Parallélogramme et vecteurs

Bonjour,

j'ai un devoir maison pour jeudi et je me creuse la tête depuis dimanche mais rien à faire je ne trouve pas !

Donc voila le problème :

ABCD est un parallélogramme.
Les points I et K sont les milieux respectifs de [CD] et [AB].
les droites (AI) et (CK) coupent respectivement la droite (BD) en M et N.

1. a) En utilisant le repère (A;vecteur AB;vecteur AD), démontrer que le quadrilatère MINK est un parallélogramme.

b) Démontrer que les vecteurs DM, MN et NB sont égaux.

2.Reprendre les questions précédentes en utilisant des méthodes géométriques.

Image donnée :



Voila merci de m'aider donnez moi s'il vous plait quelques indices je ne voit vraiment pas ce qui pourrait marcher !

Au revoir.

Bonsoir et bienvenu parmi nous!

Pour la première question, on nous dit de nous placer dans le repère (A, AB, AD) pour montrer que MINK est un parallèlogramme.

Pour montrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme, nous avons plusieurs moyens:

Citation :

- Les côtés opposés égaux et parallèles ce qui revient à dire que les côtés opposés formes des vecteurs égaux deux à deux (ici MI=KN par exemple)

- Montrer que les diagonales se coupent en leur milieu

Pour cette première question, il va falloire utiliser les coordonnées des point de notre figure dans le repère que nous considérons.

Donc dans notre repère (A; AB, AD) quelles sont les coordonnées des point A, B, C, D, I et K ?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si besoin est nous sommes là pour celà.

justement ce qui m'empêche de réussir ce problème c'est que les points A, B, C, D, I et K n'ont pas de coordonnées, aucune valeur n'est donné dans l'exercice.
A la limite ce qu'on pourrais dire c'est A=x*vecteur AB+y*vecteur AD et faire de même pour chaque autre point donc rien qui permette de calculer les coordonnées avec des chiffres.

Cependant une amie ma dit qu'il fallait utiliser les fonctons affines auriez vous une idée en rapport avec ça ??

ps: tous les vecteurs sont en gras, ça sera plus simple à lire et plus rapide à écrire aussi.

Pour avoir des fonction affine il va falloir avoir des coordonnées de points et pour ce faire, il va falloir comprendre cette histoire de repère (A; AB, AD) qui m'a l'air d'être très flou pour toi.

Alors prenons une analogie simple. Si je te dis que je prend un repère (O; OI, OJ) tout de suite tu dois mettre en évidence ce que cela signifie:

- O est l'origine du repère donc c'est coordonnée dans le repère sont (0;0)
- OI est le vecteur unitaire pour l'axe des abscisses. Par conséquent, I a pour coordonnées dans ce repère là: (1;0)
- OJ est le vecteur unitaire pour l'axe des ordonnées. Par conséquent, J a pour coordonnées dans ce repère là: (0;1)

Donc rien quand te donnant le repère à considérer, on te donne les coordonnées de 3 points fondamentaux du repère.


A partir de cette instant là, comme tu l'écris, tous les points dans ce repère s'écrive sous la forme:

Je considère un point M dans mon repère (O; OI, OJ)

OM= x*OI + y*OJ (en utilisant la relation de Chasle et les propriété de parallélisme)

On appelle (x,y) les coordonnées du point M dans le repère (O; OI, OJ).


Bon maintenant, qu'on a fait tous les rappels sur le sujet, j'espère que cette notion est un peu plus clair et si cela n'est pasl e cas n'hésite pasà le dire car il faut vraiment assimiler cette notion là qui est incontournable pour ton exercice mais pour tout ce que tu fera en maths jusqu'au Bac au moins.

Et si c'est plus clair, quelles sont déjà les coordonnées des points A, B et D dans le repère (A; AB, AD) ?

Puis après, il nous faudrait aussi les coordonnées du point C (sachant que ABCD est un parallélogramme) et des points I et J (sachant qu'ils sont milieux respectivement de [CD] et [AB]).

Bon courage!

et bien les corodonnées sont A(0;0) B(1;0), D(0;1), C(1;1), I(0,5;1) et K(0,5;0)

Nickel !


Bon comme tu le constates on aimerait bien avoir les coordonnées des points M et N pour montrer par exemple que MI=KN et conclure qu'il s'agit bien d'un parallélogramme donc.

La question est donc comment trouver les coordonnées des points M et N?

D'abord qu'est-ce qu'on sait de ses points là? On sait que ce sont des point d'intersection entre deux droites à chaque fois.

En effet, M est le point d'intersection de la droite (AI) et de la droite (DB). Et N est l'intersection de la droite (CK) avec la droite (DB). C'est la seule qu'on sait mais c'est déjà beaucoup car on est ramené à un problème de calcul de coordonnées de point d'intersection de deux droites et là nous avons une méthode:

Si M(x_M, y_M) est le point de d'intersection de (AI) et (DB)
Alors les coordonnées de M sont solutions du système formé par les deux équations des deux droites.

(Ceci est analogue pour N, nous allons donc voir d'abord ce point là puis l'autre ensuite).

Et c'est là que le conseil de ton amie est judicieux vu que pour réussir à poser le système dans le but de le résoudre, il nous faut les équations des droites (AI) et (BD).

Est-ce que jusqu'ici c'est clair au niveau de la démarche pour résoudre cette question ou je parle chinois? Faut pas hésiter à m'arrêter surtout .

Est-ce que tu as une idée de comment calculer l'équation de la droite (AI) par exemple?

non je ne vois pas vraiment comment faire l'année dernière on a vu cela en cours mais assez vaguement car ce ne serait pas surement demandé au brevet (la priorité était mise sur le brevet)

je me souviens de la fonction f(x)=ax+b avec b qui est l'ordonnée a l'origine et a le coefficient directeur mais je vois pas a quoi ils correspondent dans ce dessin

désolé pour le double post

je dirais que b=0 puisque c'est une fonction affine particulière : une fonction linéaire. Par contre a je ne sais pas !

En effet, il s'agit bien d'une fonction affine pour la droite (AI) vu que A est l'origine du repère. On se retrouve donc avec b=0 et une équation du type y=a*x.

Mais avant d'aller plus loin je vais faire quelque rappels sur le sujet de façon général (autant en profiter pour en faire après tout cela ne peut que faire du bien aux souvenirs de rappeler quelque notion pour mieux construire la suite).


Donc tes souvenirs sont suffisant pour t'en sortir ici c'est une bonne chose.

En effet, la chose primordiale à se souvenir c'est qu'une droite à une équation du type y=a*x + b où a est le coefficient directeur de la droite et b l'ordonnée à l'origine.

Lorsque a et b sont non nul, on dit qu'il s'agit d'une équation affine de droite
Lorsque a est non nul et b est nul, on dit qu'il s'agit d'une équation linéaire de droite
Lorsque a est nul alors notre équation est de la forme y=b et il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Tout ceci est la base du vocabulaire et de ce qu'il faut savoir dans un premier temps. Ensuite, c'est bien joli tout ça mais le but est quand même de pouvoir déterminer a et b pour avoir une équation bien définie. Donc comment faire?

Et bien si on a deux point de la droite, on sait qu'il vérifie forcément l'équation de notre droite. Vu qu'une équation de droite c'est la caractérisation des point appartenant à la droite considéré.

Donc il suffit de remplacer les coordonnées des deux points connus dans notre équation pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues qui sont a et b.

C'est la manière la plus élémentaire d'aborder le problème si on ne se souvient de rien et si on veux être sur de ne pas se tromper.


Et le pire c'est que ici ça suffit largement pour continuer notre problème (rappel moi juste lorsqu'on aura fini l'exercice de te rappeler comment trouver une équation de droite si on te donne un point de celle-ci avec son coefficient directeur et avec ça tu auras tout ce qu'il fallait savoir sur le sujet pour entamer sereinnement la second dans ce domaine là).

Donc avec ces quelque rappels, quelles sont les équations de droite de (AI) et de (BD) ?

Donc, pour (AI) ce serait (0;0)*x + (0,5;1) et pour (DB) ce serait (0;1)*x + (1;0) ??

Alors il y a une légère confusion là entre le couple de coordonnées et ce qu'il contient.

En effet, lorsqu'on dit que M(x_M;y_M) appartient à la à la droite (D) d'équation y=a*x+b cela signifie que:

y_M=a*x_M + b

C'est cela qu'on dit lorsqu'on écrit "les coordonnées de M vérifie l'équation d'une droite d'équation y=a*x+b"


Ainsi sur cette exemple, tu constates bien que si j'ai un autre point Q(x_Q;y_Q) qui appartient à notre droite (D) d'équation y=a*x+b, on a:

y_Q=a*x_Q + b


Donc vu que les coordonnées de M et de Q sont données par l'énoncer dans mon exemple là, on trouve bien que a et b sont solution du système:

y_M=a*x_M + b
y_Q=a*x_Q + b

Et en résolvant ce système on trouve bien a et b qu'on cherchait à trouver.


Est-ce plus clair ainsi? ET si c'est le cas quelle est l'équation de (AI) dans un premier temps? Puis de (BD) dans un deuxième temps?

oui mais je ne comprend pas par quoi remplacer a et b...

AI=2x et BD=-1x+1 ??

Alors en effet, on ne sait pas par quoi remplacer a et b mais c'est justement ce qu'on cherche vu qu'ils sont solutions du système qu'on met en place.

Ton deuxième message confirme que tu commences à comprendre les choses mais par contre tu ne sais pas trop ce que tu manipules.

En effet, AI c'est une distance, donc AI=2x n'a pas de sens mathématique en fait.

Ce qu'il faut écrire c'est "(AI): y=2x" ce qui signifie "La droite (AI) a pour équation y=2x" ce qui signifie aussi "Les coordonnées (x;y) des points appartenant à la droite (AI) vérifient l'équation y=2x".

Donc pour l'autre équation de droite on a bien: (BD): y=-x+1.


Bon maintenant, on sait d'après la construction du point M de notre exercice qu'il est le point d'intersection des deux droites. Celà signifie donc que les coordonnées de M qu'on peut noter (x_M;y_M) vérifient à la fois l'équation de (AI) et l'équation de (BD) vu qu'il appartient aux deux droites.

Donc (x_M;y_M) est le couple solution du système:

y_M=2*x_M
y_M=-x_M+1

Est-ce que tu commences à assimiler les liens entres coordonnées dans un repère, point d'intersection et équation de droite?

Je te laisse résoudre ce système pour trouver les coordonnées de notre point M. Ensuite, il s'agit d'exactement la même démarche pour trouver les coordonnées du point N.

Bon courage!

je te remercie de réponses malheureusement je dois aller me coucher, j'essaierai de continuer demain.

Au revoir et merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'expliquer !

Bonjour,

Une exercice de géométrie rien de tel pour "voir" les notions sur un dessin. Nous avons fait déjà beaucoup de révisions sur les équations de droite et comment déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une droite. On a aussi fait quelque rappels pour savoir le lien entre point d'intersection et résolution d'un système.

Je vais donc reprendre cet exercice et en proposer une correction. Je vous laisse dans un premier temps lire l'énoncer et les rappels bien entendu.

1)a). Nous nous plaçons dans le repère (A,AB,AD), écrivons les coordonnées des points remarquables de la figure dans ce repère:

A(0;0) (origine du repère)
B(1;0) (AB=1*AB+0*AD)
D(0;1) (AD=0*AB+1*AD)
C(1;1) (ABCD est un parallélogramme donc ADB=BC en particulier, donc AC=1*AB+1*BC c'est à dire AC=1*AB+1*AD)

I est le milieu de [DC]. Donc DI=(1/2)*DC
Or AI=1*AD+1*DI et DC=AB car ABCD est un parallélogramme

Donc AI=1*AD+1*(1/2)*AB c'est à dire AI=(1/2)*AB+1*AD
D'où I(1/2;1)

De plus, K est le milieu de [AB], donc AK=(1/2)*AB+0*AD
Donc J(1/2;0)

Il nous reste donc à déterminer les coordonnées des point M et N. Dans le but de démontrer que KNIM est un parallélogramme vu que je compte montrer que MK=IN.

Pour déterminer les coordonnées des point M et N, il faut remarquer qu'ils sont les point d'intersection respectivement des droite (AI) et (DB) pour M et de (KC) et (DB) pour N. Par conséquent, les coordonnées des points M et N vérifient l'équation des droites auxquelles ils appartiennent. Il nous faut donc déterminer l'équation des droite (AI), (KC) et (DB).

Détermination de l'équation de la droite (AI):

(AI) est une droite qui passe par le centre du repère (A;AB,AD), par conséquent, son équation est de la forme y=a*x avec a son coefficient directeur.

De plus, I appartient à (AI), donc ses coordonnées vérifient l'équation de (AI)
Par conséquent, 1=a*(1/2) donc a=2

Conclusion, (AI) a pour équation y=2x


Détermination de l'équation de la droite (KC):

(KC) a une équation de la forme y=ax+b et on sait que K et C appartiennent à cette droite donc leur coordonnées vérifient l'équation de la droite.

Par conséquent, on a le système suivant:

1=a*1+b
0=a*(1/2)+b

Ce qui donne b=1-a et 0=a*(1/2)+(1-a)
Donc la deuxième équation nous donne: a=2 et la première équation se déduit et on a: b=-1

Conclusion, (CK) a pour équation y=2x-1


Détermination de l'équation de la droite (BD):

(BD) a une équation de la forme y=ax+b et les coordonnées de B et D vérifient cette équation.

Par conséquent, nous avons le système suivant:

0=a*1+b
1=a*0+b

Donc la deuxième équation, nous donne b=1 et la première découle pour nous donner: a=-1

Conclusion, (BD) a pour équation y=-x+1


Je récapitule (pour qu'on puisse suivre): On cherche les coordonnées des points d'intersection de (AI) et (BD) (le point M) et (CK) et (BD) (pour le point N) et pour cela, nous avions besoin des équations de ces trois droites et nous avons donc mis en évidence leur équation qui sont:

(AI): y=2a
(CK): y=2x-1
(BD): y=-x+1

Maintenant, on va pouvoir conclure sur les coordonnées des points M et N. Commençons par les coordonnées du point M:

On sait que M(x,y) est le point d'intersection des droites (AI) et (BD) par conséquent, ses coordonnées vérifient l'équation de ses deux droites. On a donc le système suivant (où x et y désigne les coordonnées du point M):

y=2x
y=-x+1

On retranche la deuxième ligne à la première et on garde la première ligne ce qui nous donne:

y=2x
0=2x-(-x+1) donc 0=2x+x-1 d'où 0=3x-1

conclusion, le deuxième ligne nous donne x=1/3 et la première, y=2/3

Par conséquent, M(1/3,2/3)


On cherche maintenant les coordonnées (x,y) de N qui est le point d'intersection de (KC) et (DB):

On a donc le système suivant:

y=2x-1
y=-x+1

On soustrait la deuxième ligne à la première et on garde la première, ce qui nous donne:

y=2x-1
0=2x-1-(-x+1) donc 0=2x-1+x-1=3x-2

Conclusion, la deuxième ligne nous donne x=2/3 et la première, y=2*(2/3)-1=4/3-1=1/3

Donc N(2/3;1/3)


Maintenant, nous avons enfin toutes les données pour calculer les coordonnées des vecteurs MK et IN (enfin !!!) Mais tout ce qu'on a fait servira à la question 1)a) donc ce n'était pas peine perdu non plus). Donc allons-y:

MK(1/2-1/3;0-2/3) donc MK(1/6;-2/3)

Et IN(2/3-1/2;1/3-1) donc IN(1/6;-2/3)

Conclusion: MK=IN

Donc INKM est un parallélogramme !!


1)b) Nous avons calculé toutes les coordonnées des points considérés, il ne nous restent plus qu'à faire les calculs donc:

DM(1/3-0;2/3-1) donc DM(1/3;-1/3)

MN(2/3-1/3;1/3-2/3) donc MN(1/3;-1/3)

NB(1-2/3;0-1/3) donc NB(1/3;-1/3)

Conclusion: DM=MN=NB



En fait, tout cette première question nous a fait voir la géométrie sous un aspect qu'on appelle analytique car nous avons posé un repère et nous avons travailler ensuite directement sur des équations et des coordonnées symbolisant numériquement nos droites ou nos points.

Cependant, la géométrie c'est aussi une entité à part entière et par conséquent, on peut résoudre cette exercice aussi par des raisonnement purement géométrique ce que nous demande la question 2) justement. ET nous allons voir que les deux méthodes sont assez différente et que l'une peut s'avérer des fois plus simple que l'autre.

2) On veut donc montrer de façon géométrique que INKM est un parallélogramme. Et ensuite, il faudra montrer l'égalité vectorielle par des considération géométrique donc.

Alors on a: AI=AD+DI par relation de Chasles.

Or ABCD est un parallélogramme, donc AD=BC et DC=AB
De plus, I est le milieu de [DC], donc DI=(1/2)*DC

Donc AI=BC+(1/2)*AB

Or K est le milieu de [AB], donc KB=(1/2)*AB

Conclusion, AI=BC+KB=KC par relation de Chasles

Donc AKCI est un parallèlogramme.
Or M est sur la droite (AI) et N est sur la droite (KC)

Donc en particulier on a: (AM)//(KN) et (MI)//(NC)

On considère le triangle AMB et on a K milieu de [AB] et (AM)//(KN)

Donc d'après le théorème dit de "la droite des milieux":

Si par le côté d'un triangle, je trace la parallèle au deuxième côté,
Alors, elle coupe le troisième côté en son milieu et mesure la moitié de celui-ci

On a donc: KN=(1/2)*AM c'est à dire AM=2*KN (et N est le milieu de [MB])

De même dans le triangle DCN, I est le milieu de [DC] et on a (MI)//(NC)

Donc MI=(1/2)*NC c'est à dire NC=2*MI (et N est le milieu de [DN])

Or AI=KC d'après ce qu'on a montrer au-dessus. et AI=AM+MI et KC=KN+NC

Donc 2*KN+MI=KN+2*MI

D'où 2*KN-KN=2*MI-MI

Conclusion: KN=MI

Donc KNIM est un parallélogramme !!!


Il ne nous reste plus qu'à conclure sur l'égalité vectorielle 1)b) par une méthode géométrique.

D'après ce qu'on a dit avec le théorème de la droite des milieux, on sait que N est le milieu de [MB] et M est le milieu de [DM]

Donc DM=MN car M milieu de [DN] et MN=NB car N milieu de [MN]

Conclusion: DM=MN=NB


Ce qui conclut totalement cette exercice qui utilise vraiment plein de chose très intéressante comme les équations de droite, les résolution de système, le lien entre point d'intersection et résolution de système, comment déterminer une équation de droite, savoir utiliser des égalités vectorielles, rappel sur le théorème de la droite des milieux et caractérisation d'un parallélogramme et d'un milieu par des égalités vectorielles. De quoi faire de bonne révision avec un tel exercice!

Bonne continuation @toutes et tous!