terminale S nombre complexes

déterminer l'ensemble E des points M d'affixes z tels que :
|z+3i|=2
je ne voie pas par ou commencé je sais que c simple mais c le "Z" QUI ME GENE

Bonsoir,

Ce qui est simple est dès fois compliquer à voir car trop simple justement. On a tellement l'habitude de dire que les mathématiques sont compliquées qu'on en oublie en effet de chercher à regarder les choses simples.

Alors essayons déjà de considère quelque petit chose dans R avant de passer dans C (aprsè tout, les analogies existent donc autant en profiter):

1)Je prend un point A et un réel 2. Quel est l'ensemble des points M du plan vérifiant: AM=2?

2)Maintenant, essayons de comprendre les choses en profondeur. Je considère un repère ortohnormée (O,i,j), le point A(1,2) et toujours le réel 2. Donner l'équation de l'ensemble des ponit M(x,y) du plan vérifiant AM=2.

A partir de ces deux réflexions là, on pourra peut-être mieux comprendre les choses pour le cas complexes.

Bon courage!

heu... oui mais non sa m'énerve je suis un vrai nul en maths

Je ne connais pas encore de personne nul en mathsp our ma part (ce forum a plus de deux ans, je précise tout de même ).

Je reste sur le cas réel, car si celui-ci ne passe pas, il en sert à rien de regarder l'exercice sur les complexes car justement tu n'auras pas d'idée de la démarche.

Alors essayons de comprendre la démarche. J'ai fixé un point A sur une feuille. Et je cherche tous les points du plan tel que la distance AM soit égale à 2. C'est à dire que je cherche des point M tel que leur distance au point A soient égale à 2.

Est-ce que tu arrives à visualiser qu'est-ce que cela représente? Il faut faire des dessins en fixant le point A et chercher en tatonnant les points M qui peuvent bien vérifier cela. C'est très visuel ici, donc autant en profiter pour bien visualiser les choses directement sur une feuille.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes quesstions en tout cas!

c'est un cercle de centre A et de rayon MA= 2cm

Nickel !!

C'est la définition d'un cercle en fait. En effet, Un cercle c'est l'ensemble des ponit équidistant d'un unique autre point appelé centre. Donc ici, il s'agit d'un cercle de centre A et de rayon 2.

Maintennat, connais-tu l'équation du cercle de centre A(1,2) et de rayon 2? Garde la forme factorisée pour qu'on puisse lire dessus les caractéristiques du cercle justement.

Après, tu verras peut-être un lien entre ce qu'on fait dans le réel et ce qu'on a en complexe justement.

Bon courage!

(x-A)²+(Y-B)²=R² est ce bien cela et quel est le lien avec les complexe

PS/ je vais mangé je re apres alors pas de souci pour mon inactivité merci encore de m'aider ds ma galere ^^

Alors c'est bien l'équation d'un cercle en effet mais à quoi correspond A, B et R dans le cas réel toujours?

Le lien avec les complexe va finir par se voir d'ici peut de temps .

Bon courage!

R c'est le rayon A et B les coordonnée je ne voit pas le lien :/
si tu le permait je doit rendre cet exercice vendredi apres midi est-ce que tu pourrai m'aider jusqu'a ce jour, meme si ns somme un peu en train de tourné sur le pot mais je comprend de mieux en mieux sa fait toujours plaisir de voir qu'on peut compter sur quelqu'un

Alors en effet, R est le rayon donc sur l'exemple ça serait donc 2 et A et B sont les coordonnées du centre c'est dire A(1,2) sur l'exemple.

Ainsi, nous avons la chose suivante:

M(x,y) appartient au cercle de centre A(1,2) et de rayon 2 si et seulement si (x-1)² + (y-2)² = 2²

Maintenant, essayons de comprendre cette formule un peu car la comprendre sera sans doute le déclic pour la suite. Sais-tu comment on obtient l'équation du cercle justement? Car c'est là que réside toute l'idée pour bien comprendrela démarche qu'on va utiliser en complexe.

Bon courage!

on cherche X et Y

Et non justement !

C'est la démarche à ne pas faire. On cherche seulement un lien entre x et y et non pas les valeurs de ceux-ci. Pourquoi? Car le but est de trouver tous les points d'un coup et non les point un par un.

En conséquent, pour trouver l'équation de quelque chose, on garde x et y quelconque et on ne cherche pas ces valeurs là. Ce sont juste des éléments qui permette de mettre en évidence le lien qui va relier l'abscisse d'un point du cercle à son ordonnée.

En fait, il faut essayer d'être méthodique et de se mettre dans un état d'esprit de recherche. En effet, tu sais que c'est un cercle car tu as réussi à le déduire par le dessin. Et en plus de ça, tu as del a chance car tu connaîs l'équation d'un cercle par coeur et tu peux donc déduire l'équation de notre cercle directement.

Le soucis? Et bien tu as loupé le raisonnement te menant à l'équation et c'est le soucis majeur pour comprendre les choses ici. Le par coeur à du bon mais ne l'occurence, là, il te fait défaut car tu connais trop de chose .

Alors, nous cherchions l'équation de l'ensemble des point M(x,y) tel que pour un point A(1,2), on ait: AM=2. Sachant que les distances sont toujours positive, je peut dire que c'est équivalent à chercher les points M(x,y) tels que AM²=2².

Maintenant, est-ce que tu ne vois pas un moyen de retrouver l'équation de notre cercle?

Bon courage!

le centre sur le plan orthonormé est le point M(A,B) A et B de l'équation
on sait que AM=2 ,AM²=2² ok mais je ne voit pas ou sa nous emmene
je te laisse je vais me coucher on reprend ça demain si tu sera la en tout cas merci
même si je stress un peu car on a pas toujour répondu a la 1 er question mais sans souci !!

En fait, le but n'est pas de répondre ou non à la première question mais de comprendre comment on doit y répondre.

J'aurai pu en effet directement te dire que si tu te souviens bien le module d'un complexe est en fait une distance et que la différence entre deux nombres complexes nous donne la différence de deux affixes de deux points dont l'un est fixe et que par conséquent, on peut conclure. Mais franchement, quel intérêt pour toi sur le long terme? C'est à dire quel intérêt tu vas tirer si je te décortique la réflexion alors même qu'elle est majeur dans la réflexion sur les complexes et leur rapport à la géométrie? D'accord, la réponse va être juste mais en quoi cela va te permettre de mieux comprendre les choses et ainsi de pouvoir toi-même voir les démarches et les raisonnements sous jasent à cette exercice.

Ma méthode est je l'avoue volontiers peu orthodoxe voire même déroutante mais mon unique but est que tu puisses te dire "j'ai compris la démarche menant au résultat" et non pas "j'ai trouver la solution à mon exercice". Car le but est que tu comprennes les démarches et les raisonnements menant au résultat et non les résultat eux-mêmes car eux changeront d'un exercice à l'autre alors que les raisonnements et les démarches scientifiques, eux restent et te servirons même en physique et en biologie en fait.

Ici, l'idée c'est de se dire qu'on ne comprend pas les choses en complexe. Et bien soit essayons de revenir à ce qu'on comprend mieux c'est à dire la manipulation des nombres réels. Ainsi, il faut essayer de ce souvenir des différents lieux géométriques que tu as vu durant ton cursus et il y en a pas beaucoup en fait et le plus difficile à cerné c'est le cercle justement (les différentes droites étant plus simple à voir et à écrire car on connaît les équations des droites et on sait même comment les retrouver alors que pour le cercle, on ne travaille pas souvent avec et du coup c'est déstabilisant).

Alors de ce point de vue là, je me dis tiens comment faire pour qu'il comprenne des choses tout en lui donnant pas la moindre indication surl 'exercice dans un premier temps et ainsi s'axer totalement sur la démarche et la réflexion sous jasent. Et bien, me voilà avec un point fixe A(a,b) et un réel R et je cherche à comprendre ce qu'est l 'ensemble des point M(x,y) tel que AM=R.

Après réflexion, on a vu en fait que c'était la définition d'un cercle de centre A(a,b) et de rayon R. En effet, il s'agit des point M qui sont toujours à la même distance de A et cette distance est R ce qui nous amène bien la définition d'un cercle.

Maintenant, je me dis qu'il y a deux moyens de faire le lien avec les équations car rappelons-nous de l'exercice, on te donne une équation qui dépend de z et à partir de là, on te demande de revenir à une considération géométrique pour trouver les points M. alors les deux moyens c'est de se dire que je vais jouer sur ta mémoire dans un premier temps et te demander l'équation d'un cercle de centre A(a,b) et de rayon R et là tu me dis tout de suite quel 'équation du cercle c'est:

(x-a)² + (y-b)² = R²

Ce qui est excellent!! Maintenant, il nous manque le lien très important qu'il y a entre la définition de départ c'est à dire l'ensemble des ponits M tel que AM=R et l'équation du cercle qui est (x-a)² + (y-b)²=R²

Et c'est ce lien là qu'il faut bien comprendre et qui est à la base de la recherche d'ensemble de point car c'est savoir passer d'une expression via les coordonnées à une expression géométrique c'est à dire sur les point du plan.

Ici nous avons donc le point A de coordonnées (a,b) et le point M de coordonnée (x,y). a et b sont fixé et on cherche donc le lien qui relie l'abscisse x à l'ordonnée y sachant que AM=R c'est équivalent à dire que AM²=R² (car AM est une distance donc toujours positive).

Donc l'ultime question pour en terminer avec la réflexion sur les réels, c'est comment exprimes-tu la distance AM² en fonction des coordonnées de A et de M. Et la réponse à celà, devrait te redonner l'équation du cercle si tout se passe bien (c'est presque le moment magique des mathématiques lorsqu'on fait le lien entre l'espace géométrique et l'aspect analytique justement ).

Ensuite pour revenir au complexe, essaie de comprendre le lien entre les deux. C'est à dire est-ce qu'on ne calculerait pas par hasard une distance entre deux points dans notre exercice et si oui laquelle?

Bon courage!

pour calculer la distance de AM il faut soustraire les coordonné de M avec A
ainsi x-a
y-b
AM²=(x-a)²+(y-b)² ce qui nous ramene a l équation du cercle ainsi on paut dire que AM²=2²
est ce bon?

juste une étincelle lol |z-3i|=2
l'ensemble des point est le cercle de centre A(z,3) de rayon 2
est une étincelle bonne :$

Bonjour,

Nickel pour le calcul de distance!! Ça se démontre en utilisant le théorème de Pythagore d'ailleurs car la distance AM est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côté de l'angle droit sont de longueur la différence des abscisses pour l'un et pour l'autre c'est la différence des ordonnées en effet.

Alors maintenant, il y a presque eu une étincelle mais hélas s'était un pétard mouillé, il n'a pas encore pété le bougre. Mais bon, essayons de rester logique dans la démarche.

Dans notre expression complexe, il s'agit d'une différence de deux complexes dont on prend le module. Cela ressemble en effet étrangement au cas réel sauf que là il y a des affixes et non plus des abscisses et des ordonnées. Essayons donc de comprendre les chose petit à petit.

Nous sommes donc revenu à notre exercice de départ maintenant. Tout d'abord essayons de comprendre ce que tu as écrit. Tu me dit qu'il s'agit d'un cercle de centre A(z,3) et de rayon 2. Or qu'est-ce que cela signifie A de coordonnées (z,3) dans le plan complexe? (Sachant en plus que z est un complexe d'ailleurs). Est-ce logique d'avoir deux coordonnées dans le plan complexe?

A partir de là, essayons de revenir à notre exercice en suivant notre démarche qu'on a utilisé sur les réels. En effet, à quoi correspond le module de manière géométrique en complexe? Et à quoi correspond l'affixe Z=z-3i d'un point de vu géométrique aussi (vecteur par exemple)?

Il faut d'abord essayer de se remettre dans des conditions de travail acceptable. C'est à dire qu'on cherche l'ensemble des z tel |z-3i|=2. Mais nous savons que ce qu'on va trouver est un ensemble qui se décrit géométriquement (cercle, droite, plan, ...). Donc essayons déjà de se ramener à des considération sur des point du plan complexe. Pour cela, intuitivement, ce qu'on cherche c'est l'ensemble des point M d'affixe ?? qui vérifie une propriété.

Je te laisse réfléchir au vu de ceci mais n'hésite pas à poser tes questions si c'est vraiment pas clair ce que je raconte. Le but est vraiment de se ramener à une démarche qu'on a utiliser dans les réels c'est à dire qu'on avait des points avec des coordonnées et on en a déduit des équation et bien là c'est l 'inverse on a une équation et on aimerait en déduire des choses sur des points et pour cela, il faut attribuer des affixe au point en question (et non des coordonnées car nous ne sommes plus sur les réels) pour pouvoir travailler géométriquement.

Bon courage!

sa bourdonne un peu dans ma tête mais je n'arrive pas remmettre en place es idées!
on nous demande de trouvez l'ensemble M????
| z+3i |=2

soit A le point d'affixe a= - 3i
alors | z+3i |= 2 équivaut à | z- a |=2 c'est-à dire MA=2
l'ensemble des points cherchés est le cercle de centre A et de rayon 2

Citation :

on nous demande de trouvez l'ensemble M????

C'est en effet l'ensemble des point M d'affixe z qu'il faut trouver avec z qui vérifie |z+3i|=2.

Le plus difficile est de mettre en forme les choses. A partir du moment où tu te dis que le z de ton expression c'est en fait l'affixe d'un point M dans le plan, tu changes donc d'état d'esprit pour raisonnemer.

En effet, raisonner sur des ponit est plus visuel que de raisonner sur des affixes mais il faut savoir fair le lien qui les relie pour pouvoir passer d'un des ponit de vue à un autre tout simplement. raisonner sru des point s'appelle un point de vue géométrique et raisonner sur des affixe (ou des coordonnées en règle générale) s'appelle un point de vue analytique (on passe par l'analyse).

Ainsi, la démarche tombe d'elle-même:

Citation :

soit A le point d'affixe a= - 3i
alors | z+3i |= 2 équivaut à | z- a |=2 c'est-à dire MA=2

Par habitude, il faut mieux metre les lettre dans l'ordre de l'écriture analytique. En effet, le vecteur AM à pour affixe z-a. Donc on préférera écrire AM=|z-a| pour garder le sens habituel de calcul tout simplement. C'est du détail cela mais ça permet de ne pas se tromper lorsqu'on fait les choses en partant de l'aspect géométique part exemple (car là, il faut mieux faire les calculs dans le bon ordre ).

En tout cas ceci:

Citation :

l'ensemble des points cherchés est le cercle de centre A et de rayon 2

Conclut brilamment l'exercice. N'hésite pas si tu as des questions annexe sur le sujet car ce n'est pas simple comme démarche lorsqu'on a pas l'habitude de la faire mais elle est très utiliser en complexe car un module c'est une distance et un argument c'est un angle. Et par conséquent, il faut mieux savoir jongler avec les deux points de vue pour pouvoir bien comprendre les démarches des exercices.

Bon courage pour la suite!

il suffit ce que j'ai mit pour la réponse a ma question ?!
oui je suis en trin de travaillé dessus dans le sujet depuis 2 jour

Ce que tu as marqué suffit du moment que tu précise que z est bien l'affixe du point M qu'on cherche et puis c'est nickel!

L'exercice n'est pas dure dans la rédaction de sa solution (en gros 4 lignes) mais la difficulté réside surtout dans la démarche pour arriver à cette solution. Et c'est cela le plus compliqué car il faut savoir prendre du recule par rapport à une équation pour en extraire des considération géométrique ce qui est pas si simple en fait. L'inverse est plus naturel c'est à dire passer d'une considération géométrique à des équations car on connaît des formules ou des définitions qui nous permette d'avance. Alors que le passage de l'analytique au géométrique, il faut réussir à ne plus voir des équations mais voir des points, des distances ou des angles et là c'est vraiment moins naturel en fait.

Bon courage!

OK MERCI
maintenant voila une autre chose ^^
je doit encore déterminé l'ensemble des point M
sur |2iz+1+i|=4 je pense a vu d'oeil que se sera pareil un cercle?une droite?

Alors à vu d'une c'est l'un ou l'autre sans doute en effet. En fait, il y a d'autre possibilité mais que tu n'a pas encore vue même si en physique, il y a des trajectoire elliptique par exemple et bien cela pourrais être aussi une ellipse mais tu n'as pas vu ça définition donc oublionscela c'est culturelle plsu qu'autre chose.

Donc maintenant, d'après toi ça sera plus une droite ou un cercle? Si c'est une droite, il va falloire passer en écriture algébrique z=x+i*y pour faire apparaître le coefficient directeur et si c'est une cercle c'est aussi un moyen de retrouver l'équation dans le plan réel (j'en est pas parlé tout à l'heure mais dans l'autre équation, tu peux regarder en posant z=x+i*y tu vas retrouver l'équation d'un cercle dans R bien entendu avec pour équation (x-0)² + (y-3)² = 2² car le centre à pour affixe a=0+i*(-3), c'est un bon moyen d'avoir un autre moyen de retrouver l'équation d'un cercle par exemple mais il faut penser à revenir en affixep our conclure c'est la dificulté de cette méthode pour les cercles).

Alors d'après toi, au premier coup d'oeil s'agit-il d'un cerlce ou d'une droite? Qu'est-ce qui t'embête pour conclure?

Bon courage!

je dirai une droite comme on a deja fait un cercle
mais je ne conprend pas du tout ton raisonnement

Manque de chance ce n'est pas une droite. Va falloir améliorer ton intuition . C'est un cercle mais essayons de comprendre pourquoi maintenant.

Essayons de se ramener à ce que nous savons faire c'està dire une équation du type |z-a|=b. Est-ce que cela ne serait pas possible par hasard?

Bon courage!