équations second degré

bonjour!

dans un DM à faire pendant les vacances, le prof nous deande de découvir les équations du 2nd degré.
Il nous a écrit une méthode sur le DM, mais je ne suis pas sûre du tout de mes résultats


factoriser p1(x) = x²-3x+2

= (x-2)(x-1)

P2(x) = 3x²- 2x- 8 (commencer par mettre 3 en facteur)

= 3(x-4/3)(x-2)

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

La factorisation de tes deux polynômes sont tout à fait exactes mis à part une légère erreur de signe pour le -4/3 qui est un +4/3 normalement mais cela est sans doute du à une erreur de recopie.

Quelle méthode utilises-tu pour effectuer ces factorisations? Si tu le souhaite nous pouvons aller plus loin sur le sujet c'est tout à fait faisable vu que tu as compris la méthode de factorisation.

Bon courage pour la suite!

oui en effet merci

du coup j'arrive à p2(x) = (x-2)(3x+4)

Bonjour,

Ton p2(x) est mal factorisé là par contre. En effet, p₂(x)=3(x+4/3)(x-2). Ton erreur était juste une erreur de signe en fait.

Maintenant, pourrais-tu avec la même méthode factoriser au maximum P(x)= a*x² + b*x + c (je considère a différent de 0). Tu devrais arrivé à une expression de la forme a*[ A² - B] avec A qui dépend de x et B qui n'en dépend pas). C'est ce que tu vas faire en cours dans les prochaines semaines, donc si tu veux regarder ce que ça donne avant libre à toi .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Bonjour @toutes et tous!

La factorisation de fonction définie par p(x)=ax²+bx+c qu'on appelle aussi fonction polynôme du second degré a une utilité précise qui est la résolution d'équation tout simplement.

En effet, dans cette exercice la question aura pu être:

Citation :

Soit pour tout réel a, les fonction p1 et p2 définies par: p1(x) = x²-3x+2 et p2(x)=3x²-2x-8

Résoudre p1(x)=0 et p2(x)=0

Et pour faire ce genre d'exercice, la première chose à faire c'est d'arriver à un produit de facteur qui est nul (car un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul). Donc la première chose (voire même la seule chose) à faire ici c'est répondre à la question:

Citation :

Factoriser p1(x) = x²-3x+2 et p2(x) = 3x²- 2x- 8

Et en fait, la seule chose qu'on sait factoriser ce sont des développements d'identité remarquable (à moins qu'il y est un facteur commun évident ce qui n'est pas le cas ici).

Par conséquent, il faut essayer de retrouver, la forme d'un développement d'une identité remarquable. Et bien allons-y:

p1(x)=x²-3x+2
Donc p1(x)=x²-2*(3/2)*x+2

On constate ici le début du développement de (x-3/2)² en effet, (x-3/2)²=x²-2*(3/2)*x+(3/2)². Il nous manque juste le (3/2)² pour avoir exactement ce que nous voulons. Et bien puisqu'on le veut, on va l'écrire tout simplement en l'ajoutant et pour ne rien changer à l'expression de p1(x), on va tout de suite le soustraire:

Ainsi: p1(x)=x²-2*(3/2)*x+(3/2)²-(3/2)²+2 (on a rien changé car (3/2)²-3/2)²=0 mais l'intérêt est d"'avoir mis en évidence l'expression développer de (x-3/2)² qu'on peut donc factoriser)

Donc: p1(x)=(x-3/2)²-9/4+2
D'où p1(x)=(x-3/2)²-1/4
Donc p1(x)=(x-3/2)²-(1/2)²

Et on retrouve ici, la forme développée de la troisième identité remarquable qu'on sait donc factoriser:

Donc p1(x)=(x-3/2-1/2)*(x-3/2+1/2)

Conclusion: p1(x)=(x-2)*(x-1)

Ainsi, si on veut résoudre p1(x)=0, on a poru solution x=2 et x=1 tout simplement.


Alors allons un peut plus vite pour la factorisation de p2(x):

p2(x)=3x² - 2x - 8
Donc p2(x)=3*[x² - (2/3)*x - 8/3]
D'où p2(x)=3*[x² - 2*(2/6)*x + (2*6)² - (2/6)² - 8/3]

Donc p2(x)=3*[(x-2/6)²-4/36-8/3]
D'où p2(x)=3*[(x-2/6)²-(10/6)²]

Donc p2(x)=3*(x-2/6-10/6)*(x-2/6+10/6)

Conclusion: p2(x)=3*(x-2)*(x+4/3)

Donc les solutions de l'équation p2(x)=0 sont x=2 et x=-4/3


Ceci termine cette correction. N'hésitez pas à poser vos question car c'est un principe qu'il faut avoir acquis rapidement.

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!