Suites : Exercice récapitulatif

Salut,
j'ai un exercice de maths sur les suites où, je bloque encore sur quelques questions (c'est assez désagréable d'ailleurs). J'aurais donc besoin de vos lumières une fois de plus...

Voici l'énoncé :


On étudie la suite définie par :

U_n+1 = (5U_n+3) / (U_n + 3)
et U₀ = 1

La fonction associée à cette suite est définie par :
f(x) = (5x+3)/(x+3)

1. Etablir le tableau de variations de f sur [0 ; 3].
2. Calculer avec 4 chiffres significatifs les 10 premiers termes de la suite, quelles sont les conjectures que l'on peut faire sur celle-ci?
3. Faire un graphique mettant en évidence la construction des premiers termes de la suite.
4. Montrer par récurrence que, pour tout n, 0 < ou égal à n < ou égal à 3.
5. Montrer par récurrence que la suite (U_n) est croissante.
6. Démontrer ensuite que, pour tout n, U_n+1 - U_n = [(3-U_n)(U_n + )] / (U_n + 3). Utiliser la question 4 pour démontrer sans récurrence que la suite est croissante.
7. On pose alors V_n = (U_n - 3) / (U_n +1).
Exprimer V_n+1 en fonction de U_n puis montrer que la suite (V_n) est géométrique, en préciser la raison.
8. Exprimer U_n en fonction de V_n puis U_n en fonction de n.



Voici mes résultats :

1. f'(x) = 12/(x+2)² --> On remarque que x devra être différent de -2 même si ça ne nous sera pas franchement utile...

Donc tableau de signes, de variations donc f(x) croissante sur l'intervalle [0;3] avec quand x = 0, f(x) = 1 et quand x = 3, f(x) = 3.

2. Calcul des 10 premiers termes. (Ici, j'ai un gros doute sur mes calculs donc, si vous pouviez y jeter un petit coup d'oeil ça m'aiderait beaucoup svp)



Conjectures : (U_n) semble être croissante et semble converger vers 3)

3. Graphique de récurrence : je trace y = x ainsi que f(x) et je place u0 etc...
mais, à x=4, la valeur n'est pas la même qu'à U₄ et ça me semble étrange...

4. Soit P_n la propriété "0 < ou égal à U_n < ou égal à 3"

I) INITIALISATION :

P₀ vraie? avec U₀ = 1
0 < ou égal à P₀ < ou égal à 3
0 < ou égal à 1 < ou égal à 3 --> 1 bien compris entre 0 et 3 --> P₀ vraie!

II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie soit : 0 < ou égal à U_n < ou égal à 3

--> On doit prouver que :
0 < ou égal à U_n+1 < ou égal à 3

avec : U_n+1 = (5U_n + 3) / (U_n+3)

--> 0 < ou égal à (5U_n + 3) / (U_n + 3) < ou égal à 3
0 < ou égal à U_n+1 < ou égal à 3

avec :

0 < ou égal à U_n < ou égal à 3 DONC :
(5*0+3)/(0+3) = 1

OU

0 < ou égal à U_n < ou égal à 3 DONC :
(5*3+3)/(3+3) = 18/6 = 3

--> n a donc 2 cas :

0 < ou égal à 1 < ou égal à 3 --> OK
0 < ou égal à 3 < ou égal à3 --> OK

Au final, P_n+1 est vérifiée donc P_n est vraie par récurrence!

5. Montrer par récurrence que (U_n) croissante :

(U_n) croissante si U_n+1 > U_n
donc :
Soit P_n la propriété : "U_n+1 > U_n"

I) INITIALISATION :
P₀ vraie? avec u₀ = 1 et U₁ = 2
U₁ > U₀
2 > 1 --> P₀ est donc vérifiée!

II) HEREDITE :

Soit P_n supposée vraie, je dois prouver que :
U_n+2 > U_n+1
avec U_n+1 = (5U_n + 3) / (U_n +3)
DONC : U_n+2 = (5U_n+1+3) / (U_n+1+3)

--> U_n+1 < U_n+2
--> (5U_n + 3) / (U_n +3) < (5U_n+1+3) / (U_n+1+3)
et là, je ne vois pas quoi faire à part dire que :
--> f(U_n+1) < f(U_n)
En gros, ça fait light...


6. Là, je ne trouve pas U_n...
J'ai donc tenté de développer l'expression que l'on me donne :

U_n+1-U_n = [(3-U_n)(U_n + 1)] / (U_n + 3)
U_n+1-U_n = (3U_n + 3 - U_n² - U_n) / (U_n + 3)
U_n+1-U_n = (2U_n - U_n² + 3) / (U_n + 3)
U_n+1-U_n = [U_n(2-U_n)+3] / (U_n(1+(3/U_n)))
U_n+1-U_n = (-U_n + 5) / (1+(3/U_n))

Alors pour démonter sans récurrence...

7. Exprimer V_n+1 en fonction de u_n :

V_n+1 = (U_n+1 - 3) / (U_n+1 +1)
V_n+1 = (5U_n + 3 - 3) / (5U_n + 3 +1)
V_n+1 = 5U_n / (5U_n + 4)

La suite est-elle géométrique?

V_n+1 / V_n = [5U_n / (5U_n + 4)] / [(U_n - 3) / (U_n +1)]
V_n+1 / V_n = [5U_n/(5U_n + 4)] * [(U_{n[sub]+1) / (U[sub]n} - 3)]
V_n+1 / V_n = (5U_n² - 5U_n) / [(5U_n +4)(U_n -3)]
V_n+1 / V_n = (5U_n² + 5U_n)/(5U_n² - 15 U_n + 4U_n - 12)
V_n+1 / V_n = (5U_n² + 5U_n)/(5U_n² -11U_n-12)
V_n+1 / V_n = [5(U_n² + U_n) / [5(U_n² - (11/5)U_n - (12/5)]
V_n+1 / V_n = (U_n²+U_n) / (U_n² - (11/5)U_n -(12/5))

Et là, je bloque...

8. Là, j'ai besoin de ce qu'il y a avant...

Je bloque donc vraiment beaucoup sur cet exercice et, j'aimerais bien le comprendre...
V_n+1 / V_n =

Bonsoir!

Les exercices se complique un poil comme tu t'en doutais . En effet maintenant qu'on est quasi au point sur les suites, nous mettons en relation suites et fonctions avec tout le bagage qu'on a dans les deux domaines en gros.

Mais rien d'insurmontable car comme je le disais nous avons tout le bagage en poche, suffit de savoir ce qu'il faut utiliser tel ou tel endroit ça vient avec la pratique t'inquiète pas. alors voyons au fur et à mesure ce qu'on peut faire de cet exercice et les difficulté qu'on rencontre sur certains points.

Citation :

1. f'(x) = 12/(x+2)² --> On remarque que x devra être différent de -2 même si ça ne nous sera pas franchement utile...

Ici légère erreur qui sera peut-être importante pour la suite. En effet, notre fonction c'est F(x)= (5x+3)/(x+3). Là c'est faire attention à l'énoncer de l'exercice et de ne pas mal le recopier à moins que ça soit dû à l'ordi en ce cas c'et moins génant à la rigueur.

Citation :

Donc tableau de signes, de variations donc f(x) croissante sur l'intervalle [0;3] avec quand x = 0, f(x) = 1 et quand x = 3, f(x) = 3.

Pas de problème pour ceci, j'imagine que ça roule tout seul.

Citation :

2. Calcul des 10 premiers termes. (Ici, j'ai un gros doute sur mes calculs donc, si vous pouviez y jeter un petit coup d'oeil ça m'aiderait beaucoup svp)


U0 = 1
U1 = 2
U2 = 2.6
U3 = 2.857
U4 = 2.951
U5 = 2.98
U6 = 2.994
U7 = 2.998
U8 = 2.999
U9 = 2.999


Conjectures : (Un) semble être croissante et semble converger vers 3)

Première remarque, il te demande une précision à 4 chiffre significatifs. Lorsqu'on parle de chiffre significatif que ce soit en maths, en bio ou en physique-chimie, il s'agit toujours de chiffre après la virgule. Or ici il n'y en a que 3 ce qui ne te permet pas de distinguer U8 et U9 ce qui pourrait t'induire en erreur pour la conjecture par exemple dire quel a suite est constante à partir de U8 ce qui n'esst pas le cas. C'est donc pour cela qu'on demande 4 chiffres significatifs et qu'il faut les mettre .

Mise à part cette erreur d'arrondi, les calculs sont justes pour ma part, je trouve les 3 mêmes chiffres que toi après la virgule. Il te reste donc à mettre le bon 4ème chiffre à chaque fois. Un conseil d'ailleurs si tu peut garder les valeur exactes gardes les pour tes calculs et donne seulement les arrondi comme réponse car sinon tu accumule les erruers d'arrondis au fur et à mesures des calculs si tu prends à chaque fois les valeurs approchées que tu trouves à chaque étape.

Citation :

3. Graphique de récurrence : je trace y = x ainsi que f(x) et je place u0 etc...
mais, à x=4, la valeur n'est pas la même qu'à U4 et ça me semble étrange...

Alors pur le graphique, n'oublie pas les Un se lisent sur l'axe des ordonnées à chaque fois. Tes calculs au-dessus étant bons, le graphique devrait confirmer les points en gros car tu as une intersection en (3,3) entre F et la droite y=x vu qu'on a convergence vers cette valeur là. Donc tout doit se concentrer de façon croissante vers ce point.

Citation :

4. Soit Pn la propriété "0 < ou égal à Un < ou égal à 3"

I) INITIALISATION :

P0 vraie? avec U0 = 1
0 ≤ P0 ≤ 3
0 ≤ 1 ≤ 3 --> 1 bien compris entre 0 et 3 --> P0 vraie!

II) HEREDITE :

On suppose Pn vraie soit : 0 ≤ à U_n ≤ 3

--> On doit prouver que :
0 ≤ U_n+1 ≤ 3


avec : U_n+1 = (5U_n + 3) / (U_n+3)

--> 0 ≤ (5Un + 3) / (Un + 3) ≤ 3
0 ≤ Un+1 ≤ 3

avec :

0 ≤ Un ≤ 3 DONC :
(5*0+3)/(0+3) = 1

OU

0 ≤ Un ≤ 3 DONC :
(5*3+3)/(3+3) = 18/6 = 3

--> On a donc 2 cas :

0 ≤ 1 ≤ 3 --> OK
0 ≤ 3 ≤ 3 --> OK

Au final, P_n+1 est vérifiée donc P_n est vraie par récurrence!

Ici, je ne suis pas très sûr que tu es compris ce que tu fais car même moi j'ai du mal à comprendre par où tu passes et d'où sorte les deux cas par exemple.

Il y a une confusion dans l'initialisation entre P0 et U0, j'ai l'impression aussi. Pn c'est une expression qui dépent de n et pas conséquent il n'intervient pas dans les calculs.

On a U0=1, Or 1 est bien compris entre 0 et 3, donc P0 est vraie tout simplement. Il ne sert à rien en fait de vouloir trop en dire car après on finit pas s'embrouiller et à ne plus être claire car avec du recule je ne sais pas si toi même tu te trouves clair dans ce que tu fais pour le coup.

On cherche à montrer donc que 0≤U_n+1≤3

Or U_n+1= F(Un) en fait c'esst tout l'intérêt de cette fonction F. Et ensuite n'oublie pas qu'on a fait des questions avant celle-ci en particulier la 1) qui nous donnel e snes de variation de F ce qui va nous permettre de conclure plus facilement.

Citation :

5. Montrer par récurrence que (Un) croissante :

(Un) croissante si Un+1 ≥ Un
donc :
Soit Pn la propriété : "Un+1 ≥ Un"

I) INITIALISATION :
P0 vraie? avec U0 = 1 et U1 = 2
U1 > U0
car 2 > 1 --> P0 est donc vérifiée!

II) HEREDITE :

Soit Pn supposée vraie, je dois prouver que :
U_n+2 > U_n+1
avec U_n+1 = (5Un + 3) / (Un +3)
DONC : U_n+2 = (5U_n+1+3) / (U_n+1+3)

--> U_n+1 < U_n+2
--> (5Un + 3) / (Un +3) < (5_Un+1+3) / (U_n+1+3)
et là, je ne vois pas quoi faire à part dire que :
--> f(U_n+1) < f(Un)
En gros, ça fait light...

Attnetino au sens de tes implications ici car on a l'impression que tu suppose le résultat poru le démontrer. Part de ton hypothèse et applique F tout simplement et tu dit ensuite à quoi sont égales les deux images respective et c'est bouclé en effet.

Le but de définir et d'étudier F a vraiment tout son sens dans cette exercice, rien ne sert de vouloir faire compliquer. On a introduit la fonction F justement pour tout simplifier et pour donner le lien entre fonction et suite ce qui est vraiment le but premier.

Citation :

6. Là, je ne trouve pas Un...
J'ai donc tenté de développer l'expression que l'on me donne :

Un+1-Un = [(3-Un)(Un + 1)] / (Un + 3)
Un+1-Un = (3Un + 3 - Un² - Un) / (Un + 3)
Un+1-Un = (2Un - Un² + 3) / (Un + 3)
Un+1-Un = [Un(2-Un)+3] / (Un(1+(3/Un)))
Un+1-Un = (-Un + 5) / (1+(3/Un))

Alors pour démonter sans récurrence...

Attention ici aussi, ton raisonnement est faux et c'est la même remarque qu'au-dessus. Tu pose le résultat pour le démontrer c'est mathématiquement et logiquement incorrect. En gros tu dis qu'il y a une pièce de 2€ dans ta poche et tu tente de le montrer alros que tu viens de le dire .

On te demande de montrer cette égalité là: Un+1-Un = [(3-Un)(Un + 1)] / (Un + 3)

Donc soit tu pars du membre de droite et tu montre qu'il est égale à celui de gauche. Soit tu part de celui de gauche pour montrer qu'il est égale au membre de droite. Soit tu calcules séparément les deux membre et tu montres qu'ils sont égale. Mais en aucun cas tu marques l'égalité et tu travailles dessus! C'est une erreur classique mais à proscirre tout de suite .

Je te conseille dans un premier temps de calculer simplement U_n+1 - Un en fonction de Un et de montrer qu'il est bien égal au membre de droite.

Citation :

7. Exprimer V_n+1 en fonction de Un :

V_n+1 = (U_n+1 - 3) / (U_n+1 +1)
V_n+1 = (5Un + 3 - 3) / (5Un + 3 +1)
V_n+1 = 5Un / (5Un + 4)

La suite est-elle géométrique?

Vn+1 / Vn = [5Un / (5Un + 4)] / [(Un - 3) / (Un +1)]
Vn+1 / Vn = [5Un/(5Un + 4)] * [(Un<sub>+1) / (U[sub]n - 3)]
Vn+1 / Vn = (5Un² - 5Un) / [(5Un +4)(Un -3)]
Vn+1 / Vn = (5Un² + 5Un)/(5Un² - 15 Un + 4Un - 12)
Vn+1 / Vn = (5Un² + 5Un)/(5Un² -11Un-12)
Vn+1 / Vn = [5(Un² + Un) / [5(Un² - (11/5)Un - (12/5)]
Vn+1 / Vn = (Un²+Un) / (Un² - (11/5)Un -(12/5))

Et là, je bloque...</sub>

A quoi est égale U[sub]n+1 ? Et est-ce que c'est bien ça que tu as mis dans ton expression? .

Citation :

8. Là, j'ai besoin de ce qu'il y a avant...

Je bloque donc vraiment beaucoup sur cet exercice et, j'aimerais bien le comprendre...

Le plus compliquer dans cette exercice c'est de vouloir voir que les cohses en fait sont simple et ne pas avoir peur de la simplicité en maths . Il est loin d'être rare de trouver certaines choses simples alors que l'exercice paraît indigeste au premier abord. Ici c'est l'étude de F qui fait marcher toutes les récurrence qui du coup avec l'argument de croissance se font en 3 lignes en gros.

Ensuite, un autre soucis est peut-être un soucis de concentration. Je te conseilel pour éviter que la déconcentration introduise des erruers d'inatention de renoter sur une feuille de brouillon à côté de ton travail les formules importante qu'utilise l'exercice. Ici la formule importante c'st la définition de Un+1 et U0=1 et le fait que F soit croissante sur [0;3]. Avec ceci de noté juste à c^toé de toi sur un brouillon à part de tes brouillon de calculs tu verras que même pendant un coup de moux, on arrive à remédier à beaucoup d'erreur de recopie grace à cette façon de faire. C'est une idée comme une autre mais il est normal sur de long exerccice d'avoir des coup de pompe ou des moments de bug, le but étant de trouver des astuces pour minimiser les erreurs d'inatention dû à ces moments là.

Je pense que cette exercice va être vite bouclé maintenant et tu verra qu'il n'était en fait pas si tordu que cela. Je te conseille d'ailleurs de garder cette exemple d'exercice avec celui que je t'avais dit de mettre de côté car il s'agit ici aussi d'un classique sur les suite surtout que cela mélange, suite, étude de fonctino et graphique. Donc un exercice plutôt complet avec des notions entre guillemet par si imbuvable que cela ce qui permet de voir si l'élève connait les méthodes de base sur les suites, les fonctions et les graphiques mais aussi si il a un brin d'intuition aussi pour la conjecture.

Une bonne recherche en tout cas, le fait de ne pas y arriver tout de suite n'implique pas qu'on avance pas bien au contraire avec la recherche effectuée sur cette exercices les astuces vont te sauter aux yeux et c'est ainsi qu'il faut travailler mêem si on y arrive pas planché 1h-1h30 dessus permet à la correction de mieux comprendre ses propres erreurs et les enchaînements entre les questions qu'on avait pas forcément vu au premier abord.

Bon courage pour refaire les quelques rédactions et pour conclure attentino d'ailleurs à la question 8) car quand on dit en fonction de n c'est bien en fonction de n, hein et pas de Un et Vn .

Me revoici :

1. f'(x) = 12/(x+3)² --> On remarque que x devra être différent de -3 même si ça ne nous sera pas franchement utile...

[Erreur sur le brouillon... Mon 2 est mystérieusement devenu un 3...]


2.Calcul des 10 premiers termes.



Conjectures : (U_n) semble être croissante et semble converger vers 3)


3. Le graphique est fait.

4. Soit Pn la propriété "0 ≤ à Un ≤ 3"

I) INITIALISATION :

P0 vraie? avec U0 = 1
0 ≤ 1 ≤ 3 --> 1 bien compris entre 0 et 3 --> P0 vraie!

II) HEREDITE :

Citation :

On cherche à montrer donc que 0≤Un+1≤3

Or Un+1= F(Un) en fait c'est tout l'intérêt de cette fonction F. Et ensuite n'oublie pas qu'on a fait des questions avant celle-ci en particulier la 1) qui nous donne le sens de variation de F ce qui va nous permettre de conclure plus facilement.

Soit P_n supposée vraie, je dois prouver que :
0≤U_n+1≤3

0≤_Un+1≤3 --> avec U_n+1 = f(U_n)

0≤f(U_n)≤3 czr la fonction f croissante sur [0 ; 3]

P_n est donc vérifiée!


5. En fait, ici, mon raisonnement est bon mais, j'ai fait une erreur sur des symboles? C'est bien ça?


6.

Citation :

Je te conseille dans un premier temps de calculer simplement Un+1 - Un en fonction de Un et de montrer qu'il est bien égal au membre de droite.

U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - (5U_n-1 +3) / (U_n+3)
U_n+1 - U_n = (5U_n +3 - (5U_n-1 + 3)) / (U_n +3)
U_n+1 - U_n = (5U_n +3 - 5U_n-1 + 3) / (U_n +3)
U_n+1 - U_n = (5U_n +3 -5U_n * U_n -3) / (U_n +3)
U_n+1 - U_n = (U_n(5-5+1)-3) / (U_n +3)
U_n+1 - U_n = (U_n -2) / (U_n +3)

Mais là, je me retrouve bloqué...


7. Exprimer V_n+1 en fonction de U_n :

V_n+1 = (U_n+1 - 3) / (U_n+1 +1)
V_n+1 = ([(5U_n + 3) / (U_n +3)] - 3) / ([(5U_n + 3) / (U_n+3)] +1)
V_n+1 = [(5U_n +3 +3U_n +9)/(U_n+3)] / [(6U_n +6) / (U_n +3)]
V_n+1 = [(8U_n +12) / (U_n +3)] * [(U_n +3) / (6U_n +6)]
V_n+1 = [8U_n² + 24U_n + 12 U_n + 36] / [6 U_n² + 6U_n + 18U_n + 18]
V_n+1 = (8U_n² + 36U_n +36) / (6U_n² + 24U_n + 18)

Déjà, est-ce que ceci est juste?

8.




PS : Merci pour les conseils et pour m'avoir rappelé comment exprimer en fonction de n

Bonsoir et désolé pour le léger retard mais dimanche nous étions tous absents ce qui est ma fois plutôt rare.

La question 1 et 2 sont maintenant exactes et tu as réussi à corriger ton problème de graphique à première vue.


Pour la question 4:

Citation :

Soit Pn supposée vraie, je dois prouver que :
0≤U_n+1≤3

0≤U_n+1≤3 --> avec U_n+1 = f(Un)

0≤f(Un)≤3 czr la fonction f croissante sur [0 ; 3]

Ici la rédaction n'est pas bonne et il y a une erreur qui c'est glissée en plus. En effet, tu pose le resultat et tu dis qu'il est démontré mais en fait, tu ne démontre pas l'encadrement. Ce qu'on doit montrer c'est bien 0≤U_n+1≤3.

Par hypothèse: 0≤U_n≤3

On applique la fonction F qui est croissante à cette ingéalité, on a donc:

F(0)≤F(U_n)≤F(3)

Or F(U_n)=U_n+1

On a donc F(0)≤U_n+1≤ F(3)

Il ne te reste plus qu'à calculer F(0) et F(3) pour pouvoir conclure l'hérédité et donc ta récurrence.

Par contre, il faut absolument que tu vois que dans ta rédaction tu ne démontrait rien en fait. En effet, tu dis ce que tu dois démontrer mais par la suite, tu ne fais que modifier l'écriture de ce que tu dois démontrer sans jamais démontrer en fait. Donc si tu ne vois pas le problème n'hésite pas à poser des question par rapport à la rédaction que j'ai fait et à la tienne surtout.


Pour la question 5), il s'agit du même soucis en gros. Inspire toi de la rédaction que je te propose dans le 4) pour voir les enchaînement qu'on y fait et il s'agit d'adapter celà a ta nouvelle hypothèse de récurrence tout simplement.


Pour la question 6);

Citation :

Un+1 - Un = (5Un + 3)/(Un+3) - (5Un-1 +3) / (Un+3)
Un+1 - Un = (5Un +3 - (5Un-1 + 3)) / (Un +3)
Un+1 - Un = (5Un +3 - 5Un-1 + 3) / (Un +3)
Un+1 - Un = (5Un +3 -5Un * Un -3) / (Un +3)
Un+1 - Un = (Un(5-5+1)-3) / (Un +3)
Un+1 - Un = (Un -2) / (Un +3)

Le passage entre ces deux lignes m'a l'air erroné mais par contre je ne te demande pas de rectifier. En effet, je t'avais bien demander de calculer Un+1 - Un en fonction de Un mais pouruqoi as-tu remplacé Un?
Tu remplace juste Un+1 et tu effectue les calculs. Tu va trouver une expression ne fonction de Un qui sera celle que tu cherches.

Ensuite, il te dise d'utilise la question 4) pour conclure que (Un) est croissante ce qui signifie en faire que Un+1 - Un est positif. Il va donc falloire montrer cela à l'aide de l'encadrement de Un trouvé en question 4).


Enfinp our la question 7):

Citation :

Vn+1 = (Un+1 - 3) / (Un+1 +1)
Vn+1 = ([(5Un + 3) / (Un +3)] - 3) / ([(5Un + 3) / (Un+3)] +1)
Vn+1 = [(5Un +3 +3Un +9)/(Un+3)] / [(6Un +6) / (Un +3)]
Vn+1 = [(8Un +12) / (Un +3)] * [(Un +3) / (6Un +6)]
Vn+1 = [8Un² + 24Un + 12 Un + 36] / [6 Un² + 6Un + 18Un + 18]
Vn+1 = (8Un² + 36Un +36) / (6Un² + 24Un + 18)

Le passage entre les deux lignes en rouges est incorrecte car c'est Un+1 - 3 et lorsque tu as mis au même dénominature tu as oublié le "-".


Bon courage en tout as et encore avec mes excuses pour le retard, c'est rare mais ça arrive la preuve.

Pas de problèmes. C'est déjà sympa de m'aider je vais pas me plaindre pour ça .

1. OK
2. OK
3. OK

4.4. Soit Pn la propriété "0 ≤ à Un ≤ 3"

I) INITIALISATION :

P0 vraie? avec U0 = 1
0 ≤ 1 ≤ 3 --> 1 bien compris entre 0 et 3 --> P0 vraie!

II) HEREDITE :

Citation :

On cherche à montrer donc que 0≤Un+1≤3

Or Un+1= F(Un) en fait c'est tout l'intérêt de cette fonction F. Et ensuite n'oublie pas qu'on a fait des questions avant celle-ci en particulier la 1) qui nous donne le sens de variation de F ce qui va nous permettre de conclure plus facilement.

Soit P_n supposée vraie, je dois prouver que :
0≤U_n+1≤3

Par hypothèse :

On sait que la fonction f est croissante donc :

f(0) ≤ Un ≤ f(3) avec : F(U_n)=U_n+1
f(0) ≤ U_n+1 ≤ f(3)

avec f(0) = (5*0+3) / (0+3) = 3/3 = 1
et f(3) = (5*3 +3) / (3+3) = 18/6 = 3

1 ≤ U_n+1 ≤ 3

donc, P_n est vérifiée.

En fait, j'ai compris... Je suis parti de ce que l'on cherchait à démontrer ce qui était faut. EN gros, je suis parti de P_n+1 au lieu de partir de P_n que l'on supposait vraie au début de l'hérédité... Merci pour ta remarque.

5. Montrer que U_n est croissante. Cela signifie que :


I) INITIALISATION :

P₀ vraie?
U₀₊₁ - U₀ = (5U₀+3)/(U₀ +3) - 1
U₀₊₁ - U₀ = (5+3) / (1+3) -1
U₀₊₁ - U₀ = 8 / 4 - 1
U₀₊₁ - U₀ = 2 - 1
U₀₊₁ - U₀ = 1

U₀₊₁ - U₀ = 1
DONC : U_n+1 - U_n > ou égal à 0

--> P₀ est vérifiée!


II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie.
On doit prouver que :


U_n+1 - U_n > ou égal à 0
avec la fonction f croissante donc :
f(U_n+1) - f(U_n) > ou égal à 0
U_n+2 - U_n+1 > ou égal à 0

[Ici, c'est léger mais à essayer de calculer U_n+2, je me retrouve avec 3 pages de calculs (et c'est pas une blague...)


6.

U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - U_n
U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - [(U_n(U_n + 3)) / (U_n + 3)]
U_n+1 - U_n =(5U_n +3 - U_n² - 3U_n) / (U_n + 3)
U_n+1 - U_n = (-U_n² + 2U_n + 3) / (U_n +3)

avec :
(3- U_n)(U_n +1) = -U_n² + 2U_n + 3

DONC :

U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)

Voilà une affaire qui roule...

7. Exprimer V_n+1 en fonction de U_n :

V_n+1 = (U_n+1 - 3) / (U_n+1 +1)
V_n+1 = [(5U_n+3) / (U_n+3)) -3] / [(5U_n+3) / (U_n +3) + 1]
V_n+1 = [(5U_n +3 - 3U_n -9) / (U_n +3)] / [(5U_n + 3 + U_n + 3) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] / [(6U_n +6) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] * [(U_n+3) / (6U_n + 6)
V_n+1 = (2U_n² + 6U_n - 6U_n -18) / (6U_n² + 6U_n + 18U_n + 18)
V_n+1 =(2U_n² - 18) / (U_n² + 24U_n + 18)

Normalement ça semble bon là

La 4 est ok maintenant.


Pour la 5):

Citation :

f(Un+1) - f(Un) > ou égal à 0
Un+2 - Un+1 > ou égal à 0

Attention à un détail ici, en effet tu n'a pas le droit d'écrire directement la ligne rouge car la fonction F n'est pas linéaire. Je pense qu'une fonction linéaire ne te parle pas comme notion mais pour faire simple je vais te donner un exemple:

G(x)=x² sur [0; +l'infini[ donc G est bien croissante sur cette intervalle mais:

On a G(Un+1 - Un)= (Un+1 - Un)² qui n'est pas égale à G(Un+1) - G(Un)= Un+1² - Un²


Par contre ce que tu as le droit de dire et ce que tu dois dire c'est que si: Un+1 > Un alors F(Un+1)>F(Un) car ça c'est vraie car la fonction est croissante mais F(Un+1) - F(Un) >0 par contre ça c'est pas tout le temps vrai car pour toi tu as appliqué F ) chaque membre alors que dans une inégalité tu doit l'appliquer en entier de chaque côté de l'inégalité et donc tu aurais dû écrire F(Un+1 - Un) > F(0) mais là tu te retrouve coincé pour conclure.

Donc attention à ce petit détail qui n'est pas si petit que ça d'ailleurs car les concéquences peuvent être folklorique.


Pour la question 6), tu as oublié la deuxième partie de la question .

Enfin pourl a question 7):

Citation :

Vn+1 =[(2Un -6) / (Un +3)] * [(Un+3) / (6Un + 6)
Vn+1 = (2Un² + 6Un - 6Un -18) / (6Un² + 6Un + 18Un + 18)

Prend du recule lorsque tu fais des calculs, c'est pas la première fois que je te le dis . Regarde la première ligne, tu vois pas une simplification monumental à faire pour éviter d'arriver à un truc immonde à la fin ?

On arrive maintenant dans des erreurs qui ne sont plus forcément des erreurs très importante mis à part F(Un+1 - Un) qui est devenu F(Un+1) - F(Un). Mais je pousse un peu plus loin sur la logique des exercices pour te faire gagner en réflexe car tes lacunes sont de moins en moins marquées et donc gagner en efficacité pour essayer que certaines questions puisse se faire quasiment sans réfléchir mais de façon juste. C'est pour ça que je chipote dep lus ne plus surl a rédaction mais n'hésite pas à me dire que cela te déplait, je changerai ma façon de faire sans problème .

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

1. OK
2. OK
3. OK

4.4. Soit Pn la propriété "0 ≤ à Un ≤ 3"

I) INITIALISATION :

P0 vraie? avec U0 = 1
0 ≤ 1 ≤ 3 --> 1 bien compris entre 0 et 3 --> P0 vraie!

II) HEREDITE :

Citation :

On cherche à montrer donc que 0≤Un+1≤3

Or Un+1= F(Un) en fait c'est tout l'intérêt de cette fonction F. Et ensuite n'oublie pas qu'on a fait des questions avant celle-ci en particulier la 1) qui nous donne le sens de variation de F ce qui va nous permettre de conclure plus facilement.

Soit P_n supposée vraie, je dois prouver que :
0≤U_n+1≤3

Par hypothèse :

On sait que la fonction f est croissante donc :

f(0) ≤ Un ≤ f(3) avec : F(U_n)=U_n+1
f(0) ≤ U_n+1 ≤ f(3)

avec f(0) = (5*0+3) / (0+3) = 3/3 = 1
et f(3) = (5*3 +3) / (3+3) = 18/6 = 3

1 ≤ U_n+1 ≤ 3

donc, P_n est vérifiée.

5. Montrer que U_n est croissante. Cela signifie que :


I) INITIALISATION :

P₀ vraie?
U₀₊₁ - U₀ = (5U₀+3)/(U₀ +3) - 1
U₀₊₁ - U₀ = (5+3) / (1+3) -1
U₀₊₁ - U₀ = 8 / 4 - 1
U₀₊₁ - U₀ = 2 - 1
U₀₊₁ - U₀ = 1

U₀₊₁ - U₀ = 1
DONC : U_n+1 - U_n > ou égal à 0

--> P₀ est vérifiée!


II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie.
On doit prouver que :


U_n+1 - U_n > ou égal à 0
avec la fonction f croissante et : U_n+1 > U_n
DONC :
F(U_n+1 - U_n) > F(0)

Si j'ai bien compris c'est ça.


6.

U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - U_n
U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - [(U_n(U_n + 3)) / (U_n + 3)]
U_n+1 - U_n =(5U_n +3 - U_n² - 3U_n) / (U_n + 3)
U_n+1 - U_n = (-U_n² + 2U_n + 3) / (U_n +3)

avec :
(3- U_n)(U_n +1) = -U_n² + 2U_n + 3

DONC :

U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)


--> Démontrer que U_n croissante en se servant du fait que : 0 ≤ à Un ≤ 3

Soit P_n le propriété : "U_n+1 - U_n > 0"

I) INITIALISATION :
P₀ vraie???
U₀₊₁ - U₀ = ((5*1 +3) / (1+3)) - 1 = 2-1 = 1

donc : P₀ est vérifiée.

II) HEREDITE :

Soit P_n supposée vraie.
Je dois prouver que U_n+2 - U_n+1 > 0

Or, je sais que :
U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)

donc :

U_n+2 - U_n+1 = [(3- U_n+1)(U_n+1 +1)] / (U_n+1 +3)

avec U_n+1 > 0

Mais après, je bloque... Dois-je remplacer U_n+1??


7. Exprimer V_n+1 en fonction de U_n :

V_n+1 = (U_n+1 - 3) / (U_n+1 +1)
V_n+1 = [(5U_n+3) / (U_n+3)) -3] / [(5U_n+3) / (U_n +3) + 1]
V_n+1 = [(5U_n +3 - 3U_n -9) / (U_n +3)] / [(5U_n + 3 + U_n + 3) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] / [(6U_n +6) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] * [(U_n+3) / (6U_n + 6)
V_n+1 = ??

J'ai tenté de factoriser par 2, U_n et par 6 mais, je n'ai rien trouvé de concluant...

PS : Non ça ne me déplait pas vu qu'au final ça ne peut m'être que profitable

Bonsoir,

Citation :

DONC :
F(U_n+1 - Un) > F(0)

Si j'ai bien compris c'est ça.

En effet, tu as bien rectifié l'erreur. Cependant, cette expression ne te permet pas d'aboutir ce qui estl e soucis véritable.

Il faut apliquer F sur l'inégalité U_n+1 > Un ainsi on a bien par croissance F(U_n+1) > F(Un) ce qui nous donne bien le résultat.


Pour la question 6), tu dois utiliser la question 4) comme tu le marque:

Citation :

Démontrer que Un croissante en se servant du fait que : 0 ≤ Un ≤ 3

Mais on vient de faire une partie de la question 6) tout de même vu qu'on abouti au fait que:

Citation :

Un+1 - Un = [(3- Un)(Un +1)] / (Un +3)

Le but est maintenant de montrer qu'avec la 4), nous trouvons bien que le membre de droite dans l'égalité est positif c'est tout ce qu'il y a à montrer ici en fait. Cette question, montre juste qu'il n'y avait pas forcément besoin de faire une récurrence comme nous l'avions fait dans la question 5) pour montrer que (Un) était croissante.


Pour la 7), tu arrives à:

Citation :

V_n+1 =[(2Un -6) / (Un +3)] * [(Un+3) / (6Un + 6)

J'affirme le fait que tu as une multiplication de la forme [A/D]*[D/C]= [A*D]/[D*C] ce qui veux dire qu'on peut simplifier pas D écrit comme cela. A toi de voir la simplificatino à faire à partir de là, elle devrait être plus lisible je pense.

Bon courage pour la suite!

5. Montrer que U_n est croissante. Cela signifie que :


I) INITIALISATION :

P₀ vraie?
U₀₊₁ - U₀ = (5U₀+3)/(U₀ +3) - 1
U₀₊₁ - U₀ = (5+3) / (1+3) -1
U₀₊₁ - U₀ = 8 / 4 - 1
U₀₊₁ - U₀ = 2 - 1
U₀₊₁ - U₀ = 1

U₀₊₁ - U₀ = 1
DONC : U_n+1 - U_n > ou égal à 0

--> P₀ est vérifiée!


II) HEREDITE :

On suppose P_n vraie.
On doit prouver que :


U_n+1 - U_n > ou égal à 0
avec la fonction f croissante et : U_n+1 > U_n

f(U₊₁) > f(U_n)

--> U_n bel et bien croissante.[/color]

6.

U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - U_n
U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - [(U_n(U_n + 3)) / (U_n + 3)]
U_n+1 - U_n =(5U_n +3 - U_n² - 3U_n) / (U_n + 3)
U_n+1 - U_n = (-U_n² + 2U_n + 3) / (U_n +3)

avec :
(3- U_n)(U_n +1) = -U_n² + 2U_n + 3

DONC :

U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)

* Démontrer que U_n croissante en se servant du fait que : 0 ≤ à Un ≤ 3

Or, je sais que : U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)

Je calcule donc U_n+1 - U_n pour n = 0 et n = 3.
U₀ = 1 et U<sub>3[sub] = 2.8571

U[sub]0+1</sub> - U₀ = [(3-1)(1+1)] / (1+3) = 4/4 = 1
U₃₊₁ - U₃ = [(3-2.8571)(2.8571+1)] / (2.8571 +3)
U₃₊₁ - U₃ = 0.5511 / (2.8571+3) = 0.0941

On a donc 2 résultats positifs donc, U_n est bien croissante.

7. Exprimer V_n+1 en fonction de U_n :

V_n+1 = (U_n+1 - 3) / (U_n+1 +1)
V_n+1 = [(5U_n+3) / (U_n+3)) -3] / [(5U_n+3) / (U_n +3) + 1]
V_n+1 = [(5U_n +3 - 3U_n -9) / (U_n +3)] / [(5U_n + 3 + U_n + 3) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] / [(6U_n +6) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] * [(U_n+3) / (6U_n + 6)
V_n+1 = [2U_n -6 * (U_n +3)] / [6U_n +6 (U_n +3) = (2U_n -6) / (6U_n +6)

Normalement là, ça fonctionne.

Bonsoir,

Citation :

F(U_n+1 - U_n) > F(0)

ou :

f(U_n+1) > f(U_n)

--> U_n bel et bien croissante.

Ce qui est rayé est inutile. En effet, si tu le marques, tu ne montrerait pas que tu as compris ce qui fonctionnais dans la récurrence. Rédaction:

Citation :

On suppose U_n+1 > U_n

Or F qui est croissante d'après la question 1)

Donc F(U_n+1) > F(U_n)

Pour la suite:

Citation :

Je calcule donc U_n+1 - Un pour n = 0 et n = 3.

Ceci ne prouvera rien du tout en fait. Pourquoi? Car on cherche à montrer que la suite est croissante et donc que pour TOUT entier n, on a Un+1 - Un >0
Or là tu considères 2 valeurs de n, donc on ne montre rien mis à par que c'est vrai pour ces deux valeurs là.

Alors d'après la question 4), on a pour tout n, 0 ≤ U_n ≤ 3

Et on vient de montrer que U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)

Le but est donc de démontrer que [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3) > 0 (avec des inégalités large ça suffira d'ailleurs)


On sait que 0 ≤ U_n ≤ 3 => -3 ≤ -U_n ≤ 0 => 0 ≤ 3 - U_n ≤ 3, Donc ce facteur ci est positif, il suffit juste de montrer que les 2 autres facteurs sont aussi positifs pour conclure que ton l'expression l'est également.


Enfin pour la dernière partie:

Citation :

V_n+1 = [(2U_n -6) * (Un +3)] / [(6Un +6)*(Un +3) = (2Un -6) / (6Un +6)

La partie rayée n'est pas forcément obligatoire en fait car tu constates qu'on peut simplifier par (U_n+3) à la ligne du dessus ce qui te donne directement:

V_n+1= (2U_n-6)/(6U_n-6)

Tu peux encore simplifier par 2 cette expression et là tu auras abouti dans ton calcul poru exprimer V_n+1 en fonction de U_n.

Après, il faudrait montrer que (V_n) est géométrique gràce à l'expression que tu viens de trouver.

Bon courage pour la suite!

6.

U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - U_n
U_n+1 - U_n = (5U_n + 3)/(U_n+3) - [(U_n(U_n + 3)) / (U_n + 3)]
U_n+1 - U_n =(5U_n +3 - U_n² - 3U_n) / (U_n + 3)
U_n+1 - U_n = (-U_n² + 2U_n + 3) / (U_n +3)

avec :
(3- U_n)(U_n +1) = -U_n² + 2U_n + 3

DONC :

U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)

* Démontrer que U_n croissante en se servant du fait que : 0 ≤ à Un ≤ 3

Or, je sais que : U_n+1 - U_n = [(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3)

et : pour tout n, 0 ≤ Un ≤ 3

0 ≤ U_n ≤ 3 => -3 ≤ -U_n ≤ 0 => 0 ≤ 3 - U_n ≤ 3 --> Ce facteur est donc positif.

0≤ U_n ≤ 3 --> 1≤ Un+1 ≤ 4 --> Ce facteur est aussi positif

0≤ Un ≤ 3 --> 3 ≤ Un+3 ≤ 6 ---> Ce facteur est également positif

Je dois démonter que :
[(3- U_n)(U_n +1)] / (U_n +3) > 0

Avec tous les facteurs positifs, U_n+1 - U_n forcément supérieur à 0 donc : U_n est croissante.


7. Exprimer V_n+1 en fonction de U_n :

V_n+1 = (U_n+1 - 3) / (U_n+1 +1)
V_n+1 = [(5U_n+3) / (U_n+3)) -3] / [(5U_n+3) / (U_n +3) + 1]
V_n+1 = [(5U_n +3 - 3U_n -9) / (U_n +3)] / [(5U_n + 3 + U_n + 3) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] / [(6U_n +6) / (U_n +3)]
V_n+1 =[(2U_n -6) / (U_n +3)] * [(U_n+3) / (6U_n + 6)
V_n+1 = (2U_n -6) / (6U_n +6) = (U_n-3)/(3U_n+3)


Géométrique?

V_n+1 / V_n = [(U_n-3)/(3U_n+3)] / [(U_n -3) / (U_n+1)]
V_n+1 / V_n = (U_n² + -2U_{n[sub] -3) / (3U[sub]n}²-6U_n -9)

V_n+1 / V_n =

N'oublie pas de simplifier au fur et à mesure:

Citation :

V_n+1 / V_n = [(U_n-3)/(3U_n+3)] / [(U_n -3)/(U_n+1)]

Donc V_n+1 / V_n = [(U_n-3)/(3U_n+3)]*[(U_n+1)/(U_n-3)], on peut faire une simplification à cette étape là et ensuite, il y a une factorisation à faire pour faire la dernière simplification car le but est de trouver une constante pour montrer que (V_n) est géométrique.

Bon courage!

Vn+1 / Vn = [(Un-3)/(3Un+3)] / [(Un -3)/(Un+1)]
Vn+1 / Vn = (Un²-2Un-3) / (3Un²-6Un -9)
Vn+1 / Vn = 1/3

Et voilà ^^

Tout a fait donc la suite (V_n) est une suite géométrique dont tu précisera la raison.

Et il ne te reste plus maintenant qu'à exprimer U_n en fonction de V_n et de déduire U_n en fonction de n.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice !

Vn = V0 *q^n
Vn = -1 * (1/3)^n

Je dois partir de U_n+1??

Pour l'expression de Vn c'est bon.

Pour trouver celle de Un en fonction de n, il faut d'abord regarder comment exprimer Un en fonction de Vn. Il n'y a pas besoin de repasser par U_n+1 regarde les question qui précède, à un moment on exprime Vn en fonction de Un ce qui signifie qu'on peut inverser cette écriture pour avoir Un en fonction de Vn .

Bon courage!

Me revoici!

Vn = -1 * (1/3)^n

V_n = (U_n -3) / (U_n +1)
-1 * (1/3)^n = (U_n -3) / (U_n +1)
(-1 * (1/3)^n) * (U_n +1) = (U_n -3)

Je ne peux pas résoudre ça le puissance n gêne donc, cela semble être l'expression de n.

On y est presque .

Alors, simplifie toi la vie et suis ce qu'il te disent dans la question. Il te demande d'abord d'exprimer Un en fonction de Vn.

Donc tu pars de là:

Citation :

Vn = (Un -3) / (Un +1)

Et le but c'est d'arriver à Un= ???

La conclusion ça sera de remplacer Vn par sa valeur en fonction de n ce que tu as déjà calculé et qui est juste d'ailleurs.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

(U_n -3) / (V_n) = U_n +1
(U_n -3) / V_n -1 = U_n

L'expression est bonne? (J'ai tenté de remplacer V_n et je trouve toujours un truc abracadabrant...)

Ton expression est bonne mais tu n'a toujours pas la forme "Un=" vu que tu as encore du Un à gauche.

Citation :

Vn = (Un -3) / (Un +1)

Le produit en croix te donne Vn*(Un+1)= Un -3 par exemple et après faut mettre tous les Un d'un côté puis finir la résolution.

En fait si cela te gène les Un et les Vn, tu n'a qu'à dire au brouillon que y=Vn et x=Un et que tu dois résoudre l'équation d'inconnue x, y= (x-3)/(x+1).

Bon courage !

(U_n -3) / (V_n) = U_n +1
(U_n -3) / V_n -1 = U_n
U_n * (U_n -3) = V_n -1
U_n² - 3U_n = -1 * (1/3)ⁿ -1
Et là je tombe sur la forme bizarre dont je parlais tout à l'heure .

U_n = Racine ([-1 * (1/3)ⁿ -1]/3)

Prend un peu de recule là .

Si j'essaie d'exprimer x en fonction de y en partant de y= (x-3)/(x+1) cela donne:

<=> y*(x+1) = x-3
<=> y*x + y - x +3 =0

Et après tu metrs les constante à droite sachant que y est fixé et donc qu'il s'agit bien d'une constante. Et tu factorises à gauche par x et tu conclus "x= ???"

Je te conseille au brouillon de le faire avec les x et les y car j'ai l'impressino que tu n'oses pas faire des calcul car tu manipule des suites mais c'est le même principe en fait.

On va y arriver .

<=> y*(x+1) = x-3
<=> y*x + y - x +3 =0
<=> x -x = (-3-y) / y
<=> 0 = -3/y -1
<=> -3 = y

Pourquoi ai-je toujours un doute là-dessus...

Là, tu as un doute car ta factorisation est erronée .

Citation :

<=> y*x + y - x +3 =0
<=> x -x = (-3-y) / y

Je serai bien incapable pour ma part de savoir comment tu passes de la première à la deuxième ligne. La première ligne c'est "yx + y - x + 3 = 0"

Il faut que tu considère y comme un paramètre quelconque. L'inconnue ici c'est "x".et notre but c'est de résoudre cette équation en fonction du paramètre en clair.

Donc on passe les constantes à droite et on garde ce qui dépend de x à gauche puis on factorise par x et on divise par la factorisation pour arriver à une expression de la forme x="quelque cohse en fonction de y".

<=> y*(x+1) = x-3
<=> y*x + y - x +3 =0
<=> yx -x = -y-3
<=> x(y -1) = -y-3
<=> x = (y-1)/(-y-3)

En fait, ici, le mot constante me bloque je pense... On cherche x donc normalement ça semble correct.