[Ts] Nombre complexe

Bonjour,

Voila bien longtemps que je ne suis pas venu ici et je m'en excuse. C'est fou quand le temps est précieux en Terminale S.

C'est les vacances de Noël et pourtant j'ai un sympathique Dm pour la rentré. De quoi ne pas m'ennuyer en d'autres mots. Je l'ai commencé et en ce qui concerne le début, je pense l'avoir réussi mais c'est à partir d'un point, je ne vois pas comment faire... Merci pour votre aide!

Sujet :

Citation :

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal. On considère la transformation ponctuelle f qui, a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z définie par : z' = z² + 1

1. Déterminer les antécédents de point O.

2. Existe-t-il des points variants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.

3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ?

4. Soit A le point d'affixe Z_A=√2/2 * (1+i). Déterminer l'affixe du point A' image de A par f puis prouver que les points O, A et A' sont alignés.

5. Soit θ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0;2π[ et N le point d'affixe e^iθ.

a) Montrer que N appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1.
b) Lorsque θ varie, montrer que N', image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
c) Vérifier que : ON'=2*cosθ*ON. En déduire que lespoints O, N et N' sont alignés.
d) Expliquer la construction du point N'.

θ <=> Téta

Voila ce que j'ai fais pour le moment :

1) O à pour affixe 0.

z'=0
z²+1=0

Δ = -4

Z₁ = -i
Z₂ = i

Les antécédents de O sont i et -i.

Je ne suis pas sur.

2) z' = z² + 1
z = z² + 1
0 = z² - z + 1

Δ = -3

Z1 = (1-i√3)/2
Z2 = (1+i√3)/2

Je ne suis pas sur de la méthode. :/

3) Je nome :
Zr = -x
Zf = x

Zr' = (-x)²+1 = x²+1
Zf' = x² + 1

Donc Za' = Zf' ce qui signifie que deux points symletriques par rapport à O ont la même image.

Je nomme :
Zg = iy
Zh = -iy

Zg' = (iy)² + 1 = -y² + 1
Zh' = (-iy)² + 1 = y² + 1

Donc les images de deux points symétriques par rapport à l'axe des abcisses sont symétriques par rapport au point O.

Est ce la bonne méthode ?

4) Z_A' = ((Racine(2)/2)*(1 + i))² + 1 = i + 1

(Z_A'-Z_O)/(Z_A-Z_O) = 2/√2 = Réel

Donc O, A et A' sont alignés.

5) a) e^iθ = (Cosθ + isinθ)

<=> Module (Cosθ + isinθ)

Ainsi le module de e^iθ = 1 donc N appartient à Cx de centre O et de rayon 1.

Je suis conscient que je n'ai que prouvé que le rayon de 1 et non le centre O. Mais je ne vois pas comment faire...

Pour la suite, je bloque complètement et pour ce qui est de ce que j'ai mis précédemment, je ne suis pas sur du tout mais alors pas du tout.

Merci de votre aide!

Bonjour Nicolas!

Cela fait longtemps en effet mais cela prouve aussi que tu n's plus eu besoin de moi durant ce temps là ce qui est plutôt une bonne chose ne soi, tu ne crois pas?

Pour la première question, tu aurais pu y aller comme une brute en effet:

z²+1=0
<=> z²-i²=0
<=> (z-i)*(z+i)=0
<=> z=i ou z=-i

Mais ta méthode est tout ce qu'il y a de plus juste en effet.

Pour la 2), la méthode est juste mais la rédaction est un peut bancale par contre. La réponse est juste, j'y reviendrai

Pour la 3), par contre, il y a une confusion entre symétrique centrale par rapport à O et symétrie axiale par rapport à l'axe des iméginaires purs.
Le symétrique de z par rapport à O est -z^(bar). Le "-" te donnel e symétrique par rapport à l'axe des imaginaires purs et la conjugaison te donne la symétrie par rapport à l'axe des réels.

Je te laisse reprendre donc ta démarche.

Bon courage!

Bonjour et joyeux noël un peu en retard...

J'ai un peu retravaillé ce que j'avais fais précédement :

1) O à pour affixe 0. Ces antécédents sont donc les solutions de l'équation z=0 soit z²+1=0.
Δ = -4

Z1 = -i
Z2 = i

Les antécédents de O sont donc i et -i.

2) Les points invariants sont les points qui vérifie z=z'

Soit z' = z² + 1
z = z² + 1
0 = z² - z + 1

Δ = -3

Z1 = (1-i√3)/2
Z2 = (1+i√3)/2

Il existe donc deux points invariants (1-i√3)/2 et (1+i√3)/2.

3) On note L d'affixe -x-iy et F d'affixe x+iy, deux points symétriques par rapport au point O.

Zl' = (-x-iy)²+1 = (-(x+iy))²+1 = x²+2xyi-y²+1
Zf' = (x+iy)²+1 = x²+2xyi-y²+1 = Zl'

Donc deux points symétriques par rapport à O ont bien la même image.

On note D d'affixe x+iy et S d'affixe x-iy, deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Zd' = Zd²+1 = (2xyi-y²)+x²+1
Zs' = Zs²+1 = -(2xyi-y²)+x²+1

Par contre là... Je ne vois pas quoi conclure.

4) ZA' = ((Racine(2)/2)*(1 + i))² + 1 = i +1

(ZA'-ZO)/(ZA-ZO) = 2/√2 = Réel

Donc O, A et A' sont alignés.

Bonjour,

J'espère que noël c'est bien passé pour toi aussi et qu'on t'a offert plein de livres de maths de bonnes choses .

Les deux premières questions sont toujours justes et la rédaction pour la 2) est tout de même un peut plus claire et lisible (peut-être que le 'Soit' au début est plutôt un 'Or z'= ...' donc ...).

Pour la 3), j'avais écrit une absurdité dans mon dernier message mais tu as bien rectifié. En effet, le symétrique par rapport à O d'un point d'affixe z est un point d'affixe -z.

Je vais faire un rappel pour que ce soit plus clair (car je ne l'ai pas été pour le coup):

Soit M(z) dans le plan complexe.
- Son symétrique par rapport à l'axe des réels est le point M'(z^(bar)).
- Son symétrique par rapport à O est le point M''(-z)
-Son symétrique par rapport à l'axe des imaginaires pures n'est autre que le symétrique de M'' par rapport à l'axe des réels c'est à dire M'''(-z^(bar)) (car [-z]^(bar)=(-1)^(bar)*z^(bar)=(-1)*z^(bar)=-[z^(bar)]).

Donc pour la première partie de la question 3), il faut comparé l'image d'un point M(z) et d'un point M''(-z). ET on constate sans passé par l'expression z=x+iy que:

z'_M''=(-z)²+1=z²+1=z'_M

Maintenant, pour les image de M(z) et de M'(z^(bar)), il faut savoir ce qu'on peut dire dessus. Par conséquent, vu comment est posée la question, il ne doit pas avoir égalité entre les deux images. Il faut donc regarder s'il y a une propriété entre les deux images.
Sachant que les propriétés qu'on peut avoir intuitivement ce sont les symétries. La question pourrait donc être:

"Y a-t-il conservation de la propriété de symétrie lorsqu'on prend l'image d'un point et de son symétrique par rapport à l'axe des réels? " C'est à dire Les deux images sont-elles encore symétrique par rapport à l'axe des réels?

Je te laisse reprendre tes calculs mais je te conseille d'essayer de travailler directement avec z et z^(bar) en utilisant les propriétés de conjugaison sans pour autant repasser à l'expression algébrique d'un complexe. Enfin, après si tu n'arrives pas à voir les propriétés directement, rien ne t'empêche de revenir à l'expression algébrique mais c'est plutôt le dernier recours que le premier .

La question 4) est juste. D'ailleurs, pourquoi le fait que le quotient soit réel nous donne la condition d'alignement des trois points? Il faut mieux toujours se souvenirs des étapes intermédiaires des démarches ça évite d'augmenter les choses à retenir par coeurs car bon si on devait tout retenir, il faudrait un processeurs énorme . Alors que retenir les méthodes et les petites étapes clés, c'est beaucoup plus simple et surtout utilisable en état de stresse par exemple.

Pour la question 5), montrer que le |e^iθ|=1 j'affirme que cela montre que N appartient au cercle de centre O et de rayon 1. Alors pour s'en convaincre que représente |e^iθ| en terme de distance dans le plan complexe?

Il faut bien avoir en tête qu'un argument d'un nombre complexe est un angle et qu'un module est une distance. C'est la première chose à bien comprendre et à bloquer à chaque fois qu'on manipule des complexes. Il faut donc savoir passer de l'aspect algébrique à l'aspect géométrique de façon quasi automatique. Je te laisse donc reprendre ceci.

Bon courage!

J'ai pris note.

3) On note deux points, M(z) et M''(-z) symétriques par rapport au point O.

Z'M'' = (-Z)² + 1 = Z² + 1= Z'M

Donc deux points symétriques par rapport à O ont bien la même image.

On note deux points, M(z) et M'''(z[bar]) symétriques par rapport a l'axe des réels.

Z'M''' = (Z[bar])² + 1

Z'M = Z² + 1

Personnellement, je pense que les images ne seront pas symétrique à l'axe des réels mais à une courbe qui est x+1, non ? Enfin, c'est juste une intuition...

4) Le fait que le quotient soit réel et ainsi nous informe que les poins sont alignés est dû au fait que les vecteurs OA et OA' soit colinéaires, non ?

5) |eiθ| représente le vecteur U du plan complexe, non ? Soit le rayon du cercle trigo' qui lui est associé... ?

Bonjour,

La première partie de la question 3) est toujours juste (elle l'était déjà de toute façon doncp ourquoi la nuit aurait changer quelque chose après tout ).

Pourl a deuxième partie, ton intuition est erronée. En effet, que peut-on dire de [z²]^(bar) en fonction de z^(bar)?

Enfin, rappel:

le conjugué d'une addition est égale à l'addition des conjugués

Conclure pour la deuxième partie.

Pour la question 4), la justification est exact. Les affixes des vecteurs diffèrent d'une constante k qui est réel et par conséquent, ils sont bien colinéaires.

Pour la 5) par contre, il y a une confusion. Alors prenons un exemple tout simple:

Je considère le plan complexe centré en O.
i)Soit M(z), exprimer Om en fonction de z
ii) inversement, Soit M'(a) que représente |a| en terme de longueur?

Faire le lien avec la question 5).

Bon courage!

Je suis désolé mais je ne vois vraiment pas ce qu'il faut voir pour la question 3...

Sinon :

i)Soit M(z), exprimer Om en fonction de z

OM = |z|

ii) inversement, Soit M'(a) que représente |a| en terme de longueur?

|a| = OM'

Donc pour la question 5 :

|eiθ| = 1 = ON

N appartient donc au cercle de centre (X) de centre O et de rayon 1.

C'est cela ?

Bonsoir,

En effet pour la question 5), le module de l'affixe de N nous donne directement la distance ON. En conséquence, on a directement le fait que le point N est à une distance 1 de O et donc sur le cercle comme demandé tout simplement.

Pour la question 3), que vaut Z'_M^(bar)?

Bon courage pour la suite!

Z'(bar) = (Z(bar))² + 1

Encore une fois, je ne vois pas ce qu'il faut voir... xD

Bonjour,

Tu viens de trouver que z'_M^(bar)=[z^(bar)]²+1 ce qui est juste. Mais que vaut z'_M" d'après ce qu'on a déjà fait?

Quel lien géométrique, a-t-il entre z'_M et z'_M"?

Bon courage!

Bonjour !

Il serait temps que je m'y remette !

Alors donc pour le 3)a) je pense avoir trouvé.

3) On note deux points, M(z) et M''(-z) symétriques par rapport au point O.

Z'M'' = (-Z)² + 1 = Z² + 1= Z'M

Donc deux points symétriques par rapport à O ont bien la même image.

On note deux points, M(z) et M'''(z[bar]) symétriques par rapport a l'axe des réels.

Z'M''' = (Z[bar])² + 1

Z'M = Z² + 1

Cette fois ci, je pense que leurs images est elle symetriques par rapport à l'axe des abscisses, non ?

Bonjour,

C'est tout à fait ça!

On a le fait que Z'_M''=Z'_M^(bar). Par conséquent, il y a bien symétrie par rapport à l'axe des réel aussi.

Notre relation conserve donc la symétrie autour de l'axe des abscisses.

Bon courage pour la suite!

Citation :

b) Lorsque θ varie, montrer que N', image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
c) Vérifier que : ON'=2*cosθ*ON. En déduire que les points O, N et N' sont alignés.
d) Expliquer la construction du point N'.

Ben en fait... Je suis bloqué pour la suite! ^^

Enfin, la d) je je pense pouvoir la reussir. Et Pour la conclusion du C, et bien, c'est dû au fait que ON' = kON donc qu'ils sont colineaires. Mais par contre vérifier que ON'=2*cosθ*ON, je ne vois pas comment faire. De même pour la question b!

Merci pour votre aide

Bonsoir,

La première chose à faire serait peut-être de connaître l'affixe de N' et savoir sa forme exponentielle (si on peut) en fonction de θ justement.

rien que cela devrait sans aucun doute débloquer la situation car il est bien plus facile de pouvoir manipuler des choses qu'on a en main .

Nous verrons les autres questions pas la suite.

Bon courage!