(TERMINALE ES) Exercice sur les limites

Bonjour,
J'ai un exo à rendre vendredi et je suis bloquée sur un exercice.
1.On admet que g(x) = ax² + bx + c / x², ou a, b et c sont trois réels. En calculant la limite de g(x) lorque x tend vers l'infini, montrer que a=1. Pour moi la limite est + l'infini et je pense que pour démontrer il va falloir utiliser une propriété sur le trinome avec delta... ???
2.Je sais que: g(1) = 0 et que g(3) = 0
En déduire un système de deux équations permettant d'obtenir b et c.
Comment faire un système ???
3.Résoudre ce système et exprimer g(x) en remplacant a, b et c par leurs valeurs.
Remplacer je sais faire mais résondre le système c'est une autre affaire...

Merci de votre aide ( le plus vite possible)
Je sais que je m'y prend un peu tard mais j'ai été au courant du site hier.
A plus
Pitchounette

Bonjour Pitchounette et bienvenue parmis nous,

Pour pouvoir t'aider j'aurai besoin de savoir si g(x) = (ax²+bx+c)/x² ou si c'est réellement g(x)= ax² + bx + c/x² ?

Pour plus de précision, est-ce que la fonction g a des propriétés particulières qui serient données par l'énnoncée? C'est à dire savoir si l'exercice te fourni la valeur de la limite de g en l'infini, par exemple.
Vu que le but de la première question est de te faire calculer a en utilisant la limite de g quand x tend vers l'infini, il est donc préférable de savoir à quoi celle-ci est égale.

Enfin, ne t'inquiète pas pour le temps, je pense que nous arriverons à t'aider dans les temps .

Les questions comme tu as dû le remarquer suivent un ordre logique. En effet, on cherche à calculer a puis un système avec b et c pour finir par calculer ceux-ci. Le but étant de déterminer complétement la fonction g à partir de ses propriétés qui sont: sa limite et la valeur en deux points.

Je pense qu'il est donc préférable de faire les questions dans l'ordre. Cependant, vu que la question 1 te donne la valeur de a, tu pourrais sans l'avoir démontrer prendre cette valeur pour a et continuer l'exercice. Mais si nous arrivons à faire les questions dans l'ordre au moins nous reviendrons pas sur la limite après et continuerons sur le système.

En attendant les précisions, je te souhaite bon courage.

Merci pour ta réponse.
Les précisions: l'énoncé est plutot long et muni d'un graphique alors ce n'est pas simple.
g(x) est comprise entre ] 0; plus l'infini[
lim g(x) quand x tend vers 0 = plus l'infini
lim g(x) quand x tend vers plus l'infini= 1
Il y a une asymptote horizontale en y=1
La droite coupe 1 et 3 sur l'axe des abscisses.
g(x) = (ax² + bx + c) / x²

Voila j'ai tout donné !!

a plus

1) il faut calculer la limite en fonction des paramètres (pense aux simplifications, au pire développe le binôme avec 1/x²).

2)en remplaçant X par ces deux valeurs, tu obtiens les équations.

3)On verra quand tu aura le système.

Alors une astuce de calcul pour les limites en plus ou moins l'infinie des fonctions qui sont sous la forme d'une fraction de polynôme:

Il s'agit de faire la limite du quotient des terme de plus au degré au numérateur et au dénominateur.

Je m'explique: si on prend f(x) = (ax^4 + bx + c)/(dx^5+ex²+f)

Alors la limite de f(x) quand x tend vers plus ou moins l'infinie est la limite de (ax^4)/(dx^5) quand x tend vers plus ou moins l'infini. Dans cette exemple celà revient à calculer la limite de a/(dx) quand x tend vers plus ou moins l'infini c'est à dire 0.

Ceci se démontre en fait si dans l'expression de départ tu mets (x^4)/(x^5) en facteur, tu va voir plein de terme qui tendent vers 0 et il va te reste la limite de (ax^4)/(dx^5).


Revenons maintenant à ton exercice: tu as g(x) (ax²+bx+c)/x²

Si on applique la méthode que j'ai citée au-dessous, celà donne quoi comme limite?

Pour la deuxième, Cuicui Masqué te donne la méthode et comme il le dit nous entamerons la résolution du système lorsque que nous aurons le système .

Merci beaucoup. C'est bon je suis débloquée. J'ai eu l'aide de la soeur de Histeri cuicui... lol
Merci encore
A+....vu mon niveau en maths !! lol

De rien Pitchounette,

Par contre si tu veux tu pourras poster les résolutions de ton exercice. Celà te fera une révision et cloturera ce topic .

A bientot avec plaisir et bon courage!

ps: sacré Hysteri CuiCui même absente, elle aide quand même par moyen détourné .

Pitchounette a écrit:

1.On admet que g(x) = ax² + bx + c / x², ou a, b et c sont trois réels. En calculant la limite de g(x) lorque x tend vers l'infini, montrer que a=1. Pour moi la limite est + l'infini et je pense que pour démontrer il va falloir utiliser une propriété sur le trinome avec delta... ???
2.Je sais que: g(1) = 0 et que g(3) = 0
En déduire un système de deux équations permettant d'obtenir b et c.
Comment faire un système ???
3.Résoudre ce système et exprimer g(x) en remplacant a, b et c par leurs valeurs.
Remplacer je sais faire mais résondre le système c'est une autre affaire...

A ceci s'ajoute les données suivantes:

Pitchounette a écrit:

Les précisions: l'énoncé est plutot long et muni d'un graphique alors ce n'est pas simple.
g(x) est comprise entre ] 0; plus l'infini[
lim g(x) quand x tend vers 0 = plus l'infini
lim g(x) quand x tend vers plus l'infini= 1
Il y a une asymptote horizontale en y=1
La droite coupe 1 et 3 sur l'axe des abscisses.
g(x) = (ax² + bx + c) / x²

Puisque notre chère Pitchounette n'a pas eu ou pris le temps de nous donner la résolution de cette exercice et qu'elle a du rendre cette exercice il y a longtemps maintenant, je vais donc en donner la solution pour ne pas laisser cette exercice très intéressant inachevé .

1) Il fallait pour cette question utiliser la limite de g quand x tend vers +∞ pour calculer a. Et nous avions comme donnée que la limite de g quand x tend vers +∞ était égale à 1.

Deux méthodes, ont été proposé pour résoudre cette question:

Soit faire le calcul de la limite avec l'astuce que la limite en +∞ d'une fraction de polynômes est égale au quotient des limites en +∞ des termes de plus haut degré en haut et en bas.

Soit distribuer le (1/x²) dans l'expression de g(x).

Les deux calculs nous amènes à lim(+∞) g(x)= a

Or d'après les hypothèse lim(+∞) g(x) = 1

Donc par unicité de la limite, nous avons bien a=1.

Nous pouvons donc remplacer la valeur que l'on vient de trouver dans l'expression de g(x).


2) Pour cette question, on nous fournis l'image de deux points par la fonction g qui sont g(1)=0 et g(3)=0.

Le but, maintenant que nous avons trouvé la valeur de a, c'est de trouver la valeur de b et de c.
Pour ce faire, nous savons qu'un système de deux équations à deux inconnues en b et c nous donnera les nique valeurs de b et c répondant au problème qui nous ait posé.

On nous demande donc logiquement de déterminer ce système que doivent vérifier b et c. Et pour celà nous avons g(1)=g(3)=0.

Pour celà, vu que nous connaissons l'expression de g(x) qui ne contient plus que b et c comme inconnues, nous pouvons donc calculer l'image de 1 par g et l'image de 3 par g. Sachant quel es deux image sont supposées nulles, nous obtenons donc le système de deux équations suivant:

1 + b + c = 0
9+ 3*b + c =0


3) Maintenant que nous avons un système de deux équations en b et c, nous savons quel a résolution de ce système nous donnera les valeurs de b et c que nous cherchons. Le but étant de pouvoir exprimer totalement g(x).

Pour résoudre une inéquation, il y a deux méthodes:

La plus simple: On isole une des inconnues dans une des deux lignes. Puis on remplace cette inconnue ainsi exprimée dans l'autre ligne. Après, celà revient à de la résolution d'équation à une inconnue.


Autre méthode qui peut s'avérer très utile: (méthode par addition)
Dans chacune des lignes, on isole les inconnues à gauche et les chiffre seul à droite. De plus, on positionne les inconnues pour si on regarde le système en colonne on puisse voir la même inconnue l'une en-dessous de l'autre.
A partir de là, le but est de pouvoir annuler l'une des deux inconnues en faisant l'addition des deux lignes.
Pour celà, il faut trouver le coefficient par lequel on doit multiplier l'un de ligne pour que lorsque nous effectuerons l'addition des deux ligne, il y ait annulation d'un des deux inconnues.
Il ne reste plus qu'à résoudre cette nouvelle ligne ainsi formée qui sera une équation à une inconnue. Et enfin, il faudra remplacer la valeur trouver dans une des deux lignes de départ pour trouver l'autre inconnues.

Chacun ayant ses préférences, les deux méthodes ont leurs avantages et leurs inconvénients. Je vous laisse donc choisir celle que vous préférez pour ce système.


Dans tous les cas la solution au système nous donne: b=-4 et c=3

Pour la conclusion, il ne reste plus qu'à remplacer les valeurs ainsi trouvées dans l'expression de g(x).

Ce qui nous fait donc: g(x) = [x² -4*x + 3]/x²


Pour savoir si nous nous sommes pas trompé, vous pouvez vérifier les hypothèse que vous donne l'énoncer de l'exercice:

g(1)=g(3)=0 celà est vrai donc la réponse est cohérente avec cette hypothèse là. Et de plus celà est cohérent avec le fait que la représentation de g coupe l'axe des abscisse en 1 et 3.

lim(+∞) g(x) = 1 car a=1. Ceci qui est cohérent avec l'hypothèse ainsi qu'avec la présence d'une asymptote en y=1.

lim(0) g(x) = +∞ ceci est vrai car c=3>0. En effet, lim(0) c/x² = +∞ si et seulement si c > 0 car x²>0 quelque soit x dans R. Sinon, si c<0, lim (0) c/x²= -∞.

Avec ces vérifications simples, nous pouvons voir si notre solution est cohérente avec le sujet ou pas du tout.

C'est l'avantage des exercice avec graphiques, vous pouvez vérifier vos résultats. Profitez-en surtout!!!

Vous aurez remarqué que je ne détaille pas les calculs pour la simple et bonne raison que c'est en faisant des calculs qu'on apprend à en faire . Je vous laisse donc le soin de faire les calculs par vous-même, celà est un bon entraînement aussi.

En espérant avoir été le plus clair possible dans la résolution de cette exercices et sur les point de cours qu'on retrouve dans celui-ci. N'hésitez surtout pas à poser vos questions si un passage n'est pas clair ou si vous n'avez pas compris un enchaînement ou d'autres questions. Vos questions peuvent vous servir bien entendu mais aussi à d'autres qui se posaient la même question.

Bon courage à toutes et tous!