'autre membre. MAIS on écrit JAMAIS l'égalité dès le départ !!!!

Imagine qu'à la fin tu arrives à: 0=2
Tu serais obligé de dire à la ligne suivante que les deux objets sont différents alors que tu n'auras écrit que des égalités juste au-dessus ;-).
(x-u³)(x-v³)=x²-v³x-u³x+(uv)³
(x-u³)(x-v³)= x²-v³x-u³x+2
(x-u³)(x-v³)= x²+(-v³x+(-u³x)+8

Or (-v³x+(-u³x) = ....

Donc (x-u³)(x-v³)= x²-20x+8

Toutes la démarche suivante est juste et la conclusion aussi d'ailleurs.

Bon courage pour la suite !

D'accord merci pour la rectification, je me souviendrais !

Voici la suite de l'exercice.

c. Déduire des questions précédentes que x=(³√10-2√23)+(³√10+2√23) est une solution de (E) dans R. A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10-² près de cette solution.

Donc on a:

x³=6x+20 ⬄ u³+v³+3(u+v)(uv-2)=20 ⬄ x³=20
Donc:

((³√10-2√23)+(³√10+2√23))³= 10-2√23+10+2√23
= 20

Donc x=(³√10-2√23)+(³√10+2√23) est solution de (E)

Mais je comprend pas pourquoi il veulent une valeur approcher a 10-² près vu que la solution est 20

Bonjour,

Je ne comprend pas la suite de tes équivalences.
En effet, l'équivalence étant transitive, cela reviendrait à écrire:
x³=6x+20 <=> x³=20 ce qui n'est pas de sens en soi vu que 6 n'est pas nul.

Ici, le but est d'utiliser la question 1) comme tu l'as fait en définissant u et v correctement sachant que la valeur de x t'es donnée sous la forme d'une addition, cela devrait pouvoir se faire rapidement. Puis ensuite, il faut effectuer tous les calculs au fur et à mesure pour retrouver que u et v vérifient l'égalité du 1).

La valeur approchée n'est là que pour savoir si la compétence "utilisation de la calculatrice" est validée (savoir utiliser la racine cubique et mettre les parenthèses où il faut pour répondre à la question).

Bonne continuation!

Bonjour,

Alors si j'ai bien compris on fait:

x³ = 6x+20

((³√10-2√23)+(³√10+2√23))³= 6((³√10-2√23)+(³√10+2√23))+20
10-2√23+10+2√23=6((³√10-2√23)+(³√10+2√23))+20
20-20=6((³√10-2√23)+(³√10+2√23))
0=6*20


J'ai du faire une erreur quelque part la ^^

Bonsoir,

Tu as oublié la première question en fait qui te donne l'équivalence entre x=u+v solution de E équivalent à "égalité vérifiée par u et v".

Ici, on te donne une forme pour x qui correspond presque à "u+v". Il te reste à poser u et v puis à vérifier si l'égalité est vraie tout simplement.

Bon courage!

ps: il y a une erreur flagrante dans ton développement de cube depuis quelques messages
(a+b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Merci de votre aide j'ai finalement réussi a trouver !