[1ère S] Dérivé et tangente

Résoudre une question de la forme:

a*x² + b*x + c = 0

Celà ne te rappelle rien ?

Oui à ta dernière phrase . On cherche l'enxemble des x, donc la solution n'en contient plus à la fin . Il faut que celà devienne un réflexe pour toi à l'avenir, dès que tu as une équation du second degrée c'est la réasolution avec le discrimintant (le fameux delta) directemetn sans se poser de question.

4) F'(x)=0

3x²-10x = 0

Delta = b²-4ac = 100-0 = 100

x1 = -b-Racine(Delta) / 2a = 10-10/2*3 = 0/6 = 0
x2 = -b + Racine(Delta) / 2a = 10+10/2*3 = 20/6 = 10/3

f possède une tangente parallèle à l'axe des abscisses sur l'intervalle ]0 ; 10/3[

5) y= -3x + 1

f'(x) = -3
3x²-10x = -3
3x²-10+3 = 0

Delta = b²-4ac = 100 - 4(3*3) = 100 -36 = 64

x1 = -b-Racine(Delta) / 2a = 10-8 / 6 = 2/6 = 1/3
x2 = -b+Racine(Delta) / 2a = 10+8 / 6 = 18/6 = 3

f a une tangente parallèle à D sur l'ensemble ]1/3 ; 3[

Et voilà!

Alros les résolution m'ont l'air déjà plus correcte .

Sinon, j'ai une question:

Citation :

f possède une tangente parallèle à l'axe des abscisses sur l'intervalle ]0 ; 10/3[

Tu le fait exprès pour m'embêter?

Deux solutions => deux tangentes au point correspondant avec la propriété correspondante !!!

C'est presque ça donc .

Oups j'suis distrait désolé.

4) F'(x)=0

3x²-10x = 0

Delta = b²-4ac = 100-0 = 100

x1 = -b-Racine(Delta) / 2a = 10-10/2*3 = 0/6 = 0
x2 = -b + Racine(Delta) / 2a = 10+10/2*3 = 20/6 = 10/3

f possède 2 tangentes parallèles à l'axe des abscisses : la première passant par x=0 et
la seconde par x = 10/3

5) y= -3x + 1

f'(x) = -3
3x²-10x = -3
3x²-10+3 = 0

Delta = b²-4ac = 100 - 4(3*3) = 100 -36 = 64

x1 = -b-Racine(Delta) / 2a = 10-8 / 6 = 2/6 = 1/3
x2 = -b+Racine(Delta) / 2a = 10+8 / 6 = 18/6 = 3

On a donc 2 tangentes parallèles à D : une en x= 1/3 et l'autre en x=3

Et voilà, tout est bon.

Est-ce que tu as compris la démarche que j'ai mise en place pour arriver à la résolution de ces équations ? Car c'st surtout celà le principale mêem si il faut mieux quand même savoir faire les calculs à la fin et emttre la bonne conclusion .

Oui je pense avoir compris . Heureux d'avoir réussi
mais c'esg pas fini... (Ooh.... )

6) Déterminer une équation de ces tangentes et les tracer précisément sur le dessin.

On connaît leur x mais, il nous manque leur y...
On pourrait utiliser cette formule nn? :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)

Tout à fait !!

Il s'agit bien de l'équation d'une tangente au point d'abscisse a. Il ne te reste plsu qu'à adapter aux abscisses que tu as trouver pour avoir les 4 équations poru els 4 tangentes que tu as (deux à chaque question).

6) Déterminer une équation de ces tangentes et les tracer précisément sur le dessin.

* Pour x = 0 :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(0-x)+3x^3-5x²+2
y= 0 - 3x^3 + 10x² + 3x^3 - 5x² + 2
y= 5x² + 2


*Pour x = 10/3 :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(10/3-x)+3x^3-5x²+2
y= 10x² - 3x^3 -100/3x +10x² + 3x^3 - 5x² + 2
y = 6x^3 + 15x² +2

*Pour x = 1/3

y = y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(1/3-x)+3x^3-5x²+2
y = x² - 3x^3 -10/3x + 10x² + 3x^3 - 5x² + 2
y= 6x² -10/3x + 2

*Pour x = 3

y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(3-x)+3x^3-5x²+2
y= 9x² -3x^3 -10x +10x² + 3x^3 - 5x² + 2
y= 14x² -10x + 2


Voilà!

Et non, c'est pas celà.

Citation :

Il s'agit bien de l'équation d'une tangente au point d'abscisse a. Il ne te reste plsu qu'à adapter aux abscisses que tu as trouver pour avoir les 4 équations poru els 4 tangentes que tu as (deux à chaque question).

L'abscisse que tu remplaces c'est a et non x !!

Le x est ta variable et le y est aussi une variable. La seul chose qui est fixé c'est a.

Donc la seule chose que tu peux changer c'est a.

D'ailleurs tu pouvais vérifier que le point d'abcisse 0 pour F n'appartenait pas à l'équation de ta première tangente, alors que celle-ci est tangente en cette abscisse là .

Je suis donc désolé mais tes quatre calculs sont à reprendre. Ce que tu utilises c'est:

Citation :

l'équation de la tangente à une courbe représentative de F au point d'abscisse a est y= F'(a)*(x-a) + F(a)

Attention au notation trompeuse, ce n'est pas parce qu'on appelle une solution à une équation x qu'il faut remplacer x. Essaie de prendre du recul lorsque tu fais un calcul pour savoir de quoi tu parles et ce vers quoi tu veux aller en le faisant, tu verra que c'est deux minutes de perdu éviteront bien des erreur de calculs et de compréhension .

Donc la méthode est bonne mais je dois remplacer a...


* Pour x = 0 :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(x-0)+3x^3-5x²+2
y = 3x^3 + 0 -10x² + 0 + 3x^3 - 5x² + 2
y= 6x^3 -15x² + 2

*Pour x = 10/3 :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(x-10/3)+3x^3-5x²+2
y= 3x^3 -10x² -10x² +100/3x + 3x^3 -5x² + 2
y = 6x^3 - 25x² +100/3x + 2

*Pour x = 1/3

y = y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(x-1/3)+3x^3-5x²+2
y= 3x^3 -x² -10x² + 10/3x + 3x^3 -5x² + 2
y = 6x^3 -16x² + 10/3x + 2

*Pour x = 3

y= F'(a)*(x - a) + F(a)
y= (3x²-10x)(3-x)+3x^3-5x²+2
y = 9x² - 3x^3 -30x + 10x² + 3x^3 - 5x² + 2
y= 14x² -30 x + 2

Cela me semble mieux

F'(a) = 3*x² - 10x, celà te semble bon lorsque a prend 4 valeur différente? Bizarre, vous avez dit bizarre...

De même, F(a) = 3x^3-5x²+2 ....

Ceci me parrait bien louche, tu ne trouves pas ?

F'(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse a et F(a) est l'image de l'abscisse a par la fonction F.

La prochaine sera la bonne je pense. J'espèreau moins que tu comprends les erreur successive (je pense que tu les feras plus jamais mais c'est surtout de comprendre la méthode et pourquoi celà marche comme celà et non autrement qui est important ).

A...
Pffiou j'commence à fatiguer jcrois... Bon j'vais boucler ça ce soir et poster les résultats demain.
A demain donc avec les bons résultats. Bonne soirée et merci.

Ne t'inquiète pas ça va rentrer avec le temps ce genre de manipulation .

Les tangentes et tout ce qu'on peut faire avec sont des choses neuves pour toi et c'est bien normal de ne pas tout comprendre du premier coup.

Je vais ajouter d'ici quelque temps un exercice sur les tangentes dans la Cage aux exercices en essayant de trouver un autre type d'exercice pour te montrer les possibilités que possèdent le travail sur les tangentes et les dérivées .

Sinon pour indication poru les questions suivantes:

7) Une droite de coefficient directeur F'(x) est perpendiculaire à une droite de coefficient directeur 1/7 si et seulement si 7*F'(x) = 1, Nous sommes donc ramené à une autre résolution d'une équation du second degrée.

Sache en tout cas que si tu as bien compris ce qu'on fait en ce moment, tu vas avoir nu bon bagage pour pour la suite du cours (que se soit pour la fin de l'année que pour la Terminale S).

Donc rien ne sert de courir et n'hésite pas à me faire répéter au cas où.

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

Re!
Je vais d'abord faire la première voir si je n'ai rien oublié pour ensuite faire les autres.

f(x) = x^3-5x²+2


* Pour x = 0 :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)

F(a) = 0^3 - 5*0² + 2 = 2
F'(a) = 0

y = 0*(x-10/3) + 2 = 2

En effet c'es presque celà.

Le presque vient de là:

Citation :

y = 0*(x-10/3) + 2 = 2

vu que a=0 dans ton calcul, c'est donc y = 0*(x - 0) + 2 = 2

Le 10/3, c'est pour le calcul suivant .

Tuas donc compris la méthode, je pense. Pour ta rédaction, je te conseille de le rédiger exactement comme tu viens de le faire sauf poru l'entrée en matière:

Ne mets pas "pour x=0" mais Cherchons l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

L'avantage de commencer comme celà, c'est d'éviter de confondre les x et les a comme tu t'étais fait piéger lors de ton premier calcul.

Bon courage!

Bonsoir!
Désolé hier je n'ai pas pu continuer ce que j'avais débuté donc, je répare cette injustice dès maintenant :

f(x) = x^3-5x²+2


* Pour x = 0 :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)

F(a) = 0^3 - 5*0² + 2 = 2
F'(a) = 0

y = 0*(x-0) + 2 = 2


*Pour x = 10/3 :

y= F'(a)*(x - a) + F(a)

F(a) = (10/3)^3 - 5 * (10/3)² + 2
F(a) = 1000/27 - 5* (100/9) + 2
F(a) = 1000/27 - 500/9 + 2
F(a) = 1000/27 - 1500/27 + 2 = -500/27 + 54/27
F(a) = -446/27

F'(a) = 3x² - 10x = 3*(10/3)² - 10(10/3)
F'(a) = 300/9 - 100/3 = 0

y = 0(x-10/3) + -446/27 = -446/27


*Pour x = 1/3

y= F'(a)*(x - a) + F(a)

F(a) = (1/3)^3 - 5 * (1/3)² + 2
F(a) = 1/27 - 5/9 + 2 = 1/27 - 15/27 + 54/27
F(a) = 40/27

F'(a) = 3(1/3)² - 10(1/3) = 3/9 - 10/3 = 1/3 - 10/3 = -9/3

y = -9/3(x-1/3) + 40/27
y = -9/3x + 1 + 40/27 = -3x + 67/27


*Pour x = 3

y= F'(a)*(x - a) + F(a)

F(a) = 3^3 - 5(3)² + 2
F(a) = 27 - 45 + 2 = -16

F'(a) = 3(3)² - 10(3) = 27 - 30 = -3

y = -3(x-3) -16 = -3x + 9 - 16 = -3x - 5

Normalement c'est bon

(10/3)^3 - 5 * (10/3)² + 2

Bonsoir,

Les quatre calculs sont tout à fait juste .

Une petite remarque par rapport à la cohérences de l'exercice. On retrouve bien dans les deux premières tangentes un coefficient directeur égale à 0 et pour celui des deux autres tangentes égale à -3 (qui est le même que la droite y= -3x + 1).

Donc les résultats en plus d'être justes sont cohérents par rapport à notre démarche de résolution.

Il nous reste plus que la question 7) à faire. Et pour celà je te rappelle la propriété qui existe entre les coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires.

Ici on a F'(x) et -1/7 comme coefficient respectif des deux droite qu'on considère. Et vu qu'elles doivent être perpendiculaire, on a la relation suivante:

F'(x)*[1/(1/7)] = -1 <=> 7*F'(x) = -1 (1/7)*F'(x) = -1

En effet, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égale à -1.

Et nous voilà reparti dans une résolution d'équation .

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

Citation :

Ici on a F'(x) et -1/7 comme coefficient respectif des deux droite qu'on considère. Et vu qu'elles doivent être perpendiculaire, on a la relation suivante:

F'(x)*[1/(1/7)] = -1 <=> 7*F'(x) = -1

Et nous voilà reparti dans une résolution d'équation Wink.

7F'(x) + 1 = 0
7* (3x² - 10x) = 0
21x² -70x = 0

??

Désolé je dois encore partir.. Promis demain je boucle ça .
A plus et merci!

Mis à part le fait que le "+1" c'est évanouie dans la nature entre la première et la deuxième ligne, il s'agit bien de résoudre cette équation là.

Il 'agit d'une équation du second degré, donc c'est la routine .

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

7F'(x) + 1 = 0
7* (3x² - 10x) = 0
21x² -70x +1 = 0

Delta = b²-4ac = -70² - 4(21*1) = 4900 - 84 = 4816

x1 = -b-Racine(Delta) / 2a = 70 - Racine(4816) / 42
x2 = -b + Racine(Delta) / 2a = 70 + Racine (4816) / 42

On a donc 2 solutions

Bonjour,

Le calcul est juste mais trouvant le résultat un peu complexe pour l'exercice, j'ai regardé ce que j'avais dit dans mon derniers post est j'ai fait une erreur.

En effet, deux droite sont perpendiculaires si le produit de leur coefficient sont égaux à -1.

C'est à dire qu'il faut résoudre (1/7)*F'(x) = -1 et non ce que je t'ai dit la dernière fois (je vais d'ailleurs corrigés).

Avec mes excuses pour cette maladresse.

On a donc à résoudre (1/7)*F'(x) = -1 (vu que ton calcul était bon tout à l'heure, je vais me charger de celui-là pour me faire pardonner de mon erreur d'inatention).

Donc (3/7)*x² - (10/7) + 1 = 0

Delta= (10/7)² -4*(3/7)*1 = 100/49 - 12/7 = 100/49 - 84/49 = 16/49

Donc racine(Delta) = 4/7

D'où les deux solutions sont:

x₂= (10/7 - 4/7) / 2*[3/7] = (6/7) / (6/7) = 1

x₂ = (10/7 + 4/7) / [2*(3/7)] = (14/7) / (6/7) = 14/6 = 7/3

Nous avons donc deux tengentes perpendiculaires à la droite d'équation y = 1/7x - 4. L'une au point d'abscisse 7/3 et l'autre au point d'abscisse 1.

Ceci conclut donc l'exercice et encore avec mes excuse pour le problème de rédaction à la fin.

Bon coruaeg pour la suite et @bientôt au sein du forum!

C'est pas grave en tout cas j'ai compris la démarche donc, l'essentiel est acquis.
Par contre, j'ai entendu parler d'ensemble de dérivabilité mais je sais pas ce que c'est à part qu'il est noté E' parfois.
Pourrais-je avoir des précisions là-dessus stp?

Mais c'est tout à fait possible, en effet.

Déjà la notation E' n'est pas forcément standard, il s'agit juste de le différencier de l 'ensemble de définition de la fonction.

Justement, jusqu'à maintenant, tu as souvent entendu parler de l'ensemble de définition qui correspond à l'ensemble de réels x tel que F(x) existe.

Et bien l'ensemble de dérivabilité de F est l'ensemble des réels x tel que F'(x) existe c'est à dire l'ensemble sur lequel F est dérivable c'est à dire que: lim_h->0 [F(0+h) - F(0)] / h n'est pas finie.

Cela à l'air simple car il y a une analogie entre ensemble de définition et ensemble de dérivabilité. Et l'analogie est encore plus flagrante si je dis:

L'ensemble de dérivabilité de la fonction F est l'ensemble de définition de la fonction F'.

Pour te donner des exemple précis:

1)Toutes les fonctions polynôme sont définies sur R et la dérivé d'une fonction polynôme est encore une fonction polynôme.

Donc l'ensemble de dérivabilité d'une fonction polynôme est R


2) La fonction racine carrée est définie sur R₊ = [0; +l'inf[

Et son ensemble de dérivabilité est ]0; +l'inf[ car la fonction racine n'est pas dérivable en 0 c'est à dire que la lim_h->0 [F(0+h) - F(0)] / h n'est pas finie.

En espérant que ceci soit plus clair pour toi.

En fait, je dois employer la même formule que pour l'exercice soit :

f(a+h)-f(a) / h ??