Exercice complexe

2.b. Soit Q le point de [DC] tel que DQ = 1.
[AQ] et [QM] perpendiculaires?

Déjà, il faut trouver l'équation de [DC] afin de trouver les coordonnées de DQ.

Je cherche donc l'équation de [DC] :
--> J'ai d'abord besoin des coordonnées de D et, des autres points.
Je définis un repère orthonormé d'origine A ce qui donne :
A(0 ; 0)
B(0 ; 12)
C(12 ; -5)
D(0 ; -5)

[DC] est horizontal selon mon repère donc, son équation est : y = -5

--> Je cherche maintenant les coordonnées de Q :
Il se trouve sur [DC] et DQ = 1 donc :
Q(1 ; -5)

--> Je calcule les coefficients directeurs de (AQ) et (DM)
(AQ) :
Pente(AQ) = [y_Q - y_A] / [x_Q - x_A] = (-5 - 0) / (1 - 0) = -5/1 = -5.

(QM) :
Pente(QM) = [y_M - y_Q] / [x_Q - x_D]
avec : M(12;-2.5)
et Q(1 ; -5)
Pente(QM) = [-2.5 - (-5)] / [12 - 1] = 2.5/11

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à -1.

(2.5/11) * (-5) = -12.5/11 différent de -1.
--> Les segments [AQ] et [QM] ne sont pas perpendiculaires.


3. Dans un repère orthonormé on donne A(-2 ; 5) et B(3 ; 0).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle de diamètre [AB] avec la droite d’équation x – y +5 = 0.

Citation :

L'équation d'un cercle de centre Ω(x_Ω,y_Ω) et de rayon R dans un repère orthonormé est: (x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²

Je dois tout d'abord établir l'équation de ce cercle :

(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=R²
(x-x_Ω)²+(y-y_Ω)²=(AB/2)²

Je dois donc trouver les coordonnées du centre de ce cercle et, la valeur de AB :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² = Racine[ (0-5)² + (3-(-2))²] = Racine(25 + 25) = Racine(50) = 5Racine(2).

Citation :

Ensuite, quelle est la caractéristique du centre lorsqu'on a un diamètre [AB] ?

Le centre est également le milieu de [AB].

Centre Cercle [ (x_b-x_a)/2 ; (y_b - y_a)/2] --> (5/2 ; -5/2)

Donc :

(x-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)² - (x-5/2)²
(y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)² - (x-5/2)²
y² + 10/2y + 25/4 = ([5Racine(2)]/2)² - (x-5/2)²
y² + 10/2y = ([5Racine(2)]/2)² - (x-5/2)² -25/4

Je vois pas trop où je vais aboutir...

Heu..., dans un système de deux équations, il y a .... deux équations .

Il faut exprimer y en fonction de x dans l'autre équation et substituer y dans l'éqauation du cercle. C'est ça l'idée en fait.

Ne pas oublier ce qu'on cherche, on cherche l'intersection entre le cercle et une droite dont nous avons les deux équations.

Bon courage!

J'ai :
(x-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
et
x – y +5 = 0 --> x = y-5

Donc :

(y-5-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
(y-5-5/2)(y-5-5/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
(y - 15/2)(y - 15/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
y² - 15y +15 + y² + 5y + 5 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2) ([5Racine(2)]/2)
2y² -10y + 20 = [5Racine(2)]²/4 = 50/4 = 25/2
2y² -10y + 20 - 25/2 =0

Delta = b² - 4ac = (-10)² - 4(2*(15/2)) = 100 -4*15 = 100-60 = 40.

x₁ = [-b -Racine(Delta)] / 2a = [10 - Racine(40)] / 4
x₂ = [-b +Racine(Delta)] / 2a = [10 + Racine(40)] / 4

??

C'est ça en effet sauf que tu calcules y₁ et y₂.

Ensuite, il faudra calculer les abscisses correspondantes pour avoir les deux points d'intersections donc.

Bon courage!

J'ai :
(x-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
et
x – y +5 = 0 --> x = y-5

Donc :

(y-5-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
(y-5-5/2)(y-5-5/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
(y - 15/2)(y - 15/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
y² - 15y +15 + y² + 5y + 5 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2) ([5Racine(2)]/2)
2y² -10y + 20 = [5Racine(2)]²/4 = 50/4 = 25/2
2y² -10y + 20 - 25/2 =0

Delta = b² - 4ac = (-10)² - 4(2*(15/2)) = 100 -4*15 = 100-60 = 40.

y₁ = [-b -Racine(Delta)] / 2a = [10 - Racine(40)] / 4
y₂ = [-b +Racine(Delta)] / 2a = [10 + Racine(40)] / 4

DONC :

x₁ = [10 - Racine(40)] / 4 -20/4 = -10-10Racine(40) / 4
x₂ = [10 + Racine(40)] / 4 - 20/4 = -10 + 10Racine(40) /4
?

Tout ceci m'a l'air tout à fait juste en effet !

Il y a moyen de simplifier par 2 partout d'ailleurs car Racine(40)=Racine(4*10)=2*Racine(10).

Bon courage pour la suite!

J'ai :
(x-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
et
x – y +5 = 0 --> x = y-5

Donc :

(y-5-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
(y-5-5/2)(y-5-5/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
(y - 15/2)(y - 15/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
y² - 15y +15 + y² + 5y + 5 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2) ([5Racine(2)]/2)
2y² -10y + 20 = [5Racine(2)]²/4 = 50/4 = 25/2
2y² -10y + 20 - 25/2 =0

Delta = b² - 4ac = (-10)² - 4(2*(15/2)) = 100 -4*15 = 100-60 = 40.

y₁ = [-b -Racine(Delta)] / 2a = [10 - 2*Racine(10)] / 4 =
y₂ = [-b +Racine(Delta)] / 2a = [10 + 2*Racine(10)] / 4

DONC :

x₁ = [10 - Racine(40)] / 4 -20/4 = -10-20*Racine(10) / 4
x₂ = [10 + Racine(40)] / 4 - 20/4 = -10 + 30*Racine(10) /4

On a donc deux couples solutions :
(-10-20*Racine(10) / 4 ; -10-20*Racine(10) / 4)
([10 + 2*Racine(10)] / 4 ; -10 + 30*Racine(10) /4)

Comment veux-tu simplifier ici?

Bonsoir,

Je pensais faire une simplification par 2 en fait:

[10 - 2*Racine(10)] / 4 = [2*5 - 2*Racine(10)] /(2*2) = 2*[5-Racine(10)]/(2*2)= [5-Racine(10)] / 2

De même pour les autres calcule, il y a une simplification par 2 à chaque fois en fait.

Bon courage pour finaliser cette inxercice!

J'ai :
(x-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
et
x – y +5 = 0 --> x = y-5

Donc :

(y-5-5/2)²+(y+5/2)²=([5Racine(2)]/2)²
(y-5-5/2)(y-5-5/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
(y - 15/2)(y - 15/2) + (y+5/2)(y+5/2) = ([5Racine(2)]/2)²
y² - 15y +15 + y² + 5y + 5 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2)²
2y² -10y + 20 = ([5Racine(2)]/2) ([5Racine(2)]/2)
2y² -10y + 20 = [5Racine(2)]²/4 = 50/4 = 25/2
2y² -10y + 20 - 25/2 =0

Delta = b² - 4ac = (-10)² - 4(2*(15/2)) = 100 -4*15 = 100-60 = 40.

y₁ = [-b -Racine(Delta)] / 2a = [10 - 2*Racine(10)] / 4 = [5-Racine(10)] / 2

y₂ = [-b +Racine(Delta)] / 2a = [10 + 2*Racine(10)] / 4 = [5+Racine(10)] / 2


DONC :

x₁ = [5-Racine(10)] / 2 - 10/2 = [-5 -Racine(10)]/2
x₂ = [5+Racine(10)] / 2 - 10/2 = [-5 + Racine(10)]/2

On a donc deux couples solutions :
([-5 + Racine(10)]/2 ; [5-Racine(10)] / 2)
( [-5 - Racine(10)]/2 ; [5+Racine(10)] / 2)

Nickel pour moi !!

Merci encore pour ton coup de main et tes corrections c'est super sympa.