[SPE] Nombres premiers entre eux

Me revoilà !

J'espère que vous allez bien, moi oui malgré pas mal de boulot. Voici le début de l'exercice:

Montrer que si a et b sont premiers entre eux, alors a+b et ab le sont aussi.

Je n'ai aucune idée de comment procéder.

J'ai essayé quelques trucs avec au + bv = 1 mais j'ai rien trouvé.

Merci !

J'ai oublié de préciser que c'était pour demain.^^ Je vous laisserai chercher si jamais vous trouvez pas avant demain.

Bonsoir,

De nos jours, nous sommes bien trop pressé .

L'utilisation du théorème de Bezout n'abouti pas en effet. Alors comment faire pour prouver que a+b et ab sont premier entre eux sans cette méthode?

Pas si simple à première vue surtout qu'on ne sait pas trop où va intervenir le fait que a et b sont premier entre eux. Et bien dans ces cas là, il y a une méthode qu'on peut essayer et voir si elle aboutit. Il s'agit d'une démonstration par l'absurde.


Nous allons donc supposer que a+b et ab ne sont pas premier entre eux. C'est à dire qu'ils ont un facteur commun D= pgcd(a+b, ab)

On va donc supposer que D|ab et que D|(a+b)

A partir de là, as-tu des idées pour continuer voir conclure la démonstration?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Et bien il faudrait montrer que D|a et D|b, et puisque PGCD(a,b) = 1 D serait égal à 1 et donc PGCD(a+b, ab) = 1 ?

Je vais essayer de chercher par là pour commencer, merci pour la piste !

Vu qu'il s'agit d'un raisonnement par l'absurde, il s'agit d'arriver à une contradiction et ici la contradiction est qu'on suppose que D est différent de 1 vu qu'on les suppose non premiers entre-eux.

Mais en tout cas, nous voulons bien aboutir à: D|a ET D|b ce qui nous donnera la contradiction vu que a et b sont premiers entre-eux.

La démonstration devrait se faire en deux cas mais tu peux en faire qu'un seul et dire que l'autre c'est la même chose par symétrie du rôle joué par a et b.

Bon courage!

Je ne sais pas par où commencer.

Alors nous savons que D|ab et D|(a+b)

Commençons déjà par regarder ce que veut dire D|ab dans un premier temps.

Que signifie qu'un nombre divise un produit de deux entiers?

Bin justement je me suis posé cette question sas trouver de réponses qui m'avancent.

D|a ou D|b ?

C'est tout à fait ça !!

Si on a un nombre qui divise un produit il divise forcméent l'un des facteur.

Maintenant supposons que D|a par exemple (l'autre hypothèse donnant la même chose par symétrie des variable a et b).

Que peut-on dire de -a ?

Je dois être trop fatigué pour voir où tu veux en venir, désolé.^^ J'aurai du m'y prendre plus tôt.

Mais non j'avoue qu'il est difficile de t'aiguiller sans te donner la réponse.

Alors allons-y, si D|a, nous savons aussi que D|-a (de façon immédiate, il suffit de voir que si D|a => a=k*D et donc -a=(-k)*D=k'*D)

Mais nous n'avons pas encore utilisé le fait que D|(a+b)

Pour conclure, il faut se souvenir que si un nombre divise deux autre alors il divise leur addition ( ainsi que soustraction et multiplication).

Est-ce que tu comprends le cheminement? Si oui qu'elle est la conclusion de tout ceci?

N'importe quoi !
N'importe quoi !

Réfléchissez !
Cessez de poster des questions sans même y avoir réfléchis.
Ne croyez jamais une proposition qu'on vous donne comme ça direct : persuadez-vous que cette proposition est juste ou non ! (une démonstration ?)
Posez-vous des questions !


par exemple Blagu'cuicui dit : "si d|ab alors d|a ou d|b". Moi j'ai envie de te dire : 12 divise 36 c'est à dire 12 divise 4*9.
Et donc d'après Blagu'cuicui 12 divise 4 ou 12 divise 9 !!??!

Bonjour et bienvenu parmi nous!

Ton agressivité envers des membres n'a rien à faire ici. Il y a deux moyens d'aider en mathématiques soit on part de ce que nous savons faire et à ce moment là, on donne un guide direct vers la solution en occultant la démarche de réflexion. Cette méthode m'intéresse peu pour ma part et par conséquent, je pars de ce que me dit le membre et ensuite, je construit un raisonnement qui aboutira ou non, le but étant dans le dialogue des idées et non dans l'imposition de celles-ci comme si cela tombait du ciel.

Pour ta remarque, c'est exact, il faut bien entend précisé que D est un facteur premier ou 1 du PGCD sinon, il est impossible d'avance. Le but étant de montrer que soit ce dit facteur est égale à 1 et nous avons aucune contradiction et notre raisonnement serait un raisonnement direct et non un raisonnement par l'absurde soit il est différent de 1 et à ce moment là, nous arrivons à une contradiction.

Si vous n'avez rien à apporter mis à part votre ton suffisant face à un membre de longue date, je te permettrai de passer ton chemin sinon merci d'adapter le ton de tes messages à celui d'une entraide et non d'une position de supériorité (sous quel prétexte d'ailleurs et avec quel bagage tu le permettrais-tu ?).

Cordialement,