Exercice sur les similitudes directes

Salut!
Je passe ici sur des maths spé. où, j'ai du boulot sur les similitudes directes. Il y a un petit bout de temps j'en avais déjà posté un qui était assez réussi mais là; je bloque sur deux exos donc, j'aurais besoin de quelques explications stp.

Voici l'énoncé :


Dans le plan complexe, on donne les points A, B, C et D d'affixes respectives :

z_A = i ; z_B = 2 ; z_C = 2 + 3i ; z_D 4-3i.
Soit f la similitude directe telle que : f(A) = C et f(B) = D.

a) Déterminer l'équation complexe de la similitude f.
b) Déterminer le rapport et l'angle de f.



Et voici mes réponses :

a)



Je cherche donc une transformation pour passer de i a 2 + 31 :
Cette transformation : une similitude a pour écriture : z' = az + b

a * i + b = 3i + 2
donc : a = 3 et b = 2
Donc :

Je vais vérifier avec la donnée suivante :


f(2) = 4 - 3i

z' = 3*2 + 2 --> Ca ne marche pas donc, ici je bloque...

Je pense que l'idée est bonne mais, il doit y avoir une erreur de calcul mais, je ne vois pas comment faire autrement...

Merci d'avance.

Bonsoir,

Il fallait faire cette erreur maintenant et non au bac donc autant l'avoir faite. En effet, c'est une erreur des plus classique et tu va t'en mordre les doigts, je pense.

Tu as donc utilisé une identification bête et méchante poru conclure. Mais la question est:

Dans quel cas avons-nous le droit de faire cette identification?

La question qui suivra sera, A quel ensemble appartienne a et b dans l'équation d'une similitude?

Le plus souvent, les élèves ne comprennent pas pourquoi le professeur passe son temps à mettre à quoi appartienne tel ou tel paramètre dans une équation avant de l'écrire car on lui dit pas l'intérêt de faire ici. Mais avec cette exemple là, je pense que ut sera vacciné sur le fait de bien écrire les définitions pour éviter les erreurs .

Citation :

Dans quel cas avons-nous le droit de faire cette identification?

On l'emploie surtout avec des trinômes du second degré en tout vas, je l'ai surtout croisé dans ce domaine.

Citation :

A quel ensemble appartienne a et b dans l'équation d'une similitude?

A et b doivent être réels non?

Alors le soucis venait bien de la définition. En effet, une similitude s'écrit aussi ainsi:

z'-ω=e_i*θ*(z-ω) <=> z'=e_i*θ*z' + ω-ω*e_i*θ

On a donc formellement: a=e_i*θ et b=ω-ω*e_i*θ

Donc lorsqu'on dit qu'une similitude est de la forme z'=a*z+b, a et b sont bien entendu des complexes. Donc il peuvent être réels mais en l'ocurrence ici il ne le sont pas.

Et l'identification n'est possible que lorsqu'on a ce qu'on appelle une base de notre plan. C'est une comception un peu dure quand on la voit brute comme ça mais bon je suis obligé car sinon, tu ne vas pas comprendre pouruqoi dès fois on a le droit d'identifier et d'autre non.

En fait intuitivement, tu as remarqué que tous les complexes s'écrive sous la forme x+i*y et qu'on peut même écrire cela x*1+y*i

On constate donc qu'avec la donner de 1 et de i, on construit tous les complexes. On appelle le couple (1,i) une base de notre plan complexe. Et c'est grace à cette définition là qu'on a le droit de faire des identification et qu'on dit:

Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même parties réelle et imaginaire

Mais l'identification est possible que lorsque x et y sont réel car la base est (1,i) et par conséquent i fait partie de notre base et ne rentre donc pas en compte dans l'identification.


Pour te faire une comparaison plus connu, tu as déjà écrit des point dans un repère orthonormée de la façon suivante:

M= x*i+y*j et si on a M'=x'*i+y'*j alors:
M=M' <=> x=x' et y=y'

ceci est du au fait que (i,j) forme une base de vecteur dans notre repère (O;i,j).

Pour les polynômes, la base qu'on utilise c'est (1,x,x²,x³,x⁴,....) et c'est poru celà qu'on a le droit d'identifier les coefficietn devant les puissances de x.

C'est un peu complexe je l'avoue mais au moins tu sais d'où ça vient et pouruqoi on a le droit ou pas d'identifier des termes dans une égalité.


Revenons à notre exercice où il suffit en faite de résoudre le système vu que tu as deux équations à deux inconnues complexes (a et b) à résoudre. Et ensuite, en déduire l'angle et le rapport de notre similitude.

Bon courage!

Ok.
Je pense avoir compris ces histoires de base pour les identifications.

Sinon, pour l'exercice j'ai trouvé! :

a)
f(i) = 2 + 3i
f(2) = 4 -3i

Donc :

ia + b = 2 + 3i
2a + b = 4 -3i
-----------------------------
ia - 2a = 2 + 3i -4 + 3i
a(i-2) = -2 + 6i
a = (-2+6i) / (-2 +i) = [ (-2 + 6i) (-2 -i) ] / [ (-2 +i) (-2 -i) ]
a= (4 + 2i -12i -6i²) / (4-i²) = (10 - 10i)/5 = 2 - 2i


DONC :

(2-2i)i + b = 2 + 3i
2i + 2 + b = 2 + 3i
b = i


Vérification avec ceci :

2(2-2i) + i doit faire selon l'hypothèse 4 -3 :

2(2-2i) + i = 4 - 4i + i = 4-3i

--> Notre similitude directe s'écrit donc comme ceci :

z' = (2-2i)a + i


b) Il me reste à calculer le rapport et l'angle de la similitude :

* Rapport k = |a| = |2 - 2i| = Racine(2² + (-2)²) = Racine( 4 + 4) = Racine(8) = 2Racine(2)

* Angle Alpha = Arg(a) = Arg(2-2i)

cos(Alpha) = x/r = 2 / (2Racine(2)) = Racine(2)/2
sin(Alpha) = y/r = -2/(2Racine(2)) = -Racine(2)/2

Alpha sera donc égal à -Pi/4.



Je pense que ceci conclut cet exercice .

Tout est juste en effet!

Pour les histoires de bases, c'est surtout culturel et ça permet de mieux comprendre pourquoi on peut ou on ne peut pas identifier tel terme avec tel autre. Si tu as compris l'idée c'est déjà beaucoup car cela te servira pour un gros chapitre de L1 MIPE ou MPSI ou PCSI si tu continues dans la voie scientifique. Sinon c'est juste culturel et ça permet de mieux comprendre les choses et de voir d'où cela vient (ça tombe pas du ciel, il y a de la théorie derrière ).

Bon courage pour la suite!

D'accord! En tout cas, merci beaucoup pour tout .