Exercices nombres premiers entre-eux

Salut!
Je ne te surprendrais pas en te disant que j'ai eu un DM de maths spé à faire durant les vacances et que sur les 4 exos, 2 coincent... Je poste donc le premier qui me semble être le plus simple à réaliser vu que je pense savoir comment faire mais, sans grande conviction...

Voici l'énoncé :


Soient a et b deux nombres premiers entre-eux.
Démontrer que le nombres A = 3a + 5b et B= a+2b sont alors aussi premiers entre-eux.


Court mais, suffisant à mon goût

On nous dit que a et b sont premiers entre-eux donc cela signifie qu'ils ne peuvent se diviser que par eux-même soit : a et/ou b.

Je pensais donc jouer sur les coefficients devant les a et b afin de les faire disparaître et ainsi trouver un diviseur de A et B.

Première tentative : --> Faire sauter les a :

A = 3a + 5b
B = a + 2b

DONC :

3B - A = 3a + 6b - (3a + 5b) = 3a + 6b - 3a - 5b = 6b-5b = b.
--> b diviserait donc A et B.


Seconde tentative : --> Faire sauter les b :

A = 3a + 5b
B = a + 2b

Je fais donc :

2A - 5B = (6a + 10 b) - (5a + 10b)
2A - 5B = 6a + 10b - 5a - 10b = 6a - 5a = a
--> a diviserait donc A et B.


Conclusion :

A et B seraient donc premiers entre-eux.



------> Cette démarche me semble comment dire... En fait, ça me semble correct mais j'ai l'impression qu'il manque un petit quelque chose...

Merci d'avance!

Alors il y a de l'idée mais bon que penses-tu de cela:

2|12 et 2|6
3|12 et 3|6

2 et 3 sont premiers entre eux mais pgcd(12,6)=6

Donc voilà un contre exemple de ta démarche sauf tu n'es pas d'accord avec cela. En effet, tu viens de montrer que a et b divisait A et B et tu concluais que si a et b premier entre-eux alors A et B aussi. Donc avec mon exemple, cela montre que ton raisonnement n'est pas juste vu qu'il existeu n contre exemple qui contre dit ta conclusion.

Alors maintenant comment faire?

En fait, dire que deux nombres sont premiers entre-eux cela signifie que leur pgcd est égale à 1. Et si on essayait de calcul le pgcd de A et B pour voir ce que cela donnerait ?

Arf... J'avais pas prévu ça... mais ça semble se tenir... J'me disais bien qu'il manquait un truc pour que ça soit potable...

Citation :

En fait, dire que deux nombres sont premiers entre-eux cela signifie que leur pgcd est égale à 1. Et si on essayait de calcul le pgcd de A et B pour voir ce que cela donnerait ?

Calculons le PGCD de A et B

A = 3a + 5b et B = a + 2b

donc :
PGCD (A ; B) = a + 2b si je ne me trompes pas.

Le PGCd c'est le dernier reste de la division euclidienne entre les deux entiers considérés.

Ce que tu donnes, c'est le premier reste, mais ce n'est pas le PGCD. Je te conseille d'ailleurs d'écrire les divisions euclidiennes successives, tu va voir apparaître petit à petit ce que tu cherches à montrer c'est à dire quel e dernier reste non nul c'est bien 1 car pgcd(a;b)=1.

Bon courage!

Je dois diviser A par B?

Il faut utiliser l'algorithme d'euclide.

Mais que nous dit l'algorithme d'Euclide?

PGCD(A;B)=PGCD(R;A) avec R le reste de la division euclidienne de A par B. et le PGCD(A;B) sera le dernier reste non nul de cette division.

Le première étape serai par exemple:

A= 2*B + (a+b)

Donc PGCD(A;B)= PGCD(R;A) avec R=a+b

Et on continue l'algorithme d'Euclide en espérant arriver à un moment PGCD(a,b) et par hypothèse c'est égale à 1 (bon l'espoir n'est pas vain car c'est ce qui fait marcher l'exercice ).

Citation :

Il faut utiliser l'algorithme d'Euclide.

A = 3a + 5b
B = a + 2b

PGCD (A;B) = δ

Je fais A/B :



δ = PGCD (B ; a+b)

Je fais ensuite B / (a+b) :


δ = PGCD (a+b ; b)


Je fais ensuite a+b / b :



δ = PGCD (b ; a)

Or,
a et b sont premiers entre-eux! (voir énoncé)

Conclusion : A et B sont donc logiquement premiers entre-eux.

Nickel! Et rédaction nickel aussi.

Rien à redire cette exercice est terminé pour ma part sauf si il te reste des questions bien entendu.

Non plus de questions, je pense avoir compris!