Dernier exercice sur les congruences

Salut!
Me revoici (encore je sais) pour un dernière exercice sur les congruences et, j'espère avoir compris cette fois-ci.

Voici l'énoncé :


a) Déterminer les restes dans la division par 13 des nombres : 5⁰ ; 5¹ ; 5² ; 5³ ; 5⁴.
Que peut-on conjecturer?

b) Discuter suivant les valeurs de l'exposant entier naturel n le reste dans la division par 13 de 5ⁿ.

c) En déduire que 1981¹⁹⁸¹ -5 est divisible par 13.

d) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, le nombre N = 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1 est divisible par 13.


Voici mes résultats :

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) Il y a 13 restes possibles dans la division par 13 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Je fais donc un tableau de congruences :



Les restes que nous avions donc conjecturés s'avèrent être exacts!


c) 1981 = 13 * 152 + 5
On retrouvera donc logiquement les mêmes restes soit : 1, 5, 12 et 8.
Pour que 1981¹⁹⁸¹ soit divisible par 13, il faudrait donc que son reste soit 5 car, il s'annulerait avec le +5 présent dans l'expression.
Là, je bloque, comment prouver que 1981¹⁹⁸¹ a pour reste 5 dans la division par 13?
Il faudrait dire que 1981 est congru à 5 modulo 13 mais après...
J'aurais donc besoin d'un petit coup de main.
Merci d'avance.

Bonsoir,

On peut en effet conjecturer le fait que le reste de la division de 5ⁿ par 13 soit égale à 1, 2, 5 ou 8. La première question est donc juste.

La deuxième question par contre ne l'est pas car pourquoi considères-tu la congruence modulo 13 de l'exposant? Il s'agit d'un exposant, on ne prend pas de congruence de l'exposant lorsqu'on cherche une congruence du chiffre total.

Ici discuté sur n c'est dire si n est d'une certaine forme alors le reste c'est 1, d'une autre forme alors le reste c'est 2, et ainsi de suite.

Alors d'après la première question, quelle est la forme de n pour que 5ⁿ soit de reste 1 modulo 13? De reste 2 modulo 13? De reste 5 modulo 13? Et de reste 8 modulo 13 ?

C'est ça qu'on te demande dans cette question.


Nous verrons la question suivante par la suite vu qu'on a besoin de celle-ci pour la résoudre.

Bon courage!

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.
Ca semble bancal je viens de le faire pour les autres j'ai vérifié à la calculette et ça marche pas...

C'est pourtant tout à fait juste.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Pourquoi?

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

Il me semble que la question b) est terminée.


c) Comme vu précédemment, (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.
1981 = 395 * 5 + 1
1981 = 495 * 4 + 1

donc 1981 congru à 1 modulo 4 et 5
Arf je m'embrouille...

La question b n'st pas terminée petit malin .

En effetn si n n'est pas del a forme 4k mais 4k+1 quel estl e reste par 13 de 5ⁿ? Et pour n=4k+2 ou encore n=4k+3?

Lorsqu'on fait une distinction par rapport à un multiple de 4, il y a 4 cas à considérer (si c'était pair ou impaire, il y avais 2 cas et si c'était un multiple de 3, il y aurait eu 3 cas et ainsi de suite).

On verra laquestion c) après car c'est pas la plus évidente faut bien réfléchir au problème.

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 (13)
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 (13)


[J'ai vu cette méthode en cours donc je pense que c'est bon]

C'est en effet juste mais 25 est congru à combien modulo 13 ? de même pour 125?

Il faut aller jusqu'au bout du raisonnement pour que notre conjecture soit bien vérifié (ne pas oublier la conjecture qu'on espère juste fait à la question 1)).

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

On retrouve bien nos reste conjecturé en première question 1, 8, 12, 5.

D'ailleurs, tu avais une erreur de calcul: 5² = 25 = 1*13 + 12

Alors maintenant comment appliquer celà à notre question suivante? Vu que c'est en déduire, il doit bien y avoir un lien intéressant à utiliser la.

Bon courage!

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

[Merci de m'avoir signalé la faute de frappe]


c) On a 4 restes vérifiés donc :
1 ; 8 ; 12 ; 5

Ici, on a 1981¹⁹⁸¹ -5
Le -5 ne doit pas être là par hasard donc, on peut deviner que le reste de 1981¹⁹⁸¹ par 13 sera 5.
1981 = 152 * 13 + 5
Maintenant, reste à prouver que 1981¹⁹⁸¹ a bel est bien pour reste 5 dans la division par 13.
1981 congru à 5^{4k +1} (13)
1981¹⁹⁸¹ congru à 5^{4 * 495 + 1} congru à 5 (13)
Donc :
1981¹⁹⁸¹ congru à 5 (13)
1981¹⁹⁸¹ -5 congru à 5 - 5 (13)
Donc :
1981¹⁹⁸¹ est divisible par 13!

L'idée est là et la réponse est juste!!

Je te propose la rédaction suivante:

1981 est congru à 5 modulo 13.

Donc 1981¹⁹⁸¹ -5 est congru à 5¹⁹⁸¹-5

Or on a vu à la question 2) que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n.
on a: 1981=1980+1=990*4 +1 c'est à dire que 1981 est congru à 1 modulo 4
Donc d'après la question 2), on a: 5¹⁹⁸¹ congru à 5 modulo 13

Donc 1981¹⁹⁸¹-5 est congru à 0 modulo 13.

D'où 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible par 13

Ma rédaction est peut-être trop détaillée mais bon tout y est c'est le principale et je ne me répète pas.

La question suivante est du même tonneau, je te laissel a rédiger convenablement.

Bon courage!

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

[Merci de m'avoir signalé la faute de frappe]


c)

1981 est congru à 5 modulo 13.

Donc 1981¹⁹⁸¹ -5 est congru à 5¹⁹⁸¹-5

Or on a vu à la question 2) que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n.
on a: 1981=1980+1=990*4 +1 c'est à dire que 1981 est congru à 1 modulo 4
Donc d'après la question 2), on a: 5¹⁹⁸¹ congru à 5 modulo 13

Donc 1981¹⁹⁸¹-5 est congru à 0 modulo 13.

D'où 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible par 13

J'ai repris ta rédaction qui est c'est vrai bien moins fouillis que la mienne.


d) N = 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1

31 = 13 *2 + 5
1 = 13 * 1 + 5

Donc :
31 congru à 5 (13)
18 congru à 5 (13)
31 congru à 18 (13)

Or, on a vu que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n. On a donc :
31 = 7 * 4 + 3
18 = 4 * 4 +2
Donc :
31 congru à 3 (4)
18 congru à 2 (4)
DONC :
31⁴ⁿ⁺¹ congru à 3⁴ⁿ⁺¹
18^4n-1 congru à 2^4n-1
DONC :
31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1 congru à 3⁴ⁿ⁺¹ + 2^4n-1

Il y a une erreur quelque part je pense...

Citation :

Or, on a vu que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n. On a donc :
31 = 7 * 4 + 3
18 = 4 * 4 +2

Cohérence dans ta rédaction? Tu parles de la congruence de n modulo 4, c'est à dire de la congruence de l'exposant et juste après tu ne considère par les exposant mais les nombre . D'où l'erreur!

Reprendre mes rédaction est une chose mais fait attention à ce qui est écrit dedans lorsque tu l'appliques, vitesse ne fait pas bon ménage avec adresse .

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

[Merci de m'avoir signalé la faute de frappe]


c)

1981 est congru à 5 modulo 13.

Donc 1981¹⁹⁸¹ -5 est congru à 5¹⁹⁸¹-5

Or on a vu à la question 2) que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n.
on a: 1981=1980+1=990*4 +1 c'est à dire que 1981 est congru à 1 modulo 4
Donc d'après la question 2), on a: 5¹⁹⁸¹ congru à 5 modulo 13

Donc 1981¹⁹⁸¹-5 est congru à 0 modulo 13.

D'où 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible par 13

J'ai repris ta rédaction qui est c'est vrai bien moins fouillis que la mienne.


d) N = 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1

31 = 13 *2 + 5
1 = 13 * 1 + 5

Donc :
31 congru à 5 (13)
18 congru à 5 (13)
31 congru à 18 (13)

Or, on a vu que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n. Nous avons vu précédemment qu'il y avait 4 cas en présence dont celui-ci :

n = 4k + 1 : 5n = 54k+1 = 54k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).

Je m'embrouille là...

Non non c'est bien ça .

tu pouvait simplemetn dire que 4n+1 est congru a 1 modulo 4 donc 5ⁿ est congru a 5 modulo 13 d'après la question 2).

Et donc l'autre terme ça donne quoi ?

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

[Merci de m'avoir signalé la faute de frappe]


c)

1981 est congru à 5 modulo 13.

Donc 1981¹⁹⁸¹ -5 est congru à 5¹⁹⁸¹-5

Or on a vu à la question 2) que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n.
on a: 1981=1980+1=990*4 +1 c'est à dire que 1981 est congru à 1 modulo 4
Donc d'après la question 2), on a: 5¹⁹⁸¹ congru à 5 modulo 13

Donc 1981¹⁹⁸¹-5 est congru à 0 modulo 13.

D'où 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible par 13

J'ai repris ta rédaction qui est c'est vrai bien moins fouillis que la mienne.


d) N = 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1

31 = 13 *2 + 5
1 = 13 * 1 + 5

Donc :
31 congru à 5 (13)
18 congru à 5 (13)
31 congru à 18 (13)

Or, on a vu que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n. Nous avons vu précédemment qu'il y avait 4 cas en présence dont celui-ci :

n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
4n+1 est congru a 1 modulo 4 donc 5ⁿ est congru a 5 modulo 13

n = 4k - 1 : 5^{4k -1} = 5^4k * -5 congru à -5 (13)

??

C'est quoi la congruence de 4n-1 modulo 4?

C'est toujours la même façon de chercher en fait. (mise à part, ton petit 5^-1=-5 est magnifique ).

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

[Merci de m'avoir signalé la faute de frappe]


c)

1981 est congru à 5 modulo 13.

Donc 1981¹⁹⁸¹ -5 est congru à 5¹⁹⁸¹-5

Or on a vu à la question 2) que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n.
on a: 1981=1980+1=990*4 +1 c'est à dire que 1981 est congru à 1 modulo 4
Donc d'après la question 2), on a: 5¹⁹⁸¹ congru à 5 modulo 13

Donc 1981¹⁹⁸¹-5 est congru à 0 modulo 13.

D'où 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible par 13

J'ai repris ta rédaction qui est c'est vrai bien moins fouillis que la mienne.


d) N = 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1

31 = 13 *2 + 5
1 = 13 * 1 + 5

Donc :
31 congru à 5 (13)
18 congru à 5 (13)
31 congru à 18 (13)

Or, on a vu que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n. Nous avons vu précédemment qu'il y avait 4 cas en présence dont celui-ci :

n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
4n+1 est congru a 1 modulo 4 donc 5ⁿ est congru a 5 modulo 13

n = 4k - 1 : 5^4k-1 = 5^4k * 5^-1 congru à 1 * 5^-1 = 0.2

Voilà a plus de 5[sup]-1[:sup] = -5!
Plus sérieusement, 0.2 ça sonne faux je trouve...

0.2 lorsqu'on étudit des congruence ça sonne faux en effet .

Que savons-nous? On sait que la congruence de 5ⁿ modulo 13 dépend de la congruence de n modulo 4.

On sait que les congruence modulo 4 c'est: 0, 1, 2 et 3

Ici on a 4n-1 qui est congru à ? modulo 4

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

[Merci de m'avoir signalé la faute de frappe]


c)

1981 est congru à 5 modulo 13.

Donc 1981¹⁹⁸¹ -5 est congru à 5¹⁹⁸¹-5

Or on a vu à la question 2) que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n.
on a: 1981=1980+1=990*4 +1 c'est à dire que 1981 est congru à 1 modulo 4
Donc d'après la question 2), on a: 5¹⁹⁸¹ congru à 5 modulo 13

Donc 1981¹⁹⁸¹-5 est congru à 0 modulo 13.

D'où 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible par 13

J'ai repris ta rédaction qui est c'est vrai bien moins fouillis que la mienne.


d) N = 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1

31 = 13 *2 + 5
1 = 13 * 1 + 5

Donc :
31 congru à 5 (13)
18 congru à 5 (13)
31 congru à 18 (13)

Or, on a vu que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n. Nous avons vu précédemment qu'il y avait 4 cas en présence dont celui-ci :

n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
4n+1 est congru a 1 modulo 4 donc 5ⁿ est congru a 5 modulo 13

n = 4k - 1 : 5^4k-1 = 5^4k * 5^-1 congru à 1 * 5^-1 = 0.2

4n-1 congru à 3 (4)

C'est juste!

Citation :

4n-1 congru à 3 (4)

Du coup d'après la question 2), on a quoi comme reste de 5^4k-1 ?

Normalement, on aurait 8 comme reste

C'est tout à fait ça !

Et donc conclusion pour la question ??

a)

Je peux donc conjecturer qu'il y aura ici 4 restes dans la division par 13 de 5ⁿ.


b) D'après la question 1,
Pour avoir un reste égal à 1, n devra être un multiple de 4.

Si n est un multiple de 4 alors il existe k' tel que 5ⁿ= 13k' + 1.

Je pense avoir saisi la démarche en tout cas. Je te cite :

Si n est un multiple de 4, celà signifie qu'il existe un entier k tel que n=4k

Donc 5ⁿ= 5^4k = (5⁴)^k

Or 5⁴ est congru à 1 modulo 13.

Donc (5⁴)^k est congru à 1 modulo 13.

On a ici 4 cas à considérer car on parle de multiple de 4 :
n = 4k ; n = 4k + 1 ; n = 4k + 2 ; n = 4k + 3

n = 4k : 5ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k = 625^k congru à 1^k = 1 (13).
n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
n = 4k + 2 : 5^{4k + 2} = 5^4k * 5² = 5^4k * 25 congru à 1 * 25 = 25 congru à 12 (13).
n= 4k + 3 : 5^{4k + 3} = 5^4k * 5³ = 5^4k * 125 congru à 1 * 125 = 125 congru à 8 (13).

[Merci de m'avoir signalé la faute de frappe]


c)

1981 est congru à 5 modulo 13.

Donc 1981¹⁹⁸¹ -5 est congru à 5¹⁹⁸¹-5

Or on a vu à la question 2) que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n.
on a: 1981=1980+1=990*4 +1 c'est à dire que 1981 est congru à 1 modulo 4
Donc d'après la question 2), on a: 5¹⁹⁸¹ congru à 5 modulo 13

Donc 1981¹⁹⁸¹-5 est congru à 0 modulo 13.

D'où 1981¹⁹⁸¹-5 est divisible par 13

J'ai repris ta rédaction qui est c'est vrai bien moins fouillis que la mienne.


d) N = 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1

31 = 13 *2 + 5
1 = 13 * 1 + 5

Donc :
31 congru à 5 (13)
18 congru à 5 (13)
31 congru à 18 (13)

Or, on a vu que le reste de la division de 5ⁿ par 13 dépendait du reste de la division par 4 de n. Nous avons vu précédemment qu'il y avait 4 cas en présence dont celui-ci :

n = 4k + 1 : 5ⁿ = 5^4k+1 = 5^4k * 5 congru à 1 * 5 = 5 (13).
4n+1 est congru a 1 modulo 4 donc 5ⁿ est congru a 5 modulo 13

n = 4k - 1 : 5^4k-1 = 5^4k * 5^-1 congru à 1 * 5^-1 = 8

On a donc 31⁴ⁿ⁺¹ + 18^4n-1 congru à 8 + 5 = 13
Donc, le nombre N est un multiple de 13!