les suites ( exercice "chèvre de M.Seguin)

Bonjour, j'ai vraiment du mal à trouver la réponse des deux dernières questions de cet exercice :
Une chèvre est accrochée à un piquet carré (de côté 5 cm) par une corde de 3 mètres.Eprise de liberté, elle tire sur sa corde en tournant autour de son piquet. Mais elle se déplace toujours dans le même sens, raccourcissant sa corde à chaque quart de tour.On pose l0=3m et on appelle ln la longueur de la corde libre après le n-ième quart de tour.
Quel est la nature de la suite (ln) ? j'ai trouvé quelle était arithmétique car (ln-1)-ln=pi/2 qui est un nombre constant.
On appelle (un) la longueur du quart de cercle de rayon ln. Quelle est la nature de la suite (un) ? J'ai dit qu'elle était géométrique car Un= pi/2 * ln=q*ln
- Après combien de quarts de tour la corde libre a-t-elle une longueur inférieure à 10cm ? là je n'y arrive plus...
- Quelle est alors la longueur totale du trajet effectué par la chèvre ? là non plus je ne vois pas...
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Bonjour,

Intéressante mise en scène pour cet exercice!

Alors pour la première question, la réponse est juste mais le raisonnement est faux:

Citation :

(l_n-1)-l_n=pi/2

Donc pour toi la différence entre la longueur de la corde à l'étape n et la longueur de la corde à l'étape n-1 est Pi/2 ? C'est à dire que la corde s'est raccourci de Pi/2 cms donc c'est ça?

Je pense que pour commencer ce genre d'exercice, il serait intéressant de regarder les premiers termes dans un premier temps.

Que vaut L₁ et L₂ en centimètres par exemple?

Pour la deuxième question, le raisonnement est juste en effet mais la réponse n'est pas complète. La longueur d'un arc se calcule en multipliant le rayon par l'angle, on a donc U_n=(Pi/2)*L_n en effet. Mais une suite est géométrique si on arrive à écrire par exemple: U_n+1=q*U_n (ce qui revient à montrer que le quotient de deux termes consécutifs est constant) ce qui n'est pas été montré vu que L_n est différent de U_n.

Nous verrons la suite, lorsque ses deux questions seront compris.

Bon courage!

Alors ln= l0+rn selon la formule, donc comme lo=3, et que la raison de la suite vaut 1/4 (étant donné que la corde se raccourcit à chaque quart de tour), on peut écrire :
ln= 3+1/4n= 3+pi/2n.
A partir de ce résultat :
l1=pi+6/2 ou 13/4donc 3.25 cm
l2=3+pi ou 14/4 donc 3.5cm ... sauf erreur

Par contre pour la deuxième, par quel nombre faut-il multiplier Un pour trouver Un+1 ? Doit-on calculer Un et Un+1 à partir de ln ?

Alors il y a un problème de compréhension, c'est bien que ce que je pensais avoir vu.

Essayons de reprendre l'exercice à plat. On a donc une poteau carré. Essayons de symboliser les choses au fur et à mesure par des dessin après tout c'est aussi simple. A moins que tu disposes à côté de toi d'un crayon de forme carré. Maintenant, attache une corde à l'un des coins de ce carré. La corde fait lorsqu'elle est totalement dépliée.

On va représenter la corde tendu, cela sera plus simple à comprendre. On a donc un carrée de 5 cms de côtés et une ligne droite accroché et coin inférieur droit par exemple d'une longueur de 3m (on a qu'à faire un trait de 10 pour symboliser les 3m et un carré de côté 1 ça sera aussi simple pour visualiser les choses).

Maintenant que tout est posé, on va tourner dans le sens trigonométrique (le sens inverse des aiguilles d'une montre) tout en gardant la corde tendue. Si on considère notre exemple avec un carré de côtés 1 et une corde de longueur 10. Combien reste-t-il de corde après un quart de tour c'est à dire lorsque la corde tendu à une partie totalement contre l'un des côtés?


Sinon, pour la remarque, ceci:

Citation :

ln= 3+1/4n= 3+pi/2n.

Ne veut absolument rien dire car (1/4) n'est pas du tout égale à Pi/2. En effet, Pi/2>1 et 1/4<1, l'égalité est donc impossible. Attention aussi aux unités, il y a des mètres et des centimètres. C'est pour cela que je te propose d'ailleurs un exemple sans unités pour qu'on comprenne le principe d'abord avant de faire le moindre calcul.

Enfin, d'une manière général, on déduit la forme arithmétique ou géométrique à partir d'observation mais on ne part jamais d'une forme pour retrouver celle-ci (imagine que la suite ne soit pas arithmétique, après tout, nous n'en savons rien).

Donc essayons de comprendre comment évolue la corde dans un premier temps car on ne pourra pas entamer les questions si l'exercice en lui-même n'est pas compris.

Bon courage!

D'accord, alors en prenant une corde d'une longueur de 10, après un quart de tour il restera 9 cm, c'est ça ? Donc dans l'exercice, l0 est la longueur de la corde dépliée soit 3 mètres... si on considère que la corde se raccourcit à chaque quart de tour ça veut dire que ln va forcément être inférieure à l0( la longueur de la corde de départ) donc comment calculer ln ? ( et merci pour votre patience )

Ok! Nous sommes d'accord sur le principe de base maintenant.

Maintenant, sur l'exemple que je t'ai proposé, tu as enlevé 1 pourquoi?

Par rapport à l'exercice, qu'avons-nous comme hypothèses?
Comment calcule-t-on L₁ à partir de ses hypothèses?

Bon courage!

Dans votre exemple, j'ai enlevé 1 parce que si on fait un quart de tour, on raccourcit la corde de la longueur d'un des côtés du carré donc de 1 cm. Dans l'exercice la corde fait 3 mètres donc après un quart de tour, il faut enlever 5 cm à la corde. On convertit en cm les m. Donc l1 = 300-5 =295 cm soit 2.95mètres.
C'est ça ?

Bonjour,

Nickel!! L₁ est bons.

Maintenant est-ce que tu vois le passage de la longueur de la corde entre deux étapes? Sinon, calcul L₂ pour t'en convaincre à la rigueur.

Bon courage!

Oui, d'accord j'ai compris, L2= 300-(2*5)=300-10=290=2.90m
Donc Ln = 300-5n c'est ça ? on peut laisser en cm ?
Alors après il y a deux méthodes pour trouver la nature de la suite (Ln) :
- Montrer que Ln+1=Ln + r ( donc utiliser la définition d'une suite arithmétique)
Donc la on calcule Ln+1 : Ln+1 = 300-5(n+1)=300-5n-5=295-5n
et étant donné que 300-5n c'est Ln et -5 c'est la raison de la suite, on a bien prouvé que Ln+1=Ln+r
- Sinon on peut faire le calcul Ln+1-Ln ce qui donne :
Ln+1-Ln= 295-5n-300+5n=295-300=-5 et -5 est un nombre constant donc la suite est arithmétique.
Quelle est la meilleure technique ? Ces méthodes sont-elles valables ou faut-il procéder autrement ? Peut-on juste montrer que Ln=L0+nr en disant que L0=300cm=3m et que r= -5 ?

La méthode la plus simple ici c'est la deuxième que tu proposes.

En fait, c'est la méthode la plus courante c'est à dire qu'on fait la différence de deux termes consécutif et si le résultat est une constante alors c'est bien une suite arithmétique. Le soucis c'est qu'avec cette méthode là tu n'as pas le droit d'utiliser la forme de L_n que tu as supposée. En effet, si tu supposes la forme cela revient donc à supposer que la suite est arithmétique et donc à supposer le résultat.

Par contre, tu peux utiliser le texte pour montrer que la différence est bien égale à -5. En gros, tu écris une phrase qui explique comment tu construit L_n+1 en fonction de la longueur précédente L_n. Et après tu déroule sans problème tes connaissances.

En tout cas peu importe la méthode, tu ne peux pas utilise la forme exacte de la suite L_n=300-5*n car tu n'as pas démontré cette forme à l'instant où tu l'utilises ce qui n'est donc pas rigoureux .

Est-ce que tu comprends le soucis?

Bon courage!

D'accord, à ce moment là, est-ce que je peux montrer par exemple que si L3-L2=L2-L1 alors la suite est aritmétique ?
ça donnerait, sachant que L0=300, L1=295, L2=290 et L3=285 :
L3-L2=285-290 = -5 et
L2-L1=290-295=-5 donc L3-L2=L2-L1

En fait, l'année prochaine, tu auras un moyen radicale pour démontrer cela de manière direct (qu'on appelle le raisonnement par récurrence) mais cette année, il va falloir faire sans hélas.

Alors démontrer les choses sur un exemple ce n'est pas suffisant mais par contre tu peux directement généraliser en décrivant ton raisonnement tout simplement. En effet, pourquoi enlèves-tu entre deux quart de tour 5cms à la corde? C'est presque seulement ça la question.

Bon courage!

Bonjour,
comment faire les questions suivantes ?

Bonjour,

Pour la suite (U_n), il s'agit de mesurer l'arc d'un cercle qui se mesure de la façon suivante: (arc de cercle)= (longueur du rayon)*(angle de l'arc).

Ce que tu avais bien écrit d'ailleurs U_n=(pi/2)*L_n

Maintenant, d'après la question précédente nous connaissons la nature de la suite L_n. Nous pouvons donc en déduire la forme exacte de L_n pour tout n et donc la nature exacte de U_n.

Bon courage!

D'accord je remplace (Ln) par 300-5n dans l'expression pi*Ln/2
ça nous donne pi*(300-5n)/2=300pi/2 - 5pi*n/2=150pi-(5/2)pi*n
Donc (Un) est une suite arithmétique de raison -(5/2)pi
C'est ça ?
Mais là où j'ai vraiment du mal c'est la toute dernière question : "Quelle est alors la longueur totale du trajet effectué par la chèvre", je ne vois pas du tout comment procéder, il faut peut être utiliser la formule qui donne la somme des termes d'une suite mais je n'en suis pas sûre... Pouvez-vous m'aider pour cette question ?

La suite est en effet arithmétique et non géométrique comme tu l'avais cru au début.

Sinon, pour la dernière question, il y a deux choses à comprendre. En effet, dans un premier temps qu'est-ce qui permet de calculer le trajet de la chèvre? Et dans un deuxième temps comment calculer le trajet totale?

Mais pour cela tu as déjà fait l'avant dernière question, pour savoir à partir de combien de quart de tour la corde sera inférieur à 10 cms. Et par le même procédé, tu vas peut-être pouvoir savoir à partir de combien de quart de tour, la chèvre ne peut plus avancer.

Vois-tu la démarche se profiler derrière cela?

Bon courage!