1ère S - Exercice sur les suites

Re-bonjour, j'ai un exercice de mon live qui me pose problème. Le voici :



Alors dans la question 1 j'ai trouvé : U1 = 1/2
U2 = 11/15
U3 = 181/220
U4 = 12617/14535

Ensuite la question 2 je ne la comprend pas très bien car je pense qu'elle est mal posée.
Et la question 3 je ne vois pas encore pour l'encadrement mais la limite, d'après les résultats de la question 1, semble être 1.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir,

La question 1 est tout à fait juste en effet!

Pour la question 2), on te fait la remarque selon laquelle U_n est un fait une somme de n termes. Et à partir de cette remarque, on te demande quel est le plus grand et le plus petit terme de cette somme.

Pour la limite le théorème d'encadrement dit théorème des gendarmes permettra de conclure qu'il s'agit de 1 en effet. Mais, il faut déjà avoir l'encadrement et c'est la question 2) qui va te permettre de faire l'encadrement de la question 3).

Une idée pour la question 2)?

Ben pour la question 2 c'est bien ce que je pensais alors.

Le plus petit terme c'est n/(n²+n) et le plus grand c'est n/(n²+1)

C'est tout à fait juste!!

Du coup, est-ce que tu vois un moyen d'avoir l'encadrement de la question 3)?

Et bien j'avais aussi pensé à dire que :
* n/(n²+n) étant le plus petit terme, U_n > (ou égal) n/(n²+n)
* n/(n²+1) étant le plus grand terme, U_n < (ou égal) n/(n²+1)

EDIT : en me relisant je me dit que je viens d'écrire quelque chose de faux

D'où n/(n²+n) <(ou égal) U _n <(ou égal) n/(n²+1)
n étant un entier positif, je multiplie chaque membre de cet encadrement sans changer le sens de quoique ce soit donc :

n²/(n²+n) <(ou égal) U _n x n <(ou égal) n²/(n²+1)

mais après c'est le U _n x n qui m'embête

Moi ce qui m'embète le plus c'est que chaque terme de ta somme est positif.

Par conséquent, il est peu probable que ton inégalité soit juste.

Par contre, chaque terme de la suite peut être encadré par le plus petit et le plus grand terme de cette suite, non?

Je te laisse conclure (sahcant qu'il y a n termes dans cette suites).

Bon courage!

Donc n/(n²+1) <(ou égal) U₁ <(ou égal) n/(n²+1)
n/(n²+2) <(ou égal) U₂ <(ou égal) n/(n²+1)
n/(n²+3) <(ou égal) U₃ <(ou égal) n/(n²+1)
...
n/(n²+n) <(ou égal) U_n <(ou égal) n/(n²+1)

si on ajoute membres à membres :

n x (n/(n²+n)) <(ou égal) U₁ + ... + U_n <(ou égal) n x (n/(n²+1))

d'où n²/(n²+n) <(ou égal) U_n <(ou égal) n²/(n²+1)

ps : je pense que ce que je viens de faire est faux mais là je suis trop fatigué pour réfléchir dessus. un indice ?

C'est que tu n'es pas très logique en fait:

Citation :

Donc n/(n²+n) <(ou égal) V₁ <(ou égal) n/(n²+1)
n/(n²+n) <(ou égal) V₂ <(ou égal) n/(n²+1)
n/(n²+n) <(ou égal) V₃ <(ou égal) n/(n²+1)
...
n/(n²+n) <(ou égal) V_n <(ou égal) n/(n²+1)

Pouruqoi avoir mis le majorant partout et ne pas avoir fait de même avecl e minorant? Drôle d'idée mais la fatigue sans doute .

C'est déjà plus logique maintenant, lorsqu'on ajoute les n inégalités non ?

Par contre ce n'estp as U2, U3 et autre qui sont encadré mais chaque terme de la suite que tu peux apeller V_k= n/(n²+k) par exemple.

que je mette le "n" à la place de "1" dans la première, ou par "2" dans la deuxieme (etc.), cela est équivalent puisque à chaque fois j'ai U₁, U₂, ... donc tous les n peuvent être remplacés par leur "vraie" valeur. après quand j'ai fait la somme j'ai raisonné comme si j'avais mis des "n" à la place des "vraies" valeurs. Donc ce n'est pas pas très logique ce que j'ai fait, non ?

par contre là jai n/(n²+n) <(ou égal) Un <(ou égal) n/(n²+1) alors que t'as dit tout à l'heure que c'était faux

Citation :

Par conséquent, il est peu probable que ton inégalité soit juste.

.

De plus, si on remplace par des valeurs on se rend compte que c'est bien faux... par exemple : 3/(3²+1) = 3/10 et U₃= 181/220 or 181/220 > 3/10 donc problème !

Tout ça est dû à la fatigue car je suis sûr qu'à tête reposée et bien réveillé j'y arriverai, mais je dois le finir pour demain donc...

Vous êtes bien tous pareil, le soir pour le lendemain .

Alros relis mon dernier message, il ne s'agit pas d'encadrer U1, U2, Un mais d'encadrer chaque terme de la somme c'est à dire les n/n²+_k avec n fixé et k qui varie et n est bel et bien fixé!!! La somme est fait sur les k.

Est-ce que c'est plus clair déjà ainsi?

haaaa ok je vois ce que tu veux dire. donc bien évidemment, avec Vk= n/(n²+k) :

n/(n²+n) <(ou égal) Vk= n/(n²+k) <(ou égal) n/(n²+1)

or il y a n terme (ces n termes étant la somme de tous les Vk avec k qui prend successivement les valeurs 1, 2, 3,... n)

Donc, n x n/(n²+n) <(ou égal) Un <(ou égal) n x n/(n²+1)

d'où le résultat

Nickel !!!

Il faut bien comprendre qu'on voit U_n comme une somme ce qui permet d'en déduire des propriétés. On adapte en fait le problème à ce qu'on sait faire, c'est plus pratique .

Il ne te reste plus qu'à conclure.

Bon courage!

alala la fatigue...

bon ben merci beaucoup ! pour la suite de fibonacci, je répondrai à ton message ce week end car là je ne vais pas avoir le temps !

+++