Exercice équation complexe et trigo

Salut!
Voici le second exercice de la série sur les nombres complexes et la trigo. Ici, je sais tout faire sauf la dernière question où j'ai un petit doute...

Voici l'énoncé :

1. Soit une fonction f définie sur l'ensemble C par :
f(z) = z³ - 2(Racine(3) + i)z² + 4(1 +iRacine(3))z -8i.
Vérifier que, pour tout z appartient C, f(z) = (z-2i)(z² -2[Racine(3)]z +4).

2.Résoudre dans C l'équation f(z) = 0.

3. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u ; v). On donne les complexes z₁ = racine(3) - i ; z₂ = Racine(3) + i et z₃ = 2i. Soit M₁, M₂ et M₃ les points image de ces trois complexes.
Montrer que ces trois points sont sur un même cercle de centre O.

4. Calculer z₂ - z₁ et z₂ - z₃.
Prouver que OM₁M₂M₃ est un losange.



Et voici mes réponses :

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 + 16 = 28

x₁ = (-b - Racine[Delta]) / 2a = [2Racine(3) - Racine(28)] / 2

x₂ = (-b + Racine[Delta]) / 2a = [2Racine(3) + Racine(28)] / 2

f(z) = 0 si z = [2Racine(3) - Racine(28)] / 2 ou z = [2Racine(3) - Racine(28)] / 2 ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z₁ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₂ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₃ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4) Par contre ici,... Losange = 4 côtés égaux et diagonales qui se coupent en leur milieu mais, j'ai peur qu'on me dise que j'ai démontré que c'était un carré ou autre chose donc, je ne sais pas par où commencer.... J'aurais donc beosin d'un coup de main svp...

Merci d'avance!

Une erreur c'est glissée à la question 2):

Citation :

b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 + 16

Attention à ne pas vouloir être trop rapide .


Sinon pour la question 1) et la question 3) les méthodes sont bonnes ainsi que les réflexes de calculs.

Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Bon courage!

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x₁ = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x₂ = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) - i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z₁ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₂ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₃ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)

Citation :

Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM₁M₂M₃, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM₃ et M₁M₂ sont égaux :

OM₃ (avec notation de vecteur) = z_M3 - z₀
= 2i - 0 = 2i
M₁M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM₃ et M₁M₂ sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM₁ et M₃M₂ sont égaux :

OM₁ (avec notation de vecteur) = z_M1 - z₀ = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M₃M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM₁ et M₃M₂ sont donc égaux.


OM₁M₂M₃ a donc ses vecteurs égaux 2 à 2 : c'est donc un losange!

Ca me semble bon mais, y-a-t'il quelque chose à redire là-dessus?

Bonsoir,

Citation :

z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i

Petite erreur de signe due au recopiage je pense.

Sinon le reste m'a l'air correct sauf que ta conclusion est fausse à la fin. En effet: un quadrilatère qui a des vecteurs égaux deux à deux est un parallélogramme.

Pour que se soit un losange, il faut qu'il est deux côtés consécutifs égaux.

Bon courage!

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x₁ = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x₂ = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z₁ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₂ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₃ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)

Citation :

Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM₁M₂M₃, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM₃ et M₁M₂ sont égaux :

OM₃ (avec notation de vecteur) = z_M3 - z₀
= 2i - 0 = 2i
M₁M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM₃ et M₁M₂ sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM₁ et M₃M₂ sont égaux :

OM₁ (avec notation de vecteur) = z_M1 - z₀ = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M₃M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM₁ et M₃M₂ sont donc égaux.


Ici, j'ai prouvé que les côtés égaux égaux deux-à-deux mais, je dois prouver qu'au moins deux côtés consécutifs sont égaux... Ca change dnc le raisonnement non?

Bonjour,

Dans la progression de la réflexion pour montrer qu'un quadrilatère est de telle ou telle forme, il faut faire ainsi:

- Montrer que c'est un parallélogramme (deux vecteurs égaux ou diagonales qui se coupent en leur milieux)

Et ensuite, à partir du parallélogramme, on fait la distinction entre les quadrilatères courants:

- C'est un losange si on montre que deux côtés consécutifs sont de même longueur

- C'est un rectangle si il y a un angle droite entre deux côtés consécutif ou si on montre que les diagonales sont de même longueur



Et à partir du moment où on a un rectangle, on peut montrer qu'on peut avoir un carré:

- C'est un carré si il a deux côtés consécutifs de même longueurs ou qu'il a ces diagonales qui se coupent perpendiculairement.


Je te laisse donc finaliser la dernière question! Bon courage!

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x₁ = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x₂ = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z₁ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₂ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₃ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)

Citation :

Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM₁M₂M₃ est un losange, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM₃ et M₁M₂ sont égaux :

OM₃ (avec notation de vecteur) = z_M3 - z₀
= 2i - 0 = 2i
M₁M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM₃ et M₁M₂ sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM₁ et M₃M₂ sont égaux :

OM₁ (avec notation de vecteur) = z_M1 - z₀ = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M₃M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM₁ et M₃M₂ sont donc égaux.


Ici, j'ai prouvé que les côtés égaux égaux deux-à-deux donc, OM₁M₂M₃ est un parallélogramme.

Pour prouver que OM₁M₂M₃, je dois maintenant prouver que deux côtés consécutifs ont la même longueur :

Je suis tenté d'employer la formule suivante :
Racine[ (yb - ya)² + (xb - xa)² ] mais, je ne peux pas vu que je n'ai pas de coordonnées.... Quoique... J'ai le droit de la faire avec les formes algébriques?

Alors c'est là qu'on voit que le parallèle entre complexe et géométrie n'estp as encore bien assimilé.

En effet, ce que tu as fait pour la question 4) c'est montrer que les vecteurs était égaux deux à deux et d'ailleurs le faire pour un seul couple de vecteur suffit largement pour montrer qu'il s'agit d'un parallèlogramme.

Mais, le module c'est en fait une distance et l'argument c'est un angle. Du coup, pour des distances, il suffit de calculer la norme des vecteurs c'est à dire le module des affixes considérés.

Les complexes sont en fait des mines d'informations géométrique et il faut ben en avoir conscience lorsqu'on les manipule sinon on psse à côté de beaucoup d'informations.

Bon courage!

1) Ici, je pars de la forme factorisée pour arriver à la première : enfantin.

2) Je prend la forme factorisée de la question 1 et je dis que pour qu'un produit de facteurs = 0 , il faut qu'au moins un des deux termes = 0.

Soit :
z - 2i = 0 --> z = 2i

OU

(z² -2[Racine(3)]z +4)
Delta = b² - 4ac = (-2Racine(3))² - 4(1*4) = 12 - 16 = -4 --> Pas de solutions réelles!

x₁ = (-b - iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) - iRacine(|-4|)] / 2
= [ 2Racine(3) - 2i] / 2 = Racine(3) - i

x₂ = (-b + iRacine[|Delta|]) / 2a = [2Racine(3) + iRacine(|-4])] / 2
= [ 2Racine(3) + 2i ] / 2 = Racine(3) + i

f(z) = 0 si z = Racine(3) - i ou z = Racine(3) + i ou z = 2i.


3) Pour prouver que les 3 points sont sur le même cercle, je cherche leur module : s'ils ont tous le même module soit le même rayon à l'origine, alors ils sont sur le même cercle.

Pour z₁ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (-1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₂ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ (Racine(3))² + (1)² ] = Racine(3 + 1) = Racine(4) = 2

Pour z₃ :
r = Racine[ x² + y²] = Racine[ 0² + 2²] = Racine(4) = 2 [même si on déterminait ici le module sans calculs]


4)

Citation :

Pour la dernière question, un carré étant un quadrilatère ayant plus de propriété qu'un losange (diagonale de mêem longueur), avec ton raisonnement tu montrera bien qu'il s'agit bien d'un losange. Tu pourrait aussi dire qu'il s'agit d'un parallélogramme dont ses diagonales se coupent perpendiculairement mais cela complique trop les choses ici.

Pour prouver que OM₁M₂M₃ est un losange, je vais prouver que ces 4 côtés sont égaux :

Je vais prouver que les vecteurs OM₃ et M₁M₂ sont égaux :

OM₃ (avec notation de vecteur) = z_M3 - z₀
= 2i - 0 = 2i
M₁M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M1
= Racine(3) + i - (Racine(3) - i) = Racine(3) + i - Racine(3) + i = 2i

--> OM₃ et M₁M₂ sont donc égaux.


Je vais prouver que les vecteurs OM₁ et M₃M₂ sont égaux :

OM₁ (avec notation de vecteur) = z_M1 - z₀ = Racine(3) - i - 0 = Racine(3) - i
M₃M₂ (avec notation de vecteur) = z_M2 - z_M3 = Racine(3) + i - 2i = Racine(3) -i

--> --> OM₁ et M₃M₂ sont donc égaux. PAS UTILE!


Ici, j'ai prouvé que les côtés égaux égaux deux-à-deux donc, OM₁M₂M₃ est un parallélogramme.

Pour prouver que OM₁M₂M₃, je dois maintenant prouver que deux côtés consécutifs ont la même longueur :

Je dois ici calculer la norme de deux vecteurs consécutifs pour prouver que ma figure est belle et bien un losange :

OM₁ = z_M1 - z₀ = Racine(3) - i
r = Racine( x² + y² ) = Racine[ (Racine(3))² + 1²] = Racine[ 3 + 1] = Racine(4) = 2

OM₃ = z_M3 - z₀ = 2i
r = Racine[x² + y²] = Racine[ 2² + 0²] = RAcine(4) = 2

Donc OM₁ et OM₃ ont ma même longueur... DONC :
OM₁M₂M₃ est un losange!!!!!!

Nickel !

Rien à redire mis à par ta phrase de conclusion sur les côté égaux deux à deux vu qu'on a montrer qu'on avait deux vecteurs égaux en fait ce qui suffit pour avoir un parallèlogramme

Super! Merci beaucoup pour ton aide!