Exercice sur le PGCD et le PPCM

Me revoici (déjà)...
Désolé de poster ça de manière aussi rapide mais la semaine de "vacances" était mal venue...

Là, je me retrouve confronté à un exercice employant les propriétés du PGCD et du PPCM mais, je ne m'en sors pas...

Avant de poster l'énoncé, voici un rappel fourni avec donc, je le poste aussi ça m'aidera sûrement :

"Suivre la méthode classique en posant :
a = δa' et b = δb' avec a' et b' premiers entre-eux.
Ne pas oublier la relation :

(avec, μ le PPCM et δ le PGCD)

Voici l'énoncé :


Déterminer toutes les paires {a ; b} de nombres entiers naturels tels que :

avec μ = PPCM (a ; b) et δ = PGCD(a ; b)


Voici mon "raisonnement" :

On a :
2μ + 7δ = 111 ---> Equation à 2 inconnues donc, je ne vois pas comment faire.
Donc, je tente ceci :


C'est foiré pour la résolution de type polynomiale vu qu'on a deux inconnues...
Pourquoi ne pas tenter d'isoler μ et δ :



ET


Logiquement, δ < μ donc :

(111 - 2μ) / 7 < (111 - 7δ) / 2 (j'ai l'impression de tourner en rond...)

Et là, je me demande si résoudre ceci sera utile vu qu'on aura pas de a et de b...

C'est toujours un plaisir d'avoir un peu d'arithmétique à résoudre (et oui c'est amusant malgré la difficulté c'est presque ce qui rend intéressant ce genre de maths ).

En tout cas avec ton raisonnement, tu as redémontré sur cette exemple que δ < μ c'est à dire que le PGCD est toujours inférieur au PPCM (il ne faut oublier qu'il y a des données dans le rappel).

En fait que cherche-t-on?

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111). Le rappel nous dit que δμ=ab (c'est à dire que PGCD(a,b)*PPCM(a,b) = a*b ) et nous dit qu'il va falloire utiliser a=δa' et b=δb' avec PGCD(a';b')=1.

Dans un premier temps, on va suposer que a et b sont non nul c'est à dire que δ n'estp as nul.

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc notre égalité dans l'équation donnée dans l'énoncé :


Je vais tenter d'isoler le δ :


Correct ou pas pour le moment?

ERREUR D'EDITION

Jusque là c'est bon mais nous n'allons pas aboutir comme ça en fait car là tu as écrit: μ = (111 - 7δ) / 2 comem tu l'avais déjà fait.

Pour le moment, n'utilise pas l'équation, travaille seulement sur les données et les rappels et exprime μ en fonction de δ, a' et b'.

Nous allons ainsi pouvoir remplacer μ par sa valeur dans l'expression qu'on te donne mais après l'avoir exprimé sinon, on va se tourner en rond là.

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc notre égalité dans l'équation donnée dans l'énoncé :


Je vais tenter d'isoler le δ :


Correct ou pas pour le moment?

Bonsoir,

C'est toujours juste tout tes calculs sont justes depuis le début de toute façon c'est déjà une très bonne chose en soi. Le soucis restant dans la possibilité de pouvoir conclure avec la méthode entamée.

Alors je vais te paraître un peu plus humain peut-être en te disant qu'il m'a fallu un certain temps pour trouver une démarche qui aboutisse pour cette exercice. Et oui bizarrement, je n'ai pas réponse à tout, tout de suite .

J'avais donc employé ta méthode étant moi-même persuadé qu'elle aboutirait car nous isolions le PGCD et vu qu'il doit être entier, il suffisait de trouver tous les couples (a,b) de tel sorte que 52 divise a*b (j'ai simplifié ton résultat par 2).

Le soucis réside dans le fait que des multiples de 52 ce n'est pas ce qui manque et nous pourrions donc prendre tous les pgcd possible et en déduire des a et des b plausibles. Cependant pour tous les avoir c'est loin d'être gagné surtout qu'on a aucune considération sur a et b mis à part qu'ils sont des entiers naturels.

Et c'est là que je me suis apperçu d'une chose primordiale, on nous dit d'utiliser a' et b' !

Du coup, il faut exprimer μ non pas en fonction de a et b mais en fonction de a' et b' et là, nous allons pouvoir aboutir car nous savons que a' et b' sont premiers entre-eux ce qui va nous permettre de déterminer les couples de façon plus logique et plus précise.

Encore un effort donc, tu vas bientôt arriver à la bonne équation sur laquelle nous allons pouvoir travailler.

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de l'énoncé :

2μ + 7δ =111
2(a' + b') + 7δ = 111
7δ = 111 - 2(a' + b')
δ = [111 - 2(a'+b')] / 7

Voilà pour l'instant.
On a donc une écriture du PGCD de a' et b' mais, on nous demande a et b...

C'était presque ça!

Dommage qu'il y ait une erreur de calcul (pour une fois):

Citation :

μ = δa'δb' / δ
μ = δ(a' + b') / δ(1)

J'ai une manie, tu l'as sans doute remarquée. Je met quasiment toujours les multiplication en évidence et c'est pas pour rien . Donc si je re-écris la premièr ligne que je cite:

μ = [δ*(a')*δ*(b')] / δ

Tu constates donc qu'on arrive à: μ = [δ²*(a')*(b')] / δ et par simplification: μ = δ*(a')*(b') avec PGCD(a',b')=1

Maintenant pourrais-tu re-écire notre équation de départ, en mettant les constante à droite et tout ce qui dépend de δ à gauche et avec un membre de gauche factorisé.

A partir de là, en constatant que 111=3*37 et que 3 et 37 sont premiers, on va pouvoir faire des disjonctions de cas (et cela va te rappeler un autre exercice où on avait aussi fait des disjonction de cas pour pouvoir avancer).

Bon courage!

Exact pour l'erreur de calcul... Pourtant je l'ai fait sur feuille... Moment d'égarement sans doute... Erreur bête en tout cas...

Je récapitule :

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans lénoncé soit :



donc :


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->

On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :


On a donc 2 couples (a';b') : (3 ; 5) et (5 ; 3).

Il manque encore deux couples pour (a',b') pour le cas que tu considères. En effet le pgcd(a',b')=1 n'empêche pas d'avoir a'=1 et b'=15 et inversement ce qui ajoute deux autres couples.

Donc nous trouvons 4 couples dans ce cas de figure là. Cependant, nous avons en tout 4 cas de figure à considérer (dont 2 qui ne sont pas possibles mais il faudra dire pourquoi il ne sont pas possibles).

En effet, pourquoi par exemple δ=1 et 2a'*b' + 7 = 111 ne serait-il pas possible ? La multiplication des deux fait bien 111, nous avons donc un autre cas ici et les deux autres ce sont l'inverse entre 1 et 111 et l'autre entre 3 et 37 mais pourquoi c'est deux cas ne donne pas de couples en plus?

Et tout cas ne pas oublier, le léger détail 111=1*111=111*1=3*37=37*3. C'est comme pour l'autre exercice où on s'intéressait au diviseur d'un nombre ici les diviseurs sont bien 1, 3, 37 et 111 cela nous donne bien 4 couples possibles.

Nous y sommes presque donc, il ne reste plus qu'à faire des calculs et ne pas oublier que a' et b' sont des entiers naturels car a et b le sont! Pas question qu'ils soient négatifs l'un ou l'autre .

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans lénoncé soit :



donc :


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->

On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :


On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1

On a donc 4 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4).


On a donc 8 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) avec δ = 1

Et on sait que :

Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 4 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)

Soit 8 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)

En effet, les 8 couples sont exactes (pour en être sûr, tu pourra toujours vérifier que 2*PPCM + 7*PGCD = 111 pour chacun des couples).

Maintenant, il reste à voir pouruqoi les 2 autres cas de figures n'ajoute pas de couple à ceux déjà trouvé.

Un dernier effort et l'exercice sera donc bouclé .

EDIT:

Citation :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1

On a donc 4 autres couples (a' ; b')

Pourquoi le couple (a',b')=(2,26) ou (26,2) n'est pas possible? car ici nous avons 6 couples possibles pour a' et b' si on ne dit rien de plus. Attention à bien tout écrire quand même car toute solution possible écartée doit être justifiée c'est la règle de base en maths .

Bien vu pour les couples oubliés...

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans l'énoncé soit :



donc :


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->

On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :


On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1 = 2 * 26

On a donc 6 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)


On a donc 10 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)
avec δ = 1

Et on sait que :

Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 6 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)

Soit 10 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2).




Par contre, je ne saisis pas l'histoire de couples impossibles...

Quel est le PGCD de a' et b'?

Donc peut-être avoir (a',b')=(2,26) ou (26,2) ?

Le PGCD(a' ; b') = 1 vus qu'ils sont premiers entre-eux non?

EDIT : J'ai compris!
Les 2 couples que tu as écrit ne fonctionnent pas car 26 et 2 ne sont pas premiers entre-eux!

C'est tout à fait ça.

Or le PGCD du couple (2,26) ou du couple (26,2) =?

Du coup, est-ce que c'est deux couples sont possibles ?

(Voir EDIT de mon avant-dernier POST )

PGCD (2 ; 26) = 2

donc, 2 et 26 ne sont pas premiers entre-eux donc, ils ne fonctionnent pas!

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans l'énoncé soit :



donc :


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->

On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :


On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1 = 2 * 26

On a donc 6 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)


On a donc 10 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)
avec δ = 1

Et on sait que :

Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 6 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)

Soit 10 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2).

Or, 2 couples sont ici impossibles : (2 ; 26) ; (26 ; 2) car PGCD (2 ; 26) = 2
donc 2 et 26 ne sont pas premiers entre-eux. Ils ne fonctionnent donc pas car a' et b' étaient premiers entre-eux tout comme a et b.
Au final, on a donc 8 couples qui "fonctionnent" :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)

Désolé j'ai été trop rapide .

Bon maintenant, on a donc éliminé les deux couple qui ne fonctionnaient donc pas pour respecter les hypothèses.

Attention tout de même à la rédaction:

Citation :

Or, 2 couples sont ici impossibles : (2 ; 26) ; (26 ; 2) car PGCD (2 ; 26) = 2
donc 2 et 26 ne sont pas premiers entre-eux. Ils ne fonctionnent donc pas car a' et b' étaient premiers entre-eux tout comme a et b.

Ceci doit arrivé directement au niveau des couples (a',b') c'est à dire après avoir dit qu'il y avait 6 couples possibles normalement pour (a',b'). Il faut dire les choses dès qu'elles doivent être dites, il ne sert à rien d'attendre sinon la rédaction ne devient confuse et on risque de ne plus rien suivre . De plus il ne sert à rien de parler de a et b du coup. Et la conclusion des 4 couples est immédiate à cette étape là et tout s'enchaînera de façon logique.


On a donc fini deux cas de figures et jesoutient qu'il y en a encore deux mais qui ne vont rien changer. En effet, après tout δ = 111 et 2a'b' + 7 = 1 pourrait aussi être possible non ? Et de même δ = 37 et 2a'b' + 7 = 3 aussi?

Cependant, quel argument va mettre en défaut les deux possibilités restantes?

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans l'énoncé soit :



donc :


Or, en décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->

On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :


On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1 = 2 * 26

On a donc 6 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)
Or, 2 couples sont ici impossibles : (2 ; 26) ; (26 ; 2) car PGCD (2 ; 26) = 2
donc 2 et 26 ne sont pas premiers entre-eux. Ils ne fonctionnent donc pas car a' et b' étaient premiers entre-eux tout comme a et b.

On a donc 8 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)
avec δ = 1

Et on sait que :

Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 4 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ;

Soit 8 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ;

Au final, on a donc 8 couples qui "fonctionnent" :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)

Citation :

On a donc fini deux cas de figures et jesoutient qu'il y en a encore deux mais qui ne vont rien changer. En effet, après tout δ = 111 et 2a'b' + 7 = 1 pourrait aussi être possible non ? Et de même δ = 37 et 2a'b' + 7 = 3 aussi?

δ = 111
2a'b' + 7 = 1
a'b' = 3 -------> On retombe sur ce que l'on avait.

δ = 37
2a'b' + 7 = 3
a'b' = -4 / 2 = -2 --------> On veut des entiers.

Reste à savoir où incorporer ceci dans la rédaction.

Citation :

δ = 111
2a'b' + 7 = 1
a'b' = 3

Erreur de signe mon cher .

Dans la rédaction, tu peux dire simplement après avoir écrit δ (2a'b' + 7) = 111 qu'il y a donc 4 cas possibles. Tu donnes les deux cas qui en sont pas valides puis après tu étudies comme tu l'as fait les deux cas qui nous donnes des solutions.

On aboutie donc à 8 couples possibles. Pour ma part je n'en vois pas d'autres mais si part hasard tu en trouve un autre ne plus par une autre méthode n'hésites pas, je ne suis pas infallible sur ce genre de raisonnement même si je n'ai pour ma part pas trouver d'autre voie pour aboutir à des solutions viables.

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans l'énoncé soit :



donc :

On a donc 4 cas possibles dont 2 qui ne marchent pas :
δ = 111
2a'b' + 7 = 1
a'b' = -3 -------> On veut des entiers.

δ = 37
2a'b' + 7 = 3
a'b' = -4 / 2 = -2 --------> On veut des entiers.


En décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->

On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :


On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1 = 2 * 26

On a donc 6 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)
Or, 2 couples sont ici impossibles : (2 ; 26) ; (26 ; 2) car PGCD (2 ; 26) = 2
donc 2 et 26 ne sont pas premiers entre-eux. Ils ne fonctionnent donc pas car a' et b' étaient premiers entre-eux tout comme a et b.

On a donc 8 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)
avec δ = 1

Et on sait que :

Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 4 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ;

Soit 8 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ;

Au final, on a donc 8 couples qui "fonctionnent" :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)


Normalement, ça doit se tenir là.

Alors j'ai rayé les deux dernière lignes car répéter deux fois la même choses ne sertà rien (mais il est tard là ou tôt donc dû à la fatigue je pense ).

Sinon lorsque tu marques:

Citation :

On a donc 4 cas possibles

Va jusqu'au bout et donnant les 4 possibilités. Puis seulement après tu dis que deux possibilités ne donne pas de solutions car..... nous voulons des entiers et tu finis pas les deux possibilités qui donnent des solutions à notre problème.

"donner des solutions" c'est mieux que "fonctionner". Je t'en veux pas c'est moi qui l'ai marqué ainsi lors de notre discussion mais bon à la fin lorsqu'on reprend une rédaction il faut mieux être un brin strict au niveau du langage mathématique pour montrer qu'on sait être précis et concis.

Enfin voilà, un exercice plutôt bien mener. En fait, tu vois ici que l'idée n'estp as nouvelle car nous l'avions déjà utilisée lors d'un précédent exercice. La diffculté résidait dans le fait de pouvoir se ramener à quelque chose que nous savions faire et il faut faire des teste infructueux pour pouvoir s'en trouver la solution qui nous amène à ce que nous souhaitons.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Citation :

On cherche tous les couples d'entier (a,b) tel que 2*PPCM(a,b) + 7*PGCD(a,b) = 111 (c'est ce qu'il y a de marquer: 2*μ + 7δ =111)

Pour info, ça je l'ai mis sur le brouillon parce qu'avec μ et δ on s'embrouille vite.

Dans un premier temps, on suppose que a et b ne sont pas nuls donc, que δ n'est pas nul.

Citation :

Bon à partir de là, ne pouvons-nous pas exprimer μ en fonction de δ, a' et b'? et donc réécrire notre équation en fonction de δ, a' et b'?

On a :

Je vais tenter d'exprimer μ en fonction de δ, a' et b' :


et on a :
donc :

On incorpore donc cette égalité dans l'équation de départ donnée dans l'énoncé soit :



donc :

On a donc 4 cas possibles :

δ (2a'b' + 7) = 3 * 37
δ (2a'b' + 7) = 37 * 3
δ (2a'b' + 7) = 1 * 111
δ (2a'b' + 7) = 111 * 1

dont 2 qui ne marchent pas :
δ = 111
2a'b' + 7 = 1
a'b' = -3 -------> On veut des entiers.

δ = 37
2a'b' + 7 = 3
a'b' = -4 / 2 = -2 --------> On veut des entiers.


En décomposant 111 en produit de facteurs premiers on a : 111 = 3 * 37
---->

On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 3, reste à résoudre l'équation suivante :


On a donc 4 couples (a';b') : (3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) et (15 ; 1)

MAIS, 111 = 1*111 donc :


On a donc un système de deux équations :



On a donc δ = 1, reste à résoudre l'équation suivante :


On décompose 52 en produits de facteurs premiers :

52 = 2 * 2 * 13 = 4 * 13 = 52 *1 = 2 * 26

On a donc 6 autres couples (a' ; b') : (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ; (2 ; 26) ; (26 ; 2)
Or, 2 couples sont ici impossibles : (2 ; 26) ; (26 ; 2) car PGCD (2 ; 26) = 2
donc 2 et 26 ne sont pas premiers entre-eux. Ils ne fonctionnent donc pas car a' et b' étaient premiers entre-eux tout comme a et b.

On a donc 8 couples (a' ; b') au total :

(3 ; 5) ; (5 ; 3) ; (1 ; 15) ; (15 ; 1) avec δ = 3
(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4)
avec δ = 1

Et on sait que :

Donc, pour les 4 premiers couples (a' ; b'), on aurait les couples (a ; b) suivants :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3)

Et, pour les 4 autres couples on aurait :

(1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ;

Soit 8 couples (a ; b) :

(9 ; 15) ; (15 ; 9) ; (3 ; 45) ; (45 ; 3) ; (1 ; 52) ; (52 ; 1) ; (4 ; 13) ; (13 ; 4) ;

Normalement là tout est ok.
C'est vrai que j'ai pu constater qu'en Maths spé., on a pas mal d'exercices par exemple sur le PGCD (je parle de ça parce que j'en faisais en "bonus" cet aprem) qui nécessitent des connaissances vues dans des leçons antérieures. C'est peu-être pour ça que ça forme un ensemble appelé arithmétique .
En tout cas, je pense avoir saisi le fonctionnement de cet exo et je t'en remercie.
Merci de m'avoir accordé de ton temps et tes conseils.