Exercice complexe

Salut !
Voici enfin le dernier exercice de la série et, celui-ci est le plus compliqué je pense. J’aurais donc besoin d’un coup de pouce ici.

Voici l’énoncé :


1. On se donne les points A(2 ;1) , B(5 ;-1) et C(3 ;4), et ceci dans un repère orthonormé.
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (ABC).

2. On se donne un rectangle ABCD avec AB = 12 et BC = 5.
M est le milieu de [BC] et P est le milieu de [CD].
a. Déterminer à 0.01° près l’angle de vecteurs (AM ; AP).
(On utilisera pas les triangles PDA et BAM pour des calculs d’angles).
b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
Les segments [AQ] et [QM] sont-ils perpendiculaires ?

3. Dans un repère orthonormé on donne A(-2 ; 5) et B(3 ; 0).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite d’équation x – y +5 = 0.


Et voici mes résultats :

1. On sait que l’orthocentre d’un triangle st le point d’intersection de ses 3 hauteurs.
J’ai fait la figure mais, ne vois pas comment déterminer ses coordonnées. Je pense qu’il faut utiliser les complexes avec les affixes et autres mais, je ne vois pas par où commencer …

2.a. Soit un repère orthonormé d’origine A :
On a :
z_A = 0 ; z_B = 12 ; z_C = 12 – 5i ; z_D = -5i

--> M est le milieu de [BC] :
z_M = (z_B + z_C) / 2 = (12 + 12 -5i) / 2 = (24 – 5i) / 2 = 12 – (5/2)i.

--> P est le milieu de [DC] :
z_P = (z_D + z_C) / 2 = (-5i + 12 – 5i) / 2 = (12 – 10i) / 2 = 6 – 5i.

Je cherche (AM ; AP) :

AM = z_M – z_A = 12 – 5i.
AP = z_P – z_A = 6 -5i.

Donc :
(AM,AP) = Arg(z_M – z_A / z_P – z_A)
= Arg[(12 – 5i) / (6 -5i)] = Arg(12-5i) – Arg(6-5i).

Avec :

r = Racine[(12)² + (-5)²] = Racine[169] = 13.
cos(Alpha) = x/r = 12/13
sin(Alpha) = y/r = -5/13
--> Alpha = -0.395 ad.

ET

r = Racine[6² + (-5)²] = Racine[36 + 25] = Racine(61)
cos(Bêta) = x/r = 6/Racine(61)
sin(Bêta) = y/r = -5/Racine(61)
Bêta = -0.695 rad.

Donc :
(AM ; AP) = -0,395 – (-0,695) = 0.3 rad mais, en degrés….


b. Q(1 ; -5) --> z_Q = 1 – 5i
Je calcule (AQ ; QM) : si cela fait –Pi/2 alors, [AQ] et [QM] seront perpendiculaires :

(AQ ; QM) = Arg[(z_Q – z_A) / (z_M – z_Q)]
= Arg[(1 – 5i) / (12 – (5/2)i – 1 + 5i)] = Arg[(1 – 5i) / (11 – (5/2)i)]
= Arg(1 - 5i) - Arg(11 – (5/2)i)

Avec :

r = Racine[1² + (-5)²] = Racine(26)
cos(Alpha) = x/r = 1/Raine(26)
sin(Alpha) = y/r = -5/Racine(26)
 Alpha = -78,69°

ET

r = Racine[(11)² + (-5/2)²] = Racine[509 / 4]
cos(Bêta) = x/r = 11/Racine(509/4)
sin(Bêta) = y/r = -(5/2)/Racine(509/4)
Bêta = -12,8°
Donc :

(AQ ; QM) = -78,69 – (-12,8) différent de 90°…

A partir de là je bloque… J’aurais donc besoin d’un coup de main ici svp.
Merci d’avance !

Bonjour!

Alors essayons d'être méthodique le plus possible et de trouver nos marques dans chaque question.

Ton analyse est bonne pour la première question, "l'orthocentre est l'intersection de trois droites (les hauteurs)". Nous sommes dans un repère orthornormé, par conséquent une droite peut être vu par son équation dans le repère.

Ensuite, il faut se rappeler que la recherche d'un point d'intersection est équivalent à la recherche de solution d'un système d'équation (des droites ou courbes considérée).

Pour connaître un point d'intersection, deux équations de droites suffisent ici, donc pas besoin de mettre en évidence les trois équations des hauteurs.

Conclusion, il faut chercher les équations de deux hauteurs puis ensuite résoudre le système de ses deux équations pour déduire les coordonnées de l'orthocentre.

Est-ce que jusque là, la démarche te paraît claire? Il ne faut tout de suite partir sur les complexes car nous savons aussi très bien travailler sur le plan réel aussi après tout.

Maintenant, je te rappelle que:

- Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égale à -1.

autre façon plus rapide:

- L'équation d'une droite est de la forme: a*x+b*y+c=0 avec u(a;b) vecteur normale de la droite. <= ici c'est le plus rapide à utiliser car on peut déterminer simplement les coordonnées de AB et AC par exemple. Et cette façon de procédé permet aussi de considérer des équations du type x=c ce qui n'est pas forcément le cas (de façon théorique) avec l'autre façon vu quel e coefficient directeur de ce genre de droite est infini donc c'est un cas limite.


2) a)Tu aimes vraiment beaucoup les complexe . Alors ton raisonement est juste mais pourquoi ne pas avoir directement calculer Arg[(12 – 5i) / (6 -5i)] ??

En effet, tu reviens au calcul de deux angles intermédiaire (ce qui ajoute des erreur d'arrondi) alros qu'il suffit de mettre (12 – 5i) / (6 -5i) sous forme exponentielle ou trignonmétrique pour avoir accès à son angles. Il faut commencer par mettre ce complexe sous forme algébrique pour calculer son arguement.

Ensuite, le lien entre les radians et les degrés c'est un produit en croix Pi rds=180°


Sinon, tu remarques que tu n'utilises pas l'indication de l'exercice (ce qui n'est pas un tord vu que tu vas normalement aboutir à la réponse) mais que disait-elle?

Citation :

On utilisera pas les triangles PDA et BAM pour des calculs d’angles

PDA est un triangle rectangle en D car ABDC est un rectangle.
De même, BAM est un triangle rectangle en B.

On connait les longueurs des deux côtés de l'angle droit de nos deux triangles rectangles vu que M et P sont des milieux de segmetn dont on connaîty les longueurs.

On peut donc calculer des tangentes dans les deux triangles (et là on utilise l'indication de la question).

La conclusion étant que (AM,AP) s'exprime en fonction des deux angles déduit par le calcul des tangentes et le fait que (AB,AD)=Pi/2.

Il n'y avait doncp as besoin de complexifier cette question pour la résoudre. Mais si tu le fait, il faut que tu précises le repère orthonormé directe que tu considère car dire l'origine ne suffitpas pour être rigoureux. Le reste était juste mais je te conseille de faire aussi la version géométrique réelle car c'est ce qui était attendu d'une part et c'était plus intuitif d'autre part.


2)b) Ta méthode est toujours juste mais toujours aussi ... complexe je dirai surtout que tu ne peux pas réellement conclure car tu fait deux arrondi avant le calcul finale ce qui pourrait signifié que l'égalité à 90°.

Par le même procédé géométrique, on peut déduire l'angle (QA,QM) en utilisant les triangle ADQ et QMC qui sont rectangle respectivement en D et en C, on en déduit les tangentes des deux angels entourant celui qu'on cherche et ici nous avons un angle plat (QD,QC) au lieu d'un angle droit comme dans la question a).


Pour la troisième question, nous dans un repère orthonormé, nous connaissons donc une équation du cercle et l'énoncer nous donne l'équation de la droite. Par conséquent, les coordonnéesdu point d'intersection du cercle et del a droite vérifie le système de deux équations (équation du cercle et équation de la droite) à deux inconnues (x et y).

Je rappelle que dans un repère orthonormé, l'équation d'un cercle de centre D(a,b) de rayon R s'écrit (x-a)²+(y-b)²=R². Ici on connait le diamètre du cercle et par conséquent on peut en déduire son rayon et le centre de celui-ci. Quels sont-ils?

Ensuite, il ne restera plus que le système à résoudre (il est pas forcément simple vu qu'il y a plusieurs point d'intersection mais il se résoud bien de façon méthodique).

Bon courage!

Encore merci pour ta réponse.
Je reprends donc avec les nouveaux éléments que tu apportes :

1. On se donne les points A(2 ;1) , B(5 ;1) et C(3 ;4), et ceci dans un repère orthonormé.
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (ABC).

--> L'orthocentre est l'intersection des trois hauteurs --> "On appelle hauteurs d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet." (Wikipédia)

Citation :

Nous sommes dans un repère orthornormé, par conséquent une droite peut être vu par son équation dans le repère.

Citation :

Ensuite, il faut se rappeler que la recherche d'un point d'intersection est équivalent à la recherche de solution d'un système d'équation (des droites ou courbes considérée).

Citation :

Il faut chercher les équations de deux hauteurs puis ensuite résoudre le système de ses deux équations pour déduire les coordonnées de l'orthocentre.

Ces trois citations ont le mérite d'expliquer clairement ce qu'il faut faire .

Je cherche donc l'équation de la droite passant par C et qui coupe perpendiculairement AB.

Déjà, j'ai besoin de l'équation de la droite (AB) donc : sa pente :

Pente (AB) = (y_B - y_A) / (x_B - y_A) = (-1 - 1) / (5 - 2) = -2/3.
et, comme tu as dit :

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égale à :
-2/3 * x = -1
-2x = -3
x = 3/2
mais, ça ne nous donne pas une équation de type : 0 = ax + by + c donc, là, je bloque...


2.a. Déterminer à 0.01° près l’angle de vecteurs (AM ; AP).
(On utilisera pas les triangles PDA et BAM pour des calculs d’angles) :

Citation :

Il suffit de mettre (12 – 5i) / (6 -5i) sous forme exponentielle ou trignométrique pour avoir accès à son angles. Il faut commencer par mettre ce complexe sous forme algébrique pour calculer son argument.

(12 – 5i) / (6 -5i) = [(12 - 5i)(6 + 5i)] / [(6 - 5i)(6 + 5i)]
= (72 + 60i -30i + 25) / (36 + 25) = (97 +30i) / 61 = 97/61 + 30/61 * i
J'ai donc la forme algébrique.

Je cherche l'angle de cette expression :

r = Racine[(97/61)² + (30/31)²] = Racine[(9409/3721) + (900/961)]
r = Racine[(9042049 + 3348900)/3575881] = Racine[12390949/3575881]

Ici, ce nombre me semble énorme et sonne assez faux....

b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
Les segments [AQ] et [QM] sont-ils perpendiculaires ?

b. Q(1 ; -5) --> zQ = 1 – 5i
Je calcule (AQ ; QM) : si cela fait –Pi/2 alors, [AQ] et [QM] seront perpendiculaires :

(AQ ; QM) = Arg[(zQ – zA) / (zM – zQ)]
= Arg[(1 – 5i) / (12 – (5/2)i – 1 + 5i)] = Arg[(1 – 5i) / (11 – (5/2)i)]
= Arg(1 - 5i) - Arg(11 – (5/2)i)

Avec :

r = Racine[1² + (-5)²] = Racine(26)
cos(Alpha) = x/r = 1/Raine(26)
sin(Alpha) = y/r = -5/Racine(26)
 Alpha = -78,69°

ET

r = Racine[(11)² + (-5/2)²] = Racine[509 / 4]
cos(Bêta) = x/r = 11/Racine(509/4)
sin(Bêta) = y/r = -(5/2)/Racine(509/4)
Bêta = -12,8°
Donc :

(AQ ; QM) = -78,69 – (-12,8) différent de 90°…

Mais, ici ça ne fait pas 90 degrés...

Alors tu n'as pas voulu utiliser l'équation de droite à partir d'un vecteur normal, c'est un choix mais pourtant tes calculs sont justes ce qui te bloque ce sont tes notations:

Citation :

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égale à :
-2/3 * x = -1
-2x = -3
x = 3/2

Noter un coefficient directeur x est un très mauvais choix lorsqu'on cherche une équation du type y=a*x+b .

Donc ici, on a trouvé le coefficient directeur qui est a=3/2. Donc l'équation est de la forme y=(3/2)x+b

Sachant que la hauteur passe pas le point C, on a un moyen de calculer b sans soucis normalement.


Pour la question suivante, je m'excuse, j'avais mal lu l'indication qui nous disait de NE PAS utiliser les deux triangles (et non les utiliser comme je le croyais). Donc ta méthode est exact (et la seule qui marche en fait).

Citation :

97/61 + 30/61 * i
J'ai donc la forme algébrique.

Je cherche l'angle de cette expression :

r = Racine[(97/61)² + (30/31)²] = Racine[(9409/3721) + (900/961)]

Une erreur de calcul qui te coûte chère par la suite. En effet, le dénominateur est le même 61² ! Ce qui va donc nous donner:

r=Racine[(9409+900)/61²]= Racine(10309/61²)=Racine(169/61)=13/Racine(61)

Pour ton dernier calcul, on pouvais aussi calculer directement l'argument mais en effet, le résultat est bien qu'ils ne sont pas perpendiculaire.

Bon courage!

1. On se donne les points A(2 ;1) , B(5 ;1) et C(3 ;4), et ceci dans un repère orthonormé.
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (ABC).

--> L'orthocentre est l'intersection des trois hauteurs --> "On appelle hauteurs d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet." (Wikipédia)

Citation :

Nous sommes dans un repère orthornormé, par conséquent une droite peut être vu par son équation dans le repère.

Citation :

Ensuite, il faut se rappeler que la recherche d'un point d'intersection est équivalent à la recherche de solution d'un système d'équation (des droites ou courbes considérée).

Citation :

Il faut chercher les équations de deux hauteurs puis ensuite résoudre le système de ses deux équations pour déduire les coordonnées de l'orthocentre.

Ces trois citations ont le mérite d'expliquer clairement ce qu'il faut faire .

Je cherche donc l'équation de la droite passant par C et qui coupe perpendiculairement AB.

Déjà, j'ai besoin de l'équation de la droite (AB) donc : sa pente :

Pente (AB) = (y_B - y_A) / (x_B - y_A) = (-1 - 1) / (5 - 2) = -2/3.
et, comme tu as dit :

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égal à :
-2/3 * a = -1
-2a = -3
a = 3/2
--> y=(3/2)x+b
Reste à trouver b : la hauteur passe par C donc, je peux normalement trouver b :
y_C = 4
y_C = (3/2) * x_C + b
4 = (3/2) * 3 + b
4 = 4.5 + b
b = -0.5
Donc, la première hauteur a pour équation :
y=(3/2)x-0.5


Je réitère la méthode pour déterminer l'équation d'une seconde hauteur : celle passant par B et coupant perpendiculairement (AC) :

Je cherche la pente de (AC) :
Pente(AC) = [y_C - y_A] / [x_C - x_A] = (4 - 1) / (3 - 2) = 3/1 = 3.

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égal à :
3 * a = -1
a = -1/3
--> y=(-1/3)x+b
Reste à trouver b : la hauteur passe par B donc, je peux normalement trouver b :
y_B = -1
y_B = (-1/3) * x_B + b
-1 = (-1/3) * 5 + b
-1 = -5/3 + b
b = -1 + 5/3 = -3/3 + 5/3 = 2/3
Donc, la seconde hauteur a pour équation :
y=(-1/3)x+(2/3)

--> Il ne me reste plus qu'à déterminer le point d'intersection de ces deux droites pour trouver les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC :
(3/2)x - 0.5 = (-1/3)x+(2/3)
(3/2)x - (-1/3)x = (2/3) + (1/2)
x[(3/2) + (1/3)] = 4/6 + 3/6
x[9/6 + 2/6] = 7/6
x(11/6) = 7/6
x = (7/6) / (11/6) = (7/6) * (6/11) = 42 / 66 = 21 / 33 = 7/11.

Reste à trouver l'ordonnée de l'orthocentre :

-->(3/2) * (7/11) -0.5 = 21/22 - 1/2 = 21/22 - 11/22 = 10/22 = 5/11
-->(-1/3) * (7/11) +(2/3) = (-7/33) + (2/3) = -21/99 + 66/99 = 45/99 = 5/11.

L'orthocentre aura donc pour coordonnées (7/11 ; 5/11).


2.a. Déterminer à 0.01° près l’angle de vecteurs (AM ; AP).
(On utilisera pas les triangles PDA et BAM pour des calculs d’angles) :

Citation :

Il suffit de mettre (12 – 5i) / (6 -5i) sous forme exponentielle ou trignométrique pour avoir accès à son angles. Il faut commencer par mettre ce complexe sous forme algébrique pour calculer son argument.

(12 – 5i) / (6 -5i) = [(12 - 5i)(6 + 5i)] / [(6 - 5i)(6 + 5i)]
= (72 + 60i -30i + 25) / (36 + 25) = (97 +30i) / 61 = 97/61 + 30/61 * i
J'ai donc la forme algébrique.

Je cherche l'angle de cette expression :
r = Racine[ (97/61)² + (30/61)²] = Racine[(9409 + 900) / (3721)] = Racine[10309 / 3721] = Racine(10309/61²) = Racine(169/61) = 13/Racine(61).

Plus qu'à calculer l'argument :
cos(Alpha) = x/r = (97/61) / [13/Racine(61)]
sin[Alpha) = y/r = (30/61) / [13/Racine(61)]

Je trouve un angle de 17.185 degrés.

Attention au signe: B(5 ;1) donc y_B=1 et non -1 .

Sinon, je suis d'accord avec l'angle que tu trouves mis à part que la réponse n'est pas jsute pas rapport à la précision demandée "à 0.01° près"

Je te laisse ajuster le résultat.

Bon courage pour la suite!

Désolé, en recopiant l'énoncé j'ai oublié un moins : B(5 ; -1). J'ai bien pris -1 pour la question 1 donc, ça marche et pour la 2, ça n'influe pas. Encore désolé.


1. On se donne les points A(2 ;1) , B(5 ;-1) et C(3 ;4), et ceci dans un repère orthonormé.
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (ABC).

--> L'orthocentre est l'intersection des trois hauteurs --> "On appelle hauteurs d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet." (Wikipédia)

Citation :

Nous sommes dans un repère orthornormé, par conséquent une droite peut être vu par son équation dans le repère.

Citation :

Ensuite, il faut se rappeler que la recherche d'un point d'intersection est équivalent à la recherche de solution d'un système d'équation (des droites ou courbes considérée).

Citation :

Il faut chercher les équations de deux hauteurs puis ensuite résoudre le système de ses deux équations pour déduire les coordonnées de l'orthocentre.

Ces trois citations ont le mérite d'expliquer clairement ce qu'il faut faire .

Je cherche donc l'équation de la droite passant par C et qui coupe perpendiculairement AB.

Déjà, j'ai besoin de l'équation de la droite (AB) donc : sa pente :

Pente (AB) = (y_B - y_A) / (x_B - y_A) = (-1 - 1) / (5 - 2) = -2/3.
et, comme tu as dit :

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égal à :
-2/3 * a = -1
-2a = -3
a = 3/2
--> y=(3/2)x+b
Reste à trouver b : la hauteur passe par C donc, je peux normalement trouver b :
y_C = 4
y_C = (3/2) * x_C + b
4 = (3/2) * 3 + b
4 = 4.5 + b
b = -0.5
Donc, la première hauteur a pour équation :
y=(3/2)x-0.5


Je réitère la méthode pour déterminer l'équation d'une seconde hauteur : celle passant par B et coupant perpendiculairement (AC) :

Je cherche la pente de (AC) :
Pente(AC) = [y_C - y_A] / [x_C - x_A] = (4 - 1) / (3 - 2) = 3/1 = 3.

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égal à :
3 * a = -1
a = -1/3
--> y=(-1/3)x+b
Reste à trouver b : la hauteur passe par B donc, je peux normalement trouver b :
y_B = -1
y_B = (-1/3) * x_B + b
-1 = (-1/3) * 5 + b
-1 = -5/3 + b
b = -1 + 5/3 = -3/3 + 5/3 = 2/3
Donc, la seconde hauteur a pour équation :
y=(-1/3)x+(2/3)

--> Il ne me reste plus qu'à déterminer le point d'intersection de ces deux droites pour trouver les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC :
(3/2)x - 0.5 = (-1/3)x+(2/3)
(3/2)x - (-1/3)x = (2/3) + (1/2)
x[(3/2) + (1/3)] = 4/6 + 3/6
x[9/6 + 2/6] = 7/6
x(11/6) = 7/6
x = (7/6) / (11/6) = (7/6) * (6/11) = 42 / 66 = 21 / 33 = 7/11.

Reste à trouver l'ordonnée de l'orthocentre :

-->(3/2) * (7/11) -0.5 = 21/22 - 1/2 = 21/22 - 11/22 = 10/22 = 5/11
-->(-1/3) * (7/11) +(2/3) = (-7/33) + (2/3) = -21/99 + 66/99 = 45/99 = 5/11.

L'orthocentre aura donc pour coordonnées (7/11 ; 5/11).


2.a. Déterminer à 0.01° près l’angle de vecteurs (AM ; AP).
(On utilisera pas les triangles PDA et BAM pour des calculs d’angles) :

Citation :

Il suffit de mettre (12 – 5i) / (6 -5i) sous forme exponentielle ou trignométrique pour avoir accès à son angles. Il faut commencer par mettre ce complexe sous forme algébrique pour calculer son argument.

(12 – 5i) / (6 -5i) = [(12 - 5i)(6 + 5i)] / [(6 - 5i)(6 + 5i)]
= (72 + 60i -30i + 25) / (36 + 25) = (97 +30i) / 61 = 97/61 + 30/61 * i
J'ai donc la forme algébrique.

Je cherche l'angle de cette expression :
r = Racine[ (97/61)² + (30/61)²] = Racine[(9409 + 900) / (3721)] = Racine[10309 / 3721] = Racine(10309/61²) = Racine(169/61) = 13/Racine(61).

Plus qu'à calculer l'argument :
cos(Alpha) = x/r = (97/61) / [13/Racine(61)]
sin[Alpha) = y/r = (30/61) / [13/Racine(61)]

Je trouve un angle de 17.185 degrés.
Je dois arrondir par défaut ou par excès?
17.1857, j'arrondirais à 17.19 non?


2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.
Après, il suffit de calculer (AQ ; QM).
Ce que j'avais fait au début a l'air correct mais, je en suis pas sûr...

Bonjour,

La question qui pose toujours problème "et lorsqu'il y a un 5 après, on arrondi comment?"

Citation :

Je trouve un angle de 17.185 degrés.
Je dois arrondir par défaut ou par excès?
17.1857, j'arrondirais à 17.19 non?

La règle est simple en fait: entre 0 et 4, on arrondi par défaut et entre 5 et 9 on arrondi par excès. Logique? Oui car les deux intervalles sont de longueur 4 par conséquent, on a bien coupé en deux pour effectuer notre arrondi.

Donc ta réponse est juste!

L'idée de départ est juste en effet sauf que tu isole deux calculs d'angles et tu cumules donc les erreurs d'arrondi. Il faut calcul l'angle en passant par la forme trigonométrique c'est plus simple si les angles ne tombent pas juste (comme c'est le cas ici) pour éviter les erreurs successives tout simplement. Sinon, l'idée est juste et en effet, ils ne sont pas perpendiculaires.

Bon courage!

1. On se donne les points A(2 ;1) , B(5 ;-1) et C(3 ;4), et ceci dans un repère orthonormé.
Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (ABC).

--> L'orthocentre est l'intersection des trois hauteurs --> "On appelle hauteurs d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet." (Wikipédia)

Citation :

Nous sommes dans un repère orthornormé, par conséquent une droite peut être vu par son équation dans le repère.

Citation :

Ensuite, il faut se rappeler que la recherche d'un point d'intersection est équivalent à la recherche de solution d'un système d'équation (des droites ou courbes considérée).

Citation :

Il faut chercher les équations de deux hauteurs puis ensuite résoudre le système de ses deux équations pour déduire les coordonnées de l'orthocentre.

Ces trois citations ont le mérite d'expliquer clairement ce qu'il faut faire .

Je cherche donc l'équation de la droite passant par C et qui coupe perpendiculairement AB.

Déjà, j'ai besoin de l'équation de la droite (AB) donc : sa pente :

Pente (AB) = (y_B - y_A) / (x_B - y_A) = (-1 - 1) / (5 - 2) = -2/3.
et, comme tu as dit :

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égal à :
-2/3 * a = -1
-2a = -3
a = 3/2
--> y=(3/2)x+b
Reste à trouver b : la hauteur passe par C donc, je peux normalement trouver b :
y_C = 4
y_C = (3/2) * x_C + b
4 = (3/2) * 3 + b
4 = 4.5 + b
b = -0.5
Donc, la première hauteur a pour équation :
y=(3/2)x-0.5


Je réitère la méthode pour déterminer l'équation d'une seconde hauteur : celle passant par B et coupant perpendiculairement (AC) :

Je cherche la pente de (AC) :
Pente(AC) = [y_C - y_A] / [x_C - x_A] = (4 - 1) / (3 - 2) = 3/1 = 3.

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

Donc, la coefficient directeur de cette hauteur est égal à :
3 * a = -1
a = -1/3
--> y=(-1/3)x+b
Reste à trouver b : la hauteur passe par B donc, je peux normalement trouver b :
y_B = -1
y_B = (-1/3) * x_B + b
-1 = (-1/3) * 5 + b
-1 = -5/3 + b
b = -1 + 5/3 = -3/3 + 5/3 = 2/3
Donc, la seconde hauteur a pour équation :
y=(-1/3)x+(2/3)

--> Il ne me reste plus qu'à déterminer le point d'intersection de ces deux droites pour trouver les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC :
(3/2)x - 0.5 = (-1/3)x+(2/3)
(3/2)x - (-1/3)x = (2/3) + (1/2)
x[(3/2) + (1/3)] = 4/6 + 3/6
x[9/6 + 2/6] = 7/6
x(11/6) = 7/6
x = (7/6) / (11/6) = (7/6) * (6/11) = 42 / 66 = 21 / 33 = 7/11.

Reste à trouver l'ordonnée de l'orthocentre :

-->(3/2) * (7/11) -0.5 = 21/22 - 1/2 = 21/22 - 11/22 = 10/22 = 5/11
-->(-1/3) * (7/11) +(2/3) = (-7/33) + (2/3) = -21/99 + 66/99 = 45/99 = 5/11.

L'orthocentre aura donc pour coordonnées (7/11 ; 5/11).


2.a. Déterminer à 0.01° près l’angle de vecteurs (AM ; AP).
(On utilisera pas les triangles PDA et BAM pour des calculs d’angles) :

Citation :

Il suffit de mettre (12 – 5i) / (6 -5i) sous forme exponentielle ou trignométrique pour avoir accès à son angles. Il faut commencer par mettre ce complexe sous forme algébrique pour calculer son argument.

(12 – 5i) / (6 -5i) = [(12 - 5i)(6 + 5i)] / [(6 - 5i)(6 + 5i)]
= (72 + 60i -30i + 25) / (36 + 25) = (97 +30i) / 61 = 97/61 + 30/61 * i
J'ai donc la forme algébrique.

Je cherche l'angle de cette expression :
r = Racine[ (97/61)² + (30/61)²] = Racine[(9409 + 900) / (3721)] = Racine[10309 / 3721] = Racine(10309/61²) = Racine(169/61) = 13/Racine(61).

Plus qu'à calculer l'argument :
cos(Alpha) = x/r = (97/61) / [13/Racine(61)]
sin[Alpha) = y/r = (30/61) / [13/Racine(61)]

Je trouve un angle de 17.185 degrés donc, 17.19 degrés avec un arrondi à 001° près.



2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.
Après, il suffit de calculer (AQ ; QM).

[color=red]Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les équations de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.
--> y_(AQ) = -5x + b
(AQ) passe par Q(1 ; -5) donc :
-5 = -5x + b
b = 0?
Ca colle pas...

Ta propre méthode par les complexes ne te plaisait pas? Elle était pourtant juste.

Ha ok!! Je viens de comprendre, tu cherches à calculer les deux équation de droite et dire que le produit des deux coefficients directeurs n'est pas égale à -1 vu qu'on ne te demande pas un calcul précis de l'angle (AQ,QM).

Cette méthode n'est peut-être pas plus courte mais moins coûteuse en calcul c'est certain.

Citation :

b = 0?
Ca colle pas...

Et pourquoi cela ne colle pas? L'ordonnée à l'origine n'est-elle pas nulle pour une droite passant par l'origine que tu as fixé en A? .

Je te laisse finir tes calculs pour l'autre droite. Mais sache que calculer les coefficient directeur suffit pour pouvoir conclure en fait.

Bon courage!

Citation :

Ta propre méthode par les complexes ne te plaisait pas? Elle était pourtant juste.

Ben en fait, je fais la même chose là mais, sans les complexes non?

2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.
Après, il suffit de calculer (AQ ; QM).

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les équations de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.
--> y_(AQ) = -5x + b

(DM) :
Pente(DM) = [y_M - y_D] / [x_M - x_D]
avec : M(12;-2.5)
Pente(DM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 0] = 2.5/12
--> y_(DM) = (2.5/12)x + b

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/12) * (-5) = -12.5/12 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [DM] ne sont pas perpendiculaires.

Citation :

Les segments [AQ] et [DM] ne sont pas perpendiculaires.

C'était pas [AQ] et [QM] dont on cherchait à savoir si elles étaient perpendiculaires ?

Et mince...
Je reprends XD

2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les équations de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.
--> y_(AQ) = -5x + b

(QM) :
Pente(QM) = [y_M - y_Q] / [x_Q - x_D]
avec : M(12;-2.5)
et Q(1 ; -5)
Pente(QM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 1] = 2.5/11
--> y_(DM) = (2.5/11)x + b

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/11) * (-5) = -12.5/11 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [QM] ne sont pas perpendiculaires.

Ca va, il n'y avait pas grand chose à modifier.

Nickel !!

Il n'y a pas besoin de parler de l'équation de deux droites en fait, jsute leur coefficient directeur suffit. Donc tu peux t'arrêter aux calculs des coefficients directeurs tout simplement.

Bon courage pour la suite!

2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les coefficients directeurs de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.

(QM) :
Pente(QM) = [y_M - y_Q] / [x_Q - x_D]
avec : M(12;-2.5)
et Q(1 ; -5)
Pente(QM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 1] = 2.5/11

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/11) * (-5) = -12.5/11 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [QM] ne sont pas perpendiculaires.

Voilà, c'est corrigé.


3. Dans un repère orthonormé on donne A(-2 ; 5) et B(3 ; 0).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite d’équation x – y +5 = 0.

Déjà, j'ai besoin de l'équation du cercle :

Que représentent a et b?

Rappel:

L'équation d'un cercle de centre Ω(x_Ω,y_Ω) et de rayon R dans un repère orthonormé est: (x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²

Après, si on ne nous donne pas le centre, il faut le déterminer pour pouvoir conclure bien entendu.

Bon courage!

2..b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les coefficients directeurs de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.

(QM) :
Pente(QM) = [y_M - y_Q] / [x_Q - x_D]
avec : M(12;-2.5)
et Q(1 ; -5)
Pente(QM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 1] = 2.5/11

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/11) * (-5) = -12.5/11 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [QM] ne sont pas perpendiculaires.


3. Dans un repère orthonormé on donne A(-2 ; 5) et B(3 ; 0).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite d’équation x – y +5 = 0.

Citation :

L'équation d'un cercle de centre Ω(x_Ω,y_Ω) et de rayon R dans un repère orthonormé est: (x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²

Je dois tout d'abord établir l'équation de ce cercle :

(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²
(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=(AB/2)²

Je dois donc trouver les coordonnées du centre de ce cercle et, la valeur de AB :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² = Racine[ (0-5)² + (3-(-2))²] = Racine(25 + 25) = Racine(50).

Après, pour les coordonnées du centre, je vois pas du tout...

Tout d'abord Racine(2*25)=5*Racine(2) c'est serait plus simple à lire.

Ensuite, quelle est la caractéristique du centre lorsqu'on a un diamiètre [AB] ?

2..b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les coefficients directeurs de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.

(QM) :
Pente(QM) = [y_M - y_Q] / [x_Q - x_D]
avec : M(12;-2.5)
et Q(1 ; -5)
Pente(QM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 1] = 2.5/11

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/11) * (-5) = -12.5/11 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [QM] ne sont pas perpendiculaires.


3. Dans un repère orthonormé on donne A(-2 ; 5) et B(3 ; 0).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite d’équation x – y +5 = 0.

Citation :

L'équation d'un cercle de centre Ω(x_Ω,y_Ω) et de rayon R dans un repère orthonormé est: (x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²

Je dois tout d'abord établir l'équation de ce cercle :

(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²
(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=(AB/2)²

Je dois donc trouver les coordonnées du centre de ce cercle et, la valeur de AB :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² = Racine[ (0-5)² + (3-(-2))²] = Racine(25 + 25) = Racine(50) = 5Racine(2).

Citation :

Ensuite, quelle est la caractéristique du centre lorsqu'on a un diamètre [AB] ?

Le centre est également le milieu de [AB].
Je dois calculer l'équation de (AB) pour trouver le centre non?

Le centre d'une droite ????? J'ai rien lu .

Oui, il faut calculer les coordonnées du milieu du segment [AB], en effet.

2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les coefficients directeurs de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.

(QM) :
Pente(QM) = [y_M - y_Q] / [x_Q - x_D]
avec : M(12;-2.5)
et Q(1 ; -5)
Pente(QM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 1] = 2.5/11

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/11) * (-5) = -12.5/11 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [QM] ne sont pas perpendiculaires.


3. Dans un repère orthonormé on donne A(-2 ; 5) et B(3 ; 0).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite d’équation x – y +5 = 0.

Citation :

L'équation d'un cercle de centre Ω(x_Ω,y_Ω) et de rayon R dans un repère orthonormé est: (x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²

Je dois tout d'abord établir l'équation de ce cercle :

(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²
(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=(AB/2)²

Je dois donc trouver les coordonnées du centre de ce cercle et, la valeur de AB :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² = Racine[ (0-5)² + (3-(-2))²] = Racine(25 + 25) = Racine(50) = 5Racine(2).

Citation :

Ensuite, quelle est la caractéristique du centre lorsqu'on a un diamètre [AB] ?

Le centre est également le milieu de [AB].

Centre Cercle [ (x_b-x_a)/2 ; (y_b - y_a)/2] --> (5 ; -5)

Les coordonnées du centre sont erronées, une division par 2 qui a dû partir en vacance avant de revenir au poste suivant je pense .

Je te laisse conclure car maintenant, il faut résoudre le système d'équation.

Bon courage!

2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les coefficients directeurs de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.

(QM) :
Pente(QM) = [y_M - y_Q] / [x_Q - x_D]
avec : M(12;-2.5)
et Q(1 ; -5)
Pente(QM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 1] = 2.5/11

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/11) * (-5) = -12.5/11 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [QM] ne sont pas perpendiculaires.


3. Dans un repère orthonormé on donne A(-2 ; 5) et B(3 ; 0).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite d’équation x – y +5 = 0.

Citation :

L'équation d'un cercle de centre Ω(x_Ω,y_Ω) et de rayon R dans un repère orthonormé est: (x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²

Je dois tout d'abord établir l'équation de ce cercle :

(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²
(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=(AB/2)²

Je dois donc trouver les coordonnées du centre de ce cercle et, la valeur de AB :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² = Racine[ (0-5)² + (3-(-2))²] = Racine(25 + 25) = Racine(50) = 5Racine(2).

Citation :

Ensuite, quelle est la caractéristique du centre lorsqu'on a un diamètre [AB] ?

Le centre est également le milieu de [AB].

Centre Cercle [ (x_b-x_a)/2 ; (y_b - y_a)/2] --> (5/2 ; -5/2)

Donc :

(x-5/2)²+(y-5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
(x-5/2)(x-5/2) + (y-5/2)(y-5/2) = ([5Racine(2)]/2)([5Racine(2)]/2)
Je suis bien parti là?

Je ne te conseille pas de développer totu de suite en tout cas mais plutôt de commencer à résoudre le système par substitution (remplacer y en fonction de x pour avoir une équation du second degré en x par exemple ).

Sinon, attention au signe! y_Ω=-5/2 et non pas 5/2 !!

Bon courage!