Suite complexe...

Salut!
Me revoici (encore) pour un exercice sur les complexes et les suites. Ici, tout se passe bien jusqu'à la dernière question qui bloque encore un peu... J'aurais donc besoin d'un petit coup de main stp.

Voici l'énoncé :



1. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; u ; v). On considère la suite des affixes (z_n) définie par :


Calculer le module et l'argument de [(1 + iRacine(3)) / 4], l'écrire sous forme trigonométrique.

2. Calculer z₁, z₂, z₃ et vérifier que z₃ est réel.

3. Placer dans le plan les points M₀, M₁, M₂, M₃ d'affixes z₀, z₁, z₂, z₃.

4. pour tout entier naturel n :

a) Calculer le rapport [ z_n+1 - z_n ] / z_n+1 .
b) En déduire que le triangle OM_nM_n+1 est rectangle et que M_nM_n+1 = [ Racine(3) ]OM_n+1




1)
[1 + iRacine(3)] / 4 = 1/4 + i[Racine(3)/4]

r = Racine( x² + y² ) = Racine[ (1/4)² + (Racine(3)/4)² ] = Racine[ (1/16) + (3/16)] = Racine[4/16] = racine(1/4) = 1/2.

cos(Teta) = x / r = (1/4) / (1/2) = (1/4) * (2/1) = 2/4 = 1/2
sin(Teta) = y / r = (Racine(3)/4) / (1/2) = [Racine(3) / 4] * (2/1) = (2Racine(3))/4 = Racine(3)/2

[1 + iRacine(3)] / 4 aura donc pour module 1/2 et pour argument Pi/3.


Forme trigonométrique : z = (1/2) [ cos(pi/3) + isin(Pi/3)]


2)
z₀ = 8

--> z₁ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * 8 = [ (8 + 8iRacine(3)) / 4] = 2 + 2iRacine(3).

--> z₂ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * (2 + 2iracine(3)) = [ ( 2 + 2iRacine(3) + 2iRacine(3) + 2i² * 3) / 4] = [ (4iRacine(3) + 2 -6) / 4] = [ (-4 +4iRacine(3)) / 4] = -1 + iRacine(3).

--> z₃ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * (-1 + iRacine(3)) = [ (1 + iRacine(3)) * (-1 + iRacine(3)) ] / 4 = [ -1 +iRacine(3) - iRacine(3) + i² *3] / 4 = [( -1 -1*3) /4] = (-1 -3) / 4 = -4/4 = -1.

------> Donc z₃ est un réel!!

3) J'ai placé les points sur un graphique mais, y-a-t'il une méthode particulière ou alors, je fais de l'à peu près?

4) ici, je bloque, je ne sais pas par où commencer.....


Voilà donc pour cet exercice. Je pense avoir bien avancé mais, la dernière question me bloque pas mal j'avoue...
Merci d'avance!

Bonsoir,

La première et la deuxième question sont tout à fait justes!

La troisième question, tu peux les placer à peu près si tu veux mais tu peux aussi les placer de façon exact en utilisant la forme trigonométrique de chaque complexe à placer vu qu'avec le module et l'argument on peut placer de manière précise un complexe.

Pour la question 4), sachant qu'on te donne z_n+1 en fonction de z_n et vu la forme de z_n+1, tu sais déjà qu'en remplaçant tout bêtement z_n+1 par sa valeur, tu vas pouvoir simplifier par z_n et ainsi retrouver un complexe basique.

pour la question b), il faut se rappeler des liens entre des modules et des arguments d'un complexe et l'aspect géométrique tel que des angles et des distance.

Je te laisse pour le moment approfondir ceci et te souhaite bon courage.

Très bien pensé pour la question 3, ça m'était pas venu à l'esprit

Citation :

Pour la question 4), sachant qu'on te donne z_n+1 en fonction de z_n et vu la forme de z_n+1, tu sais déjà qu'en remplaçant tout bêtement z_n+1 par sa valeur, tu vas pouvoir simplifier par z_n et ainsi retrouver un complexe basique.

Pour la question b), il faut se rappeler des liens entre des modules et des arguments d'un complexe et l'aspect géométrique tel que des angles et des distance.

4) a) Oui, on le voit bien quand on me demande z₁ etc... En gros , je remplace Z_n+1 par sa valeur et je fais de même pour z_n et je vois ce que ça donne non?

On ne te donne pas z_n. Donc tu remplaces z_n+1 par la valeur qu'on te donne et ensuite tu vois ce que ça donne.

Les suites complexes se gère exactement de la même manière que les suites réelles mis à part qu'on travaille pas dans le même ensemble tout simplement.

Bon courage!

Voici pour la question 4)a) :

(z_n+1 - Z_n) / z_n+1
= [ [((1+iRacine(3))/4) * z_n)] - Z_n ] / [ (1 + iRacine(3)) / 4) * z_n ]
= [ z_n ( (1 + iRacine(3)) / 4) - 1)] / [ z_n (1 + iRacine(3)) / 4) ]
= (1 + iRacine(3) - 4) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) * ( 4 / 1 + iRacine(3))
= (-12 + 4iRacine(3)) / (4 + 4iRacine(3))

Je pensais aboutir à une écriture déjà vue ou autre mais là, je ne vois pas du tout quoi faire de ça...

Alors on peut encore grandement simplifier cette expression ne fait.

Il faudrait donner l'expression algébrique de ce complexe pour que ça devienne intéressant mais avant de commencer à multiplier par le conjugué, simplifie par 4 sinon tu va galérer .

Bon courage!

C'est ce que je voulais faire mais, j'y arrivais pas... Je vais retenter :

4)a)
(z_n+1 - Z_n) / z_n+1
= [ [((1+iRacine(3))/4) * z_n)] - Z_n ] / [ (1 + iRacine(3)) / 4) * z_n ]
= [ z_n ( (1 + iRacine(3)) / 4) - 1)] / [ z_n (1 + iRacine(3)) / 4) ]
= (1 + iRacine(3) - 4) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) * ( 4 / 1 + iRacine(3))
= (-12 + 4iRacine(3)) / (4 + 4iRacine(3))
= [-3 + iRacine(3)] / [ 1 + iRacine(3)]

Ca me semble juste!

Je vais donner l'expression algébrique de ce complexe en employant son conjugué :

[-3 + iRacine(3)] / [ 1 + iRacine(3)]
= [ (-3 + iRacine(3)) * (1 - iRacine(3))] / [(1+iRacine(3)) * (1 - iRacine(3))]
= [ -3 + 3iRacine(3) + iRacine(3) - i²*3 ] / (1 + 3)
= [-3 + 4iRacine(3) +3] / 4 = (4iRacine(3)) / 4 = iRacine(3)

Ca semble mêm plus que juste vu que c'est juste .

Alors maintenant, il va falloire faire le lien entre ce calcul là et une mesure d'angle ainsi qu'une mesure de distance pour la dernière question.

Bon courage!

1)
[1 + iRacine(3)] / 4 = 1/4 + i[Racine(3)/4]

r = Racine( x² + y² ) = Racine[ (1/4)² + (Racine(3)/4)² ] = Racine[ (1/16) + (3/16)] = Racine[4/16] = racine(1/4) = 1/2.

cos(Teta) = x / r = (1/4) / (1/2) = (1/4) * (2/1) = 2/4 = 1/2
sin(Teta) = y / r = (Racine(3)/4) / (1/2) = [Racine(3) / 4] * (2/1) = (2Racine(3))/4 = Racine(3)/2

[1 + iRacine(3)] / 4 aura donc pour module 1/2 et pour argument Pi/3.


Forme trigonométrique : z = (1/2) [ cos(pi/3) + isin(Pi/3)]


2)
z₀ = 8

--> z₁ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * 8 = [ (8 + 8iRacine(3)) / 4] = 2 + 2iRacine(3).

--> z₂ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * (2 + 2iracine(3)) = [ ( 2 + 2iRacine(3) + 2iRacine(3) + 2i² * 3) / 4] = [ (4iRacine(3) + 2 -6) / 4] = [ (-4 +4iRacine(3)) / 4] = -1 + iRacine(3).

--> z₃ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * (-1 + iRacine(3)) = [ (1 + iRacine(3)) * (-1 + iRacine(3)) ] / 4 = [ -1 +iRacine(3) - iRacine(3) + i² *3] / 4 = [( -1 -1*3) /4] = (-1 -3) / 4 = -4/4 = -1.

------> Donc z₃ est un réel!!

3) Graphique

4)a)
(z_n+1 - Z_n) / z_n+1
= [ [((1+iRacine(3))/4) * z_n)] - Z_n ] / [ (1 + iRacine(3)) / 4) * z_n ]
= [ z_n ( (1 + iRacine(3)) / 4) - 1)] / [ z_n (1 + iRacine(3)) / 4) ]
= (1 + iRacine(3) - 4) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) * ( 4 / 1 + iRacine(3))
= (-12 + 4iRacine(3)) / (4 + 4iRacine(3))
= [-3 + iRacine(3)] / [ 1 + iRacine(3)]

Ca me semble juste!

Je vais donner l'expression algébrique de ce complexe en employant son conjugué :

[-3 + iRacine(3)] / [ 1 + iRacine(3)]
= [ (-3 + iRacine(3)) * (1 - iRacine(3))] / [(1+iRacine(3)) * (1 - iRacine(3))]
= [ -3 + 3iRacine(3) + iRacine(3) - i²*3 ] / (1 + 3)
= [-3 + 4iRacine(3) +3] / 4 = (4iRacine(3)) / 4 = iRacine(3)

Je dois calculer le module et l'argument pour trouver Z²⁰⁰⁷??

Hmmm, je pense que tu t'es tromper d'exercice là .

Z²⁰⁰⁷ c'est pour un autre exercice.

Ici, on doit montrer que le triangle et rectangle et calcul la distance M_nM_n+1.

Je te laisse reprendre .

Oups... Désolé...


1)
[1 + iRacine(3)] / 4 = 1/4 + i[Racine(3)/4]

r = Racine( x² + y² ) = Racine[ (1/4)² + (Racine(3)/4)² ] = Racine[ (1/16) + (3/16)] = Racine[4/16] = racine(1/4) = 1/2.

cos(Teta) = x / r = (1/4) / (1/2) = (1/4) * (2/1) = 2/4 = 1/2
sin(Teta) = y / r = (Racine(3)/4) / (1/2) = [Racine(3) / 4] * (2/1) = (2Racine(3))/4 = Racine(3)/2

[1 + iRacine(3)] / 4 aura donc pour module 1/2 et pour argument Pi/3.


Forme trigonométrique : z = (1/2) [ cos(pi/3) + isin(Pi/3)]


2)
z₀ = 8

--> z₁ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * 8 = [ (8 + 8iRacine(3)) / 4] = 2 + 2iRacine(3).

--> z₂ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * (2 + 2iracine(3)) = [ ( 2 + 2iRacine(3) + 2iRacine(3) + 2i² * 3) / 4] = [ (4iRacine(3) + 2 -6) / 4] = [ (-4 +4iRacine(3)) / 4] = -1 + iRacine(3).

--> z₃ = [[ 1 + iRacine(3)] /4] * (-1 + iRacine(3)) = [ (1 + iRacine(3)) * (-1 + iRacine(3)) ] / 4 = [ -1 +iRacine(3) - iRacine(3) + i² *3] / 4 = [( -1 -1*3) /4] = (-1 -3) / 4 = -4/4 = -1.

------> Donc z₃ est un réel!!

3) Graphique

4)a)
(z_n+1 - Z_n) / z_n+1
= [ [((1+iRacine(3))/4) * z_n)] - Z_n ] / [ (1 + iRacine(3)) / 4) * z_n ]
= [ z_n ( (1 + iRacine(3)) / 4) - 1)] / [ z_n (1 + iRacine(3)) / 4) ]
= (1 + iRacine(3) - 4) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) / (1 + iRacine(3)) / 4)
= (-3 + iRacine(3)) / 4) * ( 4 / 1 + iRacine(3))
= (-12 + 4iRacine(3)) / (4 + 4iRacine(3))
= [-3 + iRacine(3)] / [ 1 + iRacine(3)]

Ca me semble juste!

Je vais donner l'expression algébrique de ce complexe en employant son conjugué :

[-3 + iRacine(3)] / [ 1 + iRacine(3)]
= [ (-3 + iRacine(3)) * (1 - iRacine(3))] / [(1+iRacine(3)) * (1 - iRacine(3))]
= [ -3 + 3iRacine(3) + iRacine(3) - i²*3 ] / (1 + 3)
= [-3 + 4iRacine(3) +3] / 4 = (4iRacine(3)) / 4 = iRacine(3)


b) Je dois prouver que OM_nM[sub]n+1[/suv] est rectangle... Je suppose que je dois employer le rapport que jviens de calculer mais à part ça...

En effet, nous on aimerait bien montrer que (M_n+1M_n,M_n+1O)=Pi/2 par exemple.

Mais quel est le lien entre un angle orienté et les complexes ?

Euh... la notation exponentielle

Un argument c'est un angle orienté.

Donc notre angle orienté est l'argument de quel complexe d'après toi?

e^iPi/2

On cherche à exprimer à l'aide des complexes cette angle orienté là:

(M_n+1M_n,M_n+1O)

On ne sait pas encore qu'il est égaleà Pi/2, c'est ce qu'on cherche à montrer justement pour montrer que notre triangle est bien rectangle.

Donc quel est le lien avec la question a) et cette angle orienté là ?

En a, on a l'expression de cet angle

En complexe en effet, on a l'expression de cette angle. Utilise la relation de Chasle si tu veux la retrouver v uqu'on sait que l'argument de l'affixe d'un vecteur c'est l'angle qu'il forme par rapport à l'axe des réels.

Bon courage!

Je vois ce que tu veux dire mais, l'appliquer est plus difficile...

Je dois retrouver l'expression du 4)a)

Citation :

Utilise la relation de Chasle si tu veux la retrouver vu qu'on sait que l'argument de l'affixe d'un vecteur c'est l'angle qu'il forme par rapport à l'axe des réels.

Je dois trouver l'argument de l'angle orienté : (Mⁿ⁺¹Mⁿ,Mⁿ⁺¹O) mais après, je ne vois pas...

Bonsoir,

Alors reprenons la démarche ensemble:

On cherche donc à exprimer ceci:
(M_n+1M_n,M_n+1O)

Que savons-nous?

M_n+1M_n à pour affixe z_n-z_n+1
M_n+1O à pour affixe 0-z_n+1


A partir de là, on sait que l'argument d'un complexe z associé à un point M est égale à l'angle (i,OM) avec i le vecteur directeur de l'axe des réels.

On sait aussi par extension que si MN à pour affixe z, alors Arg(Z)=(i,MN)


Maintenant revenons à notre angle orienté et appliquons la relation de Chasles pour faire intervenir le vecteur i cela nous donne:

(M_n+1M_n,M_n+1O)=(M_n+1M_n,i) + (i,M_n+1O)

Donc (M_n+1M_n,M_n+1O)= -(i,M_n+1M_n) + (i,M_n+1O)

D'après ce qu'on vient de dire, on sait que:
(i,M_n+1O)= Arg(0-z_n+1) et (i,M_n+1M_n)= Arg(z_n-z_n+1)


Conclusion, (M_n+1M_n,M_n+1O)= -Arg(-z_n+1) + Arg(z_n-z_n+1)

Or d'après les propriétés sur les arguments celà nous donne:

(M_n+1M_n,M_n+1O)= Arg[(z_n+1-z_n)/z_n+1]


Je te laisse conclure sur l'exercice mais ce n'est pas ce qu'il y a de plus important ici car cette méthode de calcul d'angle est vraiment très intéressante et très "puissante" (avec juste un complexe on a accès à des angles et des distances).

Bon courage!

On cherche à exprimer cet angle :


On sait que :

M_n+1M_n a pour affixe z_n-z_n+1
M_n+1O à pour affixe 0-z_n+1

Citation :

A partir de là, on sait que l'argument d'un complexe z associé à un point M est égale à l'angle (i,OM) avec i le vecteur directeur de l'axe des réels.

On sait aussi par extension que si MN à pour affixe z, alors Arg(Z)=(i,MN)

Je ne comprends pas ton histoire avec i.

Je rapporte le plan complexe au repère (O,i,j) avec i vecteur unitaire sur l'axe des réels et j vecteur unitaire sur l'axe des imaginaires purs.

Si je prend M(z) dans mon plan complexe, alors:

|z|= OM
Arg(z)=(i,OM)

C'est la base du lien entre les complexes et la géométrie. Est-ce que ceci te dis quleque chose?

Si ce n'est pas le cas, on peut toujours montrer que notre triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore mais vu comment est poser la question, je ne pense pas qu'il faille le faire dans ce sens là.

Bon courage!

Oui voilà! J'appelais u l'axe des abscisses et v celui des ordonnées donc des imaginaires donc le i me surprenait

Reprenons :

On cherche à exprimer cet angle :


On sait que :

M_n+1M_n a pour affixe z_n-z_n+1
M_n+1O à pour affixe 0-z_n+1

Citation :

A partir de là, on sait que l'argument d'un complexe z associé à un point M est égale à l'angle (i,OM) avec i le vecteur directeur de l'axe des réels.

On sait aussi par extension que si MN à pour affixe z, alors Arg(Z)=(i,MN)

J'emploie ici la relation de Chasles pour faire apparaître le vecteur i représentant donc l'axe des abscisses :

(M_n+1M_n,M_n+1O)=(M_n+1M_n,i) + (i,M_n+1O)

ici, je ne saisi pas trop la décomposition... Je verrais mieux si je fais une figure avec des valeurs de z genre z₂ etc??

Oui tu peux faire une figure pour visualiser les choses si tu veux mais n'oublie pas qu'on cherche à faire une démonstration dan le cas générale donc il ne faudra pas trop te fier à ta figure.

En fait, soit tu le vois formellement comme étant la relation de Chasle sur les angles en faisant intervenir le vecteur qui nous intéresse c'est à dire i ou u comme tu veux. Soit tu le vois géométriquement en le voyant comme une soustraction des deux angles pour déduire le troisième. après c'est comme tu veux.

Ce qui fera marcher notre exercice après c'est cette propriété là:

On sait aussi par extension que si MN à pour affixe z, alors Arg(Z)=(i,MN)

Bon courage!

La figure est faite. On voit tout de suite mieux et j'ai compris le truc.
Je reprends :


On cherche à exprimer cet angle :


On sait que :

M_n+1M_n a pour affixe z_n-z_n+1
M_n+1O à pour affixe 0-z_n+1

Citation :

A partir de là, on sait que l'argument d'un complexe z associé à un point M est égale à l'angle (i,OM) avec i le vecteur directeur de l'axe des réels.

On sait aussi par extension que si MN à pour affixe z, alors Arg(Z)=(i,MN)

J'emploie ici la relation de Chasles pour faire apparaître le vecteur i représentant donc l'axe des abscisses :

(M_n+1M_n,M_n+1O)=(M_n+1M_n,i) + (i,M_n+1O)
Donc (M_n+1M_n,M_n+1O)= -(i,M_n+1M_n) + (i,M_n+1O)

On peut donc faire ceci :

(i,M_n+1O)= Arg(0-z_n+1) et (i,M_n+1M_n)= Arg(z_n-z_n+1)
Où passent les i?