[1ère S] Géométrie dans l'espace

Salut!
Comme "promis" un exercice de géométrie dans le plan qui me semble traiter les bases de ce sujet : (Les vecteurs sont mis en gras.



Soit ABCDEFGH un cube et I le milieu de [BC].

1.(a) Les vecteurs AE , AG et EG sont-ils coplanaires?
(b) Montrer que les vecteurs AB, BD et EG sont coplanaires.


2. On considère le repère (A ; AB ; AD ; AE).
(a) Dans le repère (A ; AB ; AD ; AE), déterminer les coordonnées des vecteurs AG , AI et EB.

(b) Déterminer deux réels Alpha et Bêta tels que :


(c) Que peut-on en déduire?




Voici pour l'énoncé et, voilà pour mes réponses :

1. (a) AE , AG et EG sont coplanaires si il existe 3 réels Alpha, Bêta et Gamma tels que :



--> Je dois déterminer les coordonnées des points A, E et G dans le repère (A ; AB ; AD ; AE).

* A est l'origine donc : A(0 ; 0 ; 0)
* E est au point 1 de l'axe des y donc : E(0 ; 1 ; 0)

*G(??) --> AG = AE + EF + FG

avec AE (0-0 ; 1-0 ; 0-0 ) --> AE (0 ; 1 ; 0)

et EF = AB avec B (1 ; 0 ; 0)
--> AB (1-0 ; 0-0 ; 0-0) --> AB (1 ; 0 ; 0)

--> AG = AE + AB + FG
avec FG = BC
et BC = AB + BZ + ZC
avec Z projeté orthogonal de C sur l'axe des abscisses --> BZ = 1/2 AB
BC = 3/2AB + ZC avec ZC = 1/4 CG

BC = 3/2AB + 1/4CG = 3/2 AB + 1/4 AE


--> AG = AE + AB + 3/2AB + 1/4 AE
AG = 5/4AE + 5/2AB
AG = 5/4(0 ; 1 ; 0) + 5/2 (1 ; 0 ; 0)

On a donc :

xAG = 5/4 * 0 + 5/2 *1 = 5/2 = 2.5
yAG = 5/4*1 + 5/2 * 0 = 5/4 = 1.25
zAG = 5/4*0 + 5/2*0 = 0

-> AG(2.5 ; 1.25 ; 0) avec A(0 ; 0 ; 0)

AG (2.5 - 0 ; 1.25 - 0 ; 0 - 0) donc G(2.5 ; 1.25 ; 0)

Je peux maintenant calculer EG :

EG (2.5-0 ; 1.25-1 ; 0-0) --> EG(2.5 ; 0.25 ; 0)

Je sais que :

AE (0 ; 1 ; 0)
AG(2.5 ; 1.25 ; 0)
EG(2.5 ; 0.25 ; 0)

donc :

Alpha (0 ; 1 ; 0) + Bêta (2.5 ; 1.25 ; 0) + Gamme (2.5 ; 0.25 ; 0) = (0 ; 0 ; 0)

soit :

0Alpha + 2.5Bêta + 2.5Gamma = 0 (1)
1Alpha + 1.25 Bêta + 0.25 Gamme = 0 (2)
0Alpha + 0 Bêta + 0Gamma = 0 (3)


(3) 0Alpha + 0 Bêta + 0Gamma = 0
0Gamma = 0

(1) 0Alpha + 2.5 Bêta + 2.5Gamma = 0 avec Gamma = 0
0Alpha + 2.5*0 = -2.êta
0 = -2.5Bêta = 0

(2) 1Alpha + 1.25 Bêta + 0.5Gamma = 0 avec : Gamma = 0 et Bêta = 0
Alpha + 0 + 0 = 0
Alpha = 0


donc AE , AG et EG ne sont pas coplanaires.

Cela me paraît fort long et le problème quand c'est long c'est que c'est souvent boiteux...


2) Là, problème : j'emploie la même méthode et je trouve à chaque fois 0 alors qu'ils devraient être coplanaires...

En effet ça faisait longtemps!

Alors, pour la question 1) bizarrement on ne te parle pas encore de repère orthonormé. J'ai donc un doute sur le fait qu'il faille pousser si loin dans un premier temps.

Une autre définition de coplanaire est "qui appartient à un même plan". Tu peux aussi dire qu'ils sont coplanaires si tu peux exprimer l'un en fonction des deux autres comme tu as voulu le faire, les deux définitions sont équivalentes.

Mais dans l'espace j'aime bien faire simple lorsqu'on peut faire simple. Tu ne vois pas un plan commun à ses trois vecteurs ? (dessine-les tu vas le voir apparaître tout de suite).

Sinon pour la question, 1)b) c'est pas "ne sont pas coplanaire"?

Exprimer l'un d'entre eux par les 2 autres soit par exemple :

AE = AlphaAG + Bêta EG?

A oui le plan EGCA non?
Pour le 1)b) non c'est bien "sont coplanaires".

Alors pour la 1)a) oui le plan (AEG) contient bien els 3 vecteurs donc les trois vecteurs sont coplanaires.

Pour la 1)b) il s'agit de montrer que AB, BD et EG sont coplanaires, on est bien d'accord?

Je vais recherche un moyen de ne pas passer par les coordonnées car le repère est donné qu'en 2) donc on ne doit pas l'utiliser avant logiquement.

Pour la 1)a), j'ai juste à dire qu'ils appartiennent au plan (AEG)?

Oui, pour la b) c'est bien les vecteurs AB, BD et EG.

Pour la 1)a) tu justifie juste le fait que les trois vecteurs appartienent à un plan commun qui est (AEG) et c'est gagné en effet.


Sinon c'est bon pour la 1)b), j'avais pas vu l'astuce mais ils sont bien coplanaires.

Autre définition de coplanaire pour trois vecteurs:

Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si on peut trouver un représentant de chacun d'eux dans un même plan.

Donc par exemple trouvons un représentant de EG qui soit dans le même plan que AB et BD.

Je récapitule :

1)a) Les vecteurs AE, AG et EG appartiennent au plan (AEG) qui leur est commun : ils sont donc bel et bien coplanaires.

1)b) Pour prouver que AB, BD et EG sont coplanaires, je vais chercher un représentant de chacun d'eux dans un même plan.
AB et BD appartiennent tous les deux au plan (ABC).
ABCDEFGH est un cube donc EG = AC : AC appartenant lui aussi au plan (ABC).

AB, BD et EG sont donc coplanaires.

C'est bon?

C'est tout à fait ça .

Bon maintenant, on te définie un repère orthonormé et on te demande de trouver les coordonnées de certains vecteurs dans ce repère là.

La question suivante sera à partir de ses coordonnée de montrer qu'on peut exprimer un des vecteurs à partir des deux autres.

La conclusion vient du théorème que tu voulais utiliser en 1)a).

Bon courage pour la suite!

2)(a)

Les coordonnées sont-elles juste?

Bonjour,

Le premier résultat est bon. Les deux autres tu as inversé deux vecteurs du repère. En effet, le vecteurs AD est le deuxième vecteurs de base et le vecteur AE est le dernier vecteur de base.

Donc AD(0,1,0) et AE(0,0,1). Il n'y a que celà à corrigé pour que tout soit juste dans tes calculs .

A partir des ces trois coordonnées, tu vas pouvoir déduire la relation plutot simplement je pense.

Bon courage!

2)(a)
AG = AB + BC + CG
AG = (1 ; 0 ; 0) + (0 ; 0 ; 1) + (0 ; 1 ; 0)
AG (1 ; 1 ; 1)


-------------------

AI = AB + BI
AI = (1 ; 0 ; 0) + 1/2 AD = (1 ; 0 ; 0) + 1/2(0 ; 1 ; 0)
AI = (1 ; 0; 0) + (0 ; 0.5 ; 0)
AI (1 ; 0.5 ; 0)


-------------------

EB = EF + FB
EB = AB + FB = (1 ; 0 ; 0) + FB
EB = (1 ; 0 ; 0) + EA = (1 ; 0 ; 0) + (0 ; -1 ; 0)
EB (1 ; 0 ; .1)

C'est bon?

Oui tout est bon là mis à part l'erreur de frappe pour le dernier qui est EB(1,0,-1).

Sinon tout est ok

2)(a)
AG = AB + BC + CG
AG = (1 ; 0 ; 0) + (0 ; 0 ; 1) + (0 ; 1 ; 0)
AG (1 ; 1 ; 1)


-------------------

AI = AB + BI
AI = (1 ; 0 ; 0) + 1/2 AD = (1 ; 0 ; 0) + 1/2(0 ; 1 ; 0)
AI = (1 ; 0; 0) + (0 ; 0.5 ; 0)
AI (1 ; 0.5 ; 0)


-------------------

EB = EF + FB
EB = AB + FB = (1 ; 0 ; 0) + FB
EB = (1 ; 0 ; 0) + EA = (1 ; 0 ; 0) + (0 ; -1 ; 0)
EB (1 ; 0 ; -1)




b) AG = Alpha AI + Bêta EB

(1 ; 1 ; 1) = Alpha ( 1 ; 0.5 ; 0) + Bêta ( 1 ; 0 ; -1)


1Alpha + 1Bêta = 1 (1)
0.5Alpha + 0Bêta = 1 (2)
0Alpha -1Bêta = 1 (3)


(2)


(3)

(1)

--> Les résultats sont donc vérifiés.


2(c) On peut donc en déduire que ces 3 vecteurs sont coplanaires.

Et voilà le travail!

Rien à dire c'est nickel !

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Merci beaucoup!

Bonsoir @toutes et tous,

Tout avait quasiment été rédigé par MrTheYo, je vais donc vous proposer une correction à partir de ces écrits. Je vous laisse relire l'énoncer au début du sujet dans un premier temps. Et voici donc les réponses au question:

Citation :

1)a)

Les vecteurs AE, AG et EG appartiennent au plan (AEG) qui leur est commun : ils sont donc bel et bien coplanaires.


1)b)

Pour prouver que AB, BD et EG sont coplanaires, je vais chercher un représentant de chacun d'eux dans un même plan.
AB et BD appartiennent tous les deux au plan (ABC).
ABCDEFGH est un cube donc EG=AC et AC appartenant lui aussi au plan (ABC).

AB, BD et EG sont donc coplanaires.


2)(a) Nous nous plaçons dans le repère défini par (A; AB, AD, AE)

AG = AB + BC + CG
AG = (1 ; 0 ; 0) + (0 ; 0 ; 1) + (0 ; 1 ; 0)

Donc AG (1 ; 1 ; 1)


-------------------

AI = AB + BI
AI = AB + 1/2*AD = (1 ; 0 ; 0) + 1/2(0 ; 1 ; 0)
AI = (1 ; 0; 0) + (0 ; 0.5 ; 0)

Donc AI (1 ; 0.5 ; 0)


-------------------

EB = EF + FB
EB = AB + EA
EB = (1 ; 0 ; 0) + (0 ; -1 ; 0)

Donc EB (1 ; 0 ; -1)



b) AG = α*AI + β*EB

<=> (1 ; 1 ; 1) = α*( 1 ; 0.5 ; 0) + β*( 1 ; 0 ; -1)

Et ceci est équivalent au système suivant:

1*α + 1*β = 1 (1)
0.5*α + 0*β = 1 (2)
0*α -1*β = 1 (3)

Nous allons considérer les ligne une par une:

(2)

0.5*α + 0*β = 1
<=>0.5*α= 1
<=> α = 1/0.5
<=> α= 2

(3)

0*α - 1*β = 1
<=> -1*β = 1
<=> β = -1

Les deux dernières égalités nous donne un couple (α,β)=(2,-1). Vérifions que celui-ci est bien valable pour la première égalité:

(1)

1*α + 1*β = 1*2 - 1*1 = 1

--> Les résultats sont donc vérifiés.

2(c) On peut donc en déduire que ces 3 vecteurs sont coplanaires.

Dans cette exercice, la difficulté repose sur le fait de connaître les trois façons de montrer que des vecteurs sont coplanaires. L'autre difficulté étant placée au niveau de la correspondance entre égalité vectorielle et égalité au niveau des coordonnées des vecteurs.

Je vous souhaite une bonne continuation @toutes et tous et @bientôt au sein du forum!