Dernier exercice spé sur similitudes

Salut!
Voici le dernier exo de la série avec ici aussi, l'équation complexe de la similitude à calculer...


ABCD est un carré direct de centre I et donc la longueur du côté est égale à 1.
On note s la similitude directe qui transforme le point B en I, et le point C en D.

a) Calculer le rapport et l'angle de cette similitude.
b) On rapporte au plan le repère orthonormal (A ; AB ; AD).
Quelles sont les affixes des points B, C, I et D?
Déterminer l'équation complexe de s.
En déduire le centre de la similitude s.



Pour la question a), je pensais trouver l'équation complexe de la similitude mais, on le demande à la b) donc, je ne vois pas d'autre méthode pour trouver le rapport et l'angle donc là, je suis dans le flou total...
J'aurais donc besoin d'un petit coup de main là-dessus svp!

Merci d'avance!

Une similitude transforme un point en un autre en effectuant deux transformation successives qui sont une rotation et une homothétie.

Par conséquent, la première partie consiste à faire des considération seulement à partir de la figure et des ses propriétés. Que savons-nous d'une similitude directe?

Elle conserve les distances et les rapports de distance.

Par conséquent, on sait que l'angle d'une similitude sera donnée par exemple par: Théta=(BC,s(B)s(C))
Et le rapport de celle-ci sera donnée par k=s(B)s(C)/BC

Le rapport est plsu facile à montrer, en effet, on a une similitude et par conséquent, on sait que s(B)s(C)=e^i*ThétaBC et en prenant le module, on retrouve bien l'égalité des distances.

Pour se rappeler de l'angle c'est un peu plus complexe mais en fait, il suffit de ce souvenir qu'un angle c'est aussi un argument:

(BC,s(B)s(C))= Arg[(s(z_C)-s(z_B))/(z_C-z_B)]= Arg(e^i*Théta*k) (le rapport k apparaît en faisant le calcul grace au rapport des distance tout simplement)

Et on a donc bien: (BC,s(B)s(C))=Théta


Ce sont deux choses à se rappeler et qui permettent de déduire l'angle et le rapport de façon assez rapide lorsque la figure est symaptique comme un carré.

Bon courage!

D'accord.

En regardant la figure, on voit que (BD) est la bissectrice de l'angle droit ABC donc, on peut en déduire qu'entre B et I on a une rotation de 45 degrés soit Pi/4.


Pour le rapport,
s(B)s(C)=e^i*ThétaBC avec Téta = Pi/4
Donc :

s(B)s(C) = e^iPi/4 * BC avec BC valant 1

s(B)s(C) = e^iPi/4
s(B)s(C) = [ cos(Pi/4) + isin(Pi/4) ]
s(B)s(C) = [ Racine(2)/2 + i racine(2)/2]

??

L'angle est tou à fait juste!

Pour le rapport, ne fait pas de calcul en complexe, lis seulement la figure:

k=s(B)s(C)/BC

Que vaut s(B) et s(C) d'après l'énoncer? Et par conséquent, que vaut le rapport sachant que I est le milieu de notre carré?

Bon courage!

Oui mais, il est noté "calculer" l'angle et le rapport mais pour cela, il faut l'équation complexe --> Problème, on la demande dans le b)...

Je vais faire comme tu l'indiques donc, en me servant de la figure :



En regardant la figure, on voit que (BD) est la bissectrice de l'angle droit ABC donc, on peut en déduire qu'entre B et I on a une rotation de 45 degrés soit Pi/4.

et, le rapport k=s(B)s(C)/BC.

Citation :

Que vaut s(B) et s(C) d'après l'énoncer? Et par conséquent, que vaut le rapport sachant que I est le milieu de notre carré?

s(B) = I et s(C) = D.
Le rapport vaudrait ceci : k = BD/2 ou AC/2

Alors tu connais le rapport à partir de l'équation complexe mais les similitude existe depuis Pythagore et Thalès et à cette époque là, les complexes était une notion qui n'existait pas . En effet, le mot similitude veut dire:

"ressemblance" ou encore "analogie"

On dit que deux objets sont similaire lorsqu'ils ont des propriétés en commun comme la forme même si la proportion change et l'orientation aussi. Une balle de tennis est similaire à une balle de ping pong car il y a juste une différence de taille (et de texture aussi mais bon).

Donc le mot à un sens parfaitement clair en français dans le texte et les mathématiques n'invente rien pour le coup mais transpose seulement les choses. En effet voici la définition par exemple de similitude géométrique:

Wikipédia a écrit:

une similitude est une transformation qui, à toute figure, fait correspondre une figure semblable, c'est-à-dire de même forme

Donc il n'y a pas de notion de complexe dans la définition même d'une similitude et cela est dû à l'aspect purement intuitif et géométrique des choses. Dire qu'on reproche au maths de ne pas être concrètes .

Par exemple, tu connais depuis la second si mes souvenirs sont bons la notion de triangles semblables. Et on te définit cette notion en te disant que deux triangles sont semblables s'ils ont même forme c'est à dire que les longueur diffèrent d'une constante multiplicative et que les angles sont conservés. Après il existe toutes sortes de théorème pour montrer que deux triangles sont semblables (au nombre de trois minimum en utilisant les longueurs et les angles).

Donc ici, on veut juste te rappeler l'aspect concret d'une similitude en utilisant le fait qu'on peut trouver l'angle et le rapport seulement à partir de la figure. Bon maintenant, on a la notion de complexe ne plus et on peut donc redémontrer toutes les propriétés de façons rigoureuses et non seulement intuitive et c'est ce que j'ai fait quelque message au-dessous pour te redonner l'angle et le rapport à partir de considération simple sur l'explicitation concrète d'une similitude direct en complexe.

On a donc déduit l'angle qui est bien égale à Pi/4. Maintenant, on sait que le rapport est égale à s(B)s(C)/BC d'après la démonstration faites au-dessus.

On sait comme tu l'as rappelé que s(B)=i et s(C)=D. Par conséquent, s(B)s(C)/BC=ID/BC tout simplement.

Que vaut ID et que vaut BC? Ta réponse est juste mais tu peux calculer concrètement BD ou AC car c'est un carré de côté 1 donc on sait plein de chose sur les diagonales et surtout leur longueur par le théorème de Pythagore.

J'espère que c'est plus clair ainsi mais n'hésite pas si tu es perdu dans mes explications à me le dire, j'ai de la réserve dans ma besace comme d'habitude .

Bon courage!

En regardant la figure, on voit que (BD) est la bissectrice de l'angle droit ABC donc, on peut en déduire qu'entre B et I on a une rotation de 45 degrés soit Pi/4.

et, le rapport k=s(B)s(C)/BC.

Citation :

Que vaut s(B) et s(C) d'après l'énoncer? Et par conséquent, que vaut le rapport sachant que I est le milieu de notre carré?

Citation :

Que vaut ID et que vaut BC? Ta réponse est juste mais tu peux calculer concrètement BD ou AC car c'est un carré de côté 1 donc on sait plein de chose sur les diagonales et surtout leur longueur par le théorème de Pythagore.

Je me sers du théorème de Pythagore pour déterminer BD :

Dans le triangle BCD :

BD² = BC² + CD² = 1² + 1² = 2
BD=Racine(2) = AC

Donc, ID = Racine(2)/2

C'est tout à fait juste!

alors une astuce, lorsqu'on a un carré de côté a, la diagonale fera toujours a*Racine(2). Simple calcul de Pythagore: a²+a²=(Diagonale)² <=> Diagonale=Racine(2*a²)=a*Racine(2). C'est une astuce simple et très pratique lorsqu'on a des doutes.

Donc on a bien une similitude d'angle Pi/4 et de rapport racine(2)/2. Et seulement en utilisant la configuration géométrique.

Maintenant, on va montrer que la théorie qu'on a mis en place en complexe est tout à fait cohérente avec l'aspect intuitif des choses. Donc on pose un repère sur notre figure et on est parti pour faire des calcul.

Bon courage!

La question a) se rédige comme cela?


b) On a notre repère (A ; AB , AD)
Je cherche les affixes de B, C, I et D.

--> B a pour coordonnées (1 ; 0) donc, B a pour affixe :
z_b = 1

-->D a pour coordonnées (0 ; 1) donc, D a pour affixe :
z_D = i

--> C a pour coordonnées (1 ; 1) donc, C a pour affixe :
z_C = 1 + i

--> I est le milieu du carré ABCD de côté 1. On sait que les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu donc : I est le milieu de AC. Je calcule AC :

AC = z_C - z_A = 1 +i - 1 = i ?????????

Pour la première question, elle se rédige en utilisant les relations entre les images et leurs antécédents comme je te l'avais rappeler dans l'un des premier message.

Théta=(BC,s(B)s(C)) et k=s(B)s(C)/BC

Or s(B)=I et s(C)=D

Donc Théta=(BC,ID) et k=ID/BC

Et là tu enchaîne avec les considération sur le triangle pour terminer les calculs comme tu l'as fait. Mais mettre les résultat de but en blanc n'était pas une bonne idée en effet .

Sinon, pour les coordonnées c'est tout bon sauf pour I qui manque à l'appelle. Alors une distance c'est un calcul de MODULE !!!! Et non seulement la différence des affixes , une distance complexe c'est en effet un peu pas possible .

Par contre, tu as un carré devant les yeux et tu sais que I est le centre de celui-ci. Donc I est repéré par son argument et son module qui est Théta=Pi/4 car ACB est isocèle rectangle et I appartient à AC par exemple. Et après pour le module c'est en effet AC/2 mais on sait que la longueur d'une diagonale dans un carré de côté 1 c'est Racine(2) d'après question 1). Il faut savoir faire simple de temps en temps pour éviter de perdre du temps pour la suite par exemple.

Tu pouvais aussi dire que vu que I c'et le milieu du carré, il est donc barycentre des quatre point pour un point de 1, donc z_I=(z_A+z_B+z_C+z_D)/4

On pouvait aussi dire que I étant le milieu du carré, on a xI=1/2 et yI=1/2 (en utilisant le théorème de la droite des milieu dans les triangles ABC et ADC).

Après c'est à toi de voir la solution qui te semble la plus simple ou plutôt la plus intuitive car plus c'est intuitif pour toi et plus tu seras apte à y penser plus rapidement et à l'utiliser de façon automatique tout en sachant pourquoi tu le fais.

Avant tu avais mis Théta=(BC,s(B)s(C)) et là, tu mets Théta=(BC,s(B)s(C)). Lequel est bon et, comment trouver lequel est bon?


Je reprends donc :

a) Théta=(BC,s(B)s(C)) et k=s(B)s(C)/BC

Or s(B)=I et s(C)=D

Donc Théta=(BC,ID) et k=ID/BC


Je me sers du théorème de Pythagore pour déterminer BD :

Dans le triangle BCD :

BD² = BC² + CD² = 1² + 1² = 2
BD=Racine(2) = AC

Donc, ID = Racine(2)/2
Avec BC = 1

k = Racine(2)/2 / 1 ??? On trouvait 2 pourtant.

J'ai compris à partir du dessin mais là je galère un peu...

Citation :

Avant tu avais mis Théta=(BC,s(B)s(C)) et là, tu mets Théta=(BC,s(B)s(C)).

J'ai la berlue mais mis à part qu'il manque le gras pour dire qu'il s'agit de vecteur, je ne vois pas la différence pour ma part.

Pour ce qui est de savoir d'où sort les définitions de k et de Théta, je te renvoie ici:

Citation :

s(B)s(C)=e^i*ThétaBC et en prenant le module, on retrouve bien l'égalité des distances.
[...]
(BC,s(B)s(C))= Arg[(s(zC)-s(zB))/(zC-zB)]= Arg(ei*Théta*k) (le rapport k apparaît en faisant le calcul grace au rapport des distance tout simplement)

Et on a donc bien: (BC,s(B)s(C))=Théta

La relation entre les vecteurs vient de la définition même et de son application:

On sait qu'une similitude s de centre Ω(ω) rapport k et d'angle θ qui envoie M(z) sur M'=s(M) s'écrit: z'-ω=k*e^iθ*(z-ω)

Donc s(C)=k*e^iθ*(z_C-ω)+ω et s(B)=k*e^iθ*(z_B-ω)+ω
D'où s(C)-s(B)= k*e^iθ*(z_C-ω)+ω -(k*e^iθ*(z_B-ω)+ω)

Donc s(B)s(C)=k*e^iθ*(z_C-z_B+ω-ω)+ω-ω=k*e^iθ*(z_C-z_B)

Conclusion: s(B)s(C)=k*e^iθ*BC

En prenant les modules, on a: s(B)s(C)=k*BC

En prenant les arguments, on a: Arg[z_s(B)s(C)]=Arg(k)+Arg(e^iθ)+Arg(z_BC)
Donc Arg[z_s(B)s(C)]-Arg[z_BC]=0+θ=θ
D'où Arg[z_s(B)s(C)/z_BC]=θ

Conclusion: (BC,s(B)s(C))=θ


On trouve bien k=Racine(2)/2, il n'y a pas d'erreur (2 c'est dans l'autre exercice ).

Bon courage pour la suite!

Pardon, je voulais dire que dans un précédent post, tu mettais Théta=(s(B)s(C),BC).
Sinon, la démonstration est intéressante. On pourrais me la demander au Bac?
EDIT en rouge

a) Théta=(BC,s(B)s(C)) et k=s(B)s(C)/BC

Or s(B)=I et s(C)=D

Donc Théta=(BC,ID) et k=ID/BC


Je me sers du théorème de Pythagore pour déterminer BD :

Dans le triangle BCD :

BD² = BC² + CD² = 1² + 1² = 2
BD=Racine(2) = AC

Donc, ID = Racine(2)/2
Avec BC = 1

k = Racine(2)/2 / 1 = Racine(2) / 2

Théta=(BC,ID) = Pi/4

On a donc une similitude de rapport Racine(2)/2 et d'angle Pi/4




b) Je reprends ce que j'avais déjà fait :

n a notre repère (A ; AB , AD)
Je cherche les affixes de B, C, I et D.

--> B a pour coordonnées (1 ; 0) donc, B a pour affixe :
z_b = 1

-->D a pour coordonnées (0 ; 1) donc, D a pour affixe :
z_D = i

--> C a pour coordonnées (1 ; 1) donc, C a pour affixe :
z_C = 1 + i

--> I est le milieu du carré ABCD de côté 1. On sait que les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu donc : I est le milieu de AC. Je calcule AC :

AC = z_C - z_A = 1 +i - 1 0 = 1 + i
Donc :
z_i = (1 + i) / 2 = 1/2 + 1/2i


J'ai refait le calcul sur brouillon et, je retombe sur ça...
Au pire, I étant le milieu de [AC], il existe une formule toute faite pour trouver l'affixe de i :

z_i =(1/2)(z_A + z_C) = (1/2) * ( 0 + 1 + i) = (1+i)/2 = 1/2 + (1/2)i ce qui semble juste. Après, je cherche toujours l'erreur dans mon calcul précédent...

Je vais privilégier la seconde résolution plus rapide et plus sérieuse.


J'ai donc les affixes de tous les points et je peux calculer l'équation complexe de s :

--> Je sais que : s(B) = I et S(C) = D
avec :
az + b = z'

Donc :

1 * a + b = 1/2 + (1/2)i
(1 + i)a + b = i
--------------------------------------
a - (1+i)a = 1/2 + (1/2) * i - i
a - a - ai = 1/2 + i/2 - 2i / 2
-ai = 1/2 -i/2
-a = [ (1/2) - (1/2)i ] / i
-a = [ ((1/2) - (1/2)i) * (-i) ] / [ i * (-i) ]
-a = (-1/2) - (1/2)i
Donc :

a = 1/2 + 1/2 * i


Je calcule maintenant b :

(1 + i)a + b =i
(1+i)(1/2 + i/2) + b = i
1/2 + i/2 + i/2 + i²/2 + b= i
1/2 - 1/2 + i + b= i
b + i = i
b = 0

Le centre de la similitude serait donc le point A origine du repère.

Bonsoir,

Pour ce qui est de la démonstration, elle n'est pas exigible au Bac dans le sens où on ne te demandera pas de but en blanc cette formule là. Cependant, savoir refaire les calculs est exigible car il ne s'agit que d'appliquer deux fois la forme d'une similitude et d'en déduire l'affixe d'un vecteur ce qui est à la porter d'un élève de Terminale S spécialité Maths.

Citation :

AC = zC - zA = 1 +i - 0 = 1 + i
Donc :
z_I = (1 + i) / 2 = 1/2 + 1/2i

L'erreur est simple pourtant: AC est différent de AC. Or ce que tu calcule c'est AC. Donc AC=||AC||=|z_C-z_A|=|1+i|=Racine(2)

Donc, on a: AI=|z_I|=Racine(2)/2 Il resterait à donner l'angle Arg(z_I)=(AB,AI)=Pi/4

La deuxième façon de trouver les coordonnées de I en le considérant comme le barycentre de {(A,1),(C,1)} est plus courte en effet et c'est la plus courte en fait.


Le reste des questions est tout à fait juste mis à part qu'il faudrait tout de même écrire à un moment:

"Donc l'équation de la similitude est: z'=(1/2+i/2)*z"

Pour le en déduire tu as deux choix en fait. Soit tu écris que puisque b=0 et a≠1, le centre de la similitude est confondu avec l'origine du repère qui est A.

Soit, tu résous z=a*z <=> z*(1-a)=0 <=> z=0 ou a-1=0
C'est en refaisant le calcul, qu'on voit que l'argument a≠1 est non négligeable car sinon notre similitude n'est autre que l'identité et par conséquent tous les points sont fixes.

Cette exercice est vraiment intéressant car il mêle la vision géométrique et la vision analytique d'une similitude ce qui est vraiment indispensable à connaître ou au moins il faut l'avoir vu au moins une fois et avoir compris les relation le rapport, l'angle d'une similitude et leur aspect géométrique. Un très bon exercice de révision pour le Bac je pense surtout vu tous les rappels et démonstration qui ont été faites dans cette conversation.

Bon courage pour la suite!

Ls dernières retouches sont en vert


a) Théta=(BC,s(B)s(C)) et k=s(B)s(C)/BC

Or s(B)=I et s(C)=D

Donc Théta=(BC,ID) et k=ID/BC


Je me sers du théorème de Pythagore pour déterminer BD :

Dans le triangle BCD :

BD² = BC² + CD² = 1² + 1² = 2
BD=Racine(2) = AC

Donc, ID = Racine(2)/2
Avec BC = 1

k = Racine(2)/2 / 1 = Racine(2) / 2

Théta=(BC,ID) = Pi/4

On a donc une similitude de rapport Racine(2)/2 et d'angle Pi/4




b) Je reprends ce que j'avais déjà fait :

n a notre repère (A ; AB , AD)
Je cherche les affixes de B, C, I et D.

--> B a pour coordonnées (1 ; 0) donc, B a pour affixe :
z_b = 1

-->D a pour coordonnées (0 ; 1) donc, D a pour affixe :
z_D = i

--> C a pour coordonnées (1 ; 1) donc, C a pour affixe :
z_C = 1 + i

--> I est le milieu du carré ABCD de côté 1. On sait que les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu donc : I est le milieu de AC. Je calcule AC :

AC = z_C - z_A = 1 +i - 1 0 = 1 + i
Donc :
z_i = (1 + i) / 2 = 1/2 + 1/2i


J'ai refait le calcul sur brouillon et, je retombe sur ça...
Au pire, I étant le milieu de [AC], il existe une formule toute faite pour trouver l'affixe de i :

z_i =(1/2)(z_A + z_C) = (1/2) * ( 0 + 1 + i) = (1+i)/2 = 1/2 + (1/2)i ce qui semble juste. Après, je cherche toujours l'erreur dans mon calcul précédent...

Je vais privilégier la seconde résolution plus rapide et plus sérieuse.


J'ai donc les affixes de tous les points et je peux calculer l'équation complexe de s :

--> Je sais que : s(B) = I et S(C) = D
avec :
az + b = z'

Donc :

1 * a + b = 1/2 + (1/2)i
(1 + i)a + b = i
--------------------------------------
a - (1+i)a = 1/2 + (1/2) * i - i
a - a - ai = 1/2 + i/2 - 2i / 2
-ai = 1/2 -i/2
-a = [ (1/2) - (1/2)i ] / i
-a = [ ((1/2) - (1/2)i) * (-i) ] / [ i * (-i) ]
-a = (-1/2) - (1/2)i
Donc :

a = 1/2 + 1/2 * i


Je calcule maintenant b :

(1 + i)a + b =i
(1+i)(1/2 + i/2) + b = i
1/2 + i/2 + i/2 + i²/2 + b= i
1/2 - 1/2 + i + b= i
b + i = i
b = 0

Donc l'équation de la similitude est: z'=(1/2+i/2)*z

Le centre de la similitude serait donc le point A origine du repère car :

z=a*z <=> z*(1-a)=0 <=> z=0 ou a-1=0


Sinon, identité du repère puis autre je venais de relire donc, ça tombais plutôt bien et je vois ce que tu veux dire.

En tout cas, merci de m'avoir aiguillé tout au long de cet exercice!
Merci!