Suite complexe...

Bonjour,

Ma notation n'est pas la mieux adaptée vu que i a une signification en complexe. Ici lorsque je parle de i c'est du vecteur directeur de l'axe des réels mais on l'appelle le plus souvent u pour éviter justement cette confusion.

Donc ici ce que tu as fais est tout à fait juste mais à ta place je mettrai les vecteurs en gras pour éviter les confusion:

Citation :

(i,M_n+1O)= Arg(0-z_n+1) et (i,M_n+1M_n)= Arg(z_n-z_n+1)

Donc maintenant que vaut l'angle (M_n+1M_n,M_n+1O) d'après tout ce qu'on a dit?

Et ensuite, n'oublie pas que Arg(z)-Arg(z')=Arg(z/z') ce qui va te permettre normalement de voir la relation entre la question a) et la question b).

Bon courage!

DONC
(M_n+1M_n,M_n+1O) = - Arg(-z_n+1) + Arg(z_n-z_n+1)

Citation :

Arg(z)-Arg(z')=Arg(z/z')

DONC :

(M_n+1M_n,M_n+1O)= Arg[(z_n+1-z_n)/z_n+1]

On retrouve donc le rapport calculé au a) et qui est égal à : iRacine(3)

Je pense qu'il s'agit d'une erreur de recopiage mais je précise au cas où:

Citation :

- Arg(-z_n+1) + Arg(z_n-z_n+1)

Il n'y a pas de "-" dans l'argument! Il est seulement devant l'argument.

Sinon, on retrouve en effet ce qu'on avait calculé en a). Donc on peut calculer sont argument et conclure sur le fait que notre triangle soit bel et bien rectangle je pense.

Sinon, pour la deuxième partie de la question, il faut se souvenir qu'à partir du moment où on connaît l'affixe d'un vecteur on connais aussi sa norme (ou la longueur du vecteur si on veut le dire ainsi). Ceci devrait pouvoir te permettre de calculer la distance qu'on te demande et d'en déduire l'égalité je pense à partir de la question a).

Bon courage!

Je dois donc calculer l'argument de iRacine(3) :

r = Racine [ x² + y² ] = [ 0² + (Racine(3))² ] = Racine(3)

cos(Têta) = x/r = 0
sin(Têta) = y/r = acine(3) / Racine(3) = 1

DONC : Angle de Pi/2.



b) Euh..

Alors on récapitule pour cette première moitier de la question b):

(M_n+1M_n,M_n+1O)= Arg[(z_n+1-z_n)/z_n+1]

On retrouve donc le rapport calculé au a) et qui est égal à : iRacine(3)

Donc: (M_n+1M_n,M_n+1O)= Arg[i*Racine(3)]

Or Arg[i*Racine(3)])=Pi/2 (d'après ton dernier message)

Conclusion ?

DONC, OM_nM_n+1 est rectangle!

Est rectangle en un point particulier!

Ne pas oublier le rectangle en ... sinon on perd une information capitale dans certain exercice.

Passons maintenant à la deuxième partie de notre question b):

Citation :

M_nM_n+1 = [ Racine(3) ]OM_n+1

Exprime la longueur M_nM_n+1 en fonction de z_n et z_n+1. De même pour la longueur OM_n+1 en fonction de z_n+1.

Conclure, en utilisant ce qui a été fait en a) et ce qu'on connaît sur les propriétés du module.

Bon courage!

Citation :

Exprime la longueur M_nM_n+1 en fonction de z_n et z_n+1. De même pour la longueur OM_n+1 en fonction de z_n+1.

M_nM_n+1 = z_n+1 - z_n non?

Et non!

Contre-exemple flagrant: le nombre que tu écris peut être complexe. Or une longueur est une distance positive réelle et même très concrète (longueur de ton bureau, de ta table...).

Ce n'est pas parce qu'on est dans le plan complexe que les notions telles qu'un angle, une distance perdent leur sens. Heureusement d'ailleurs, sinon le plan complexe n'aurait aucun intérêt. L'ensemble C est un ensemble qui nous sert à effectuer des opérations plus simples et sans avoir le problème de racines carrés négatives. Cependant, il en reste pas moins véridique que si notre problème a des solutions ou une notions réelles alors celles-ci doit le rester à la fin même si la résolution passe par l'ensemble C à un moment où à un autre.

La première fois qu'on a utilisé les complexe c'était pour résoudre des équations du troisième degré par radicaux c'est à dire en essayant de trouver des relation netre les racines et les coefficient de notre polynôme. La résolution n'étant pas forcément faisable dans R, on introduisit i et donc l'ensemble C pour effectuer la résolution. Mais il fallait vérifier que si notre équation de départ avait 3 solutions réelles alors les trois solution finales en utilisant le passage dans C étaient toujours réelles sinon notre résolutions n'avait pas d'intérêt.

Ce petit rappel historique étant fait, ce que tu donnes est l'affixe du vecteur et non la longueur de celui-ci ce qui change un brin la solution.

Je te laisse reprendre le fil de ton raisonnement.

Bon courage!

Ben, je peux avoir la longueur à partir des affixes?

C'est tout à fait juste et quel est le lien entre la longueur d'un vecteur et son affixe?

longueur = Racine[ (y2-y1)² + (x2-x1)²] ?

Nous sommes en complexe là, que représente x1, y1, x2, y2 ?????

Si je te donne un point M d'affixe complexe z, comment calculeras-tu la distance OM ?

Je me sers des affixes mais après...

Ok donc tu n'a aucune idée du lien qu'il existe entre un complexe et la géométrie, j'imagine?


Rappels:


On rapporte le plan complexe à un repère orthonormée (O,u,v) et on considère un point M du plan.

Si on considère notre point M dans un repère orthonormée réel, on va dire qu'il est placé grâce à son abscisse et à son ordonnée. Je peux donc dire que mon point M est positionné grâce au couple (x,y) avec x son abscisse et y son ordonnée.

Maintenant, je ne veux uniformiser l'écriture et par conséquent, je ne voudrais plus voir le positionnement de mon point M par un couple (x,y) mais par une affixe complexe z. Pour celà, je vais considérer un plan complexe et au lieu de voir les point comme des couples (x,y) je vais les voir comme des élément positionné seulement avec la donnée d'un complexe z que je vais écrire z=x + i*y.

A partir de là, on constate rapidement que pour garder une certaine cohérence d'écriture, mon ancien axe des abscisses va s'appeler axe des réels et mon ancien axe des ordonnées, l'axe des imaginaires purs.

Et on constate qu'à tous complexe z=x+i*y je peux faire correspondre un couple (x,y) et inversement à tout comple (x,y) je peux faire correspondre un complexe z=x+i*y.

On dit ici que je définis une "bijection" c'est à dire une fonction qui admet une réciproque et qui a un couple (x,y) fait correspondre un complexe z=x+i*y


Maintenant que le lien est établi et concret, on peut travailler dessus:

On avait vu que dans un repère réel, on pouvait aussi positionner un point grâce à sa distance à l'origine et à l'angle qu'il fait avec l'axe des abscisses c'est à dire grâce à OM et à (i,OM).

Et bien, il y a une corespondance dans le plan complexe vu qu'on peut aussi placer un point graceà sa distance à l'origine et à l'angle par rapport à l'axe des réels c'està dire grâce à OM et à (u,OM).

Dans R, OM= Racine(x²+y²) et dans C, on a défni ce qui s'appelle le module d'un complexe et qui nous dit que |z|= Racine(x²+y²) si z=x+i*y (ceci se démontre rigoureusement en utilisant la fonction qui permet de passer d'un couple à un complexe).

Il y a la même analogie pour l'angle.


A partir de là, on constate que dans le plan complexe, il y a conservation des notions d'angles et de distances réels. Et par conséquent la norme d'un vecteur AB d'affixe z' n'est autre que la distance AB=|z'| et l'angle (u,AB)= Arg(z').


La théorie des complexes est en fait très géométrique et il faut donc avoir compris cette notions d'angles et de distances si on veut bien comprendre qu'elle est l'utilité d'un nombre complexe mais surtout de l'écrire sous forme trigonométrique ou encore sous forme exponentielle.


Est-ce plus clair ainsi?

Oui, ça je comprends mais, je ne vois pas comment l'employer dans le cas que l'on a en fait...

On cherche une relation entre la longueur M_n+1M_n et la longueur OM_n+1.

Il faut donc commencer par regarder à quoi elles sont égales concrètement puis chercher une relation avec la question a) par exemple.

OM_n+1 vaudra z_Mn+1 non?

Une distance n'est pas égale à un complexe, non!!

OM_n+1 est une longueur tout ce qu'il y a de plus réelle. L'affixe du vecteur OM_n+1 est z_n+1 je suis d'accord mais que vaut sa longueur en fonction de z_n+1 justement ?

Je vois pas...
J'arrive toujours pas à passer des affixes aux longueurs...

Alors je vais faire autrement .

Je prend un point M d'affixe z, que représente géométriquement |z| ?

|z| représente le module soit le rayon du cercle de centre O et de rayon OM

Alors c'est ça sauf que ça me paraît bien confus quand tu l'écris.

Concrètement, si |z| c'est le rayon (....) rayon OM => si z est l'affixe de M alors |z|=OM tout simplement.

Maintenant, si je prend A d'affixe z_A et B d'affixe z_B, que représent |z_B-z_A| ?

|z_b-z_a| permet de calculer l'affixe du vecteur AB

L'affixe du vecteur AB c'est z_B-z_A et moi j'aimerai savoir à quoi correspond le module de cette affixe là.