Angles

Bonjour à tous! C'est encore moi!
Alors cette fois-ci, il s'agit de la 3ème question d'un exercice où je bloque. Je vous cite l'exercice en son entier pour vous mettre dans le contexte.

1) Exprimer les coordonnées cartésiennes (x,y,z) d'un pt M en fct de ses coordonnées sphériques (r,O,g) O=téta et g= gamma
x=rsinOcosg
y=rsinOsing
z=rcosO

2) En déduire l'expression de l'angle B entre 2vecteurs OM1(r1,O1,g1) et OM2(r2,O2,g2) en fct de O1,g1,O2,g2.
On rappelle les expressions des produits scalaires de deux vecteurs:
OM1.OM2=x1x2+y1y2+z1z2=r1r2cosB
J'ai trouvé: OM1.OM2=r1r2[cos(g1-g2)+cos(O1-O2)]=r1r2cosB
B=g1-g2+O1-O2

3) Quelle est la longueur du trajet de Paris (49° Nord, 2° Est) à Vancouver (49° Nord, 237° Est)
- en suivant le cercle de latitude constante,
- selon l'arc le plus direct (dans le plan des vecteurs (OP,OV) repérant les deux villes)?
On rappelle que la longueur d'un arc de cercle est le produit du rayon du cercle par l'angle exprimé en radians. Le rayon moyen de la Terre est 6378km.

Alors est-ce qu'on doit noter x la longitude et y la latitude? Et ensuite calculer comme dans les questions précédentes?

Bonjour,

La question 1) est tout à fait juste.

Par contre la question 2) ne l'est pas. En effet, tu arrives à:

Cos(g1-g2)+Cos(O1-O2)=CosB

Et tu en conclus que B=g1-g2+O1-O2

Or il faut savoir que par exemple:

Cos(Pi)+Cos(Pi)=-2 n'est pas du tout égale à Cos(2*Pi)=1

En fait, ce qu'il faut savoir c'est que la seul chose dont tu as le droit de te servir est la propriété suivante:

Cos(A)=Cos(C) <=> C=A +2*k*Pi avec k dans Z

Or ici nous n'avons pas l'égalité entre deux cosinus.

Mais le problème vient de plus haut je pense car lorsqu'on éffectue toutes les multiplications, on obtient pour le membre de gauche:

r1*r2[Sin(O1)*Sin(O2)*Cos(g1)*Cos(g2)+Sin(O1)*Sin(O2)*Sin(g1)*Sin(g2) + Cos(O1)*Cos(O2)]

J'oublie la multiplication par r1*r2 car il y a une simplification avec le membre de droite et j'en profite pour mettre Sin(O1)*Sin(O2) en facteur dans les deux premier terme ce qui donne:

Sin(O1)*Sin(O2)*[Cos(g1)*Cos(g2)+Sin(g1)*Sin(g2)] + Cos(O1)*Cos(O2)

Et après simplification en utilisant le développement de Cos(g1-g2), on obtient:

Sin(O1)*Sin(O2)*Cos(g1-g2) + Cos(O1)*Cos(O2)

On a donc l'égalité suivante:

Sin(O1)*Sin(O2)*Cos(g1-g2) + Cos(O1)*Cos(O2)=Cos(B)

Mais à partir de là, on aimerait avoir B en fonction de O1, O2, g1 et g2 et par conséquent soit on arrive à se ramener à l'égalité de deux Cosinus. Soit, tu connaît la fonction ArcCosinus et à ce moment là, on peut conclure directement à partir de l'égalité ci-dessus.


Sinon, pour la question 3), il faut se rappeler qu'on a fait deux question avant et qu'on nous suggère donc fortement de travailler en coordonnées sphérique et non en coordonnées cartésiennes. Il faut donc savoir en coordonnées sphérique à quoi correspont la lattitude et la longitude et on pourra ainsi en déduire la question 3) en utilisant la formule del a question 2).

Bon courage et n'hésite pas à demander des précision si quelque chose n'est pas clair.

Ah oui, j'avais fait une faute pour la 2)
Alors on a:

sinO1sinO2cos(g1-g2)+cosO1cosO2=cosB
or, sinO1sinO2=(1/2)[cos(O1-O2)-cos(O1+O2)]
cosO1cosO2=(1/2)[cos(O1-O2)+cos(O1+O2)]
On obtient alors:
(1/2)[cos(O1-O2)-cos(O1+O2)]cos(g1-g2)+(1/2)[cos(O1-O2)+cos(O1+O2)]=cosB
[1/2[cos(O1-O2)-cos(O1+O2)]][cos(g1-g2)-1]=cosB

Après je sais pas... Et je connais pas la fonction ArcCos

Alors tu vas rire mais je suis face au même problème que toi.

En effet, pour ma part, je m'arrête à la formule suivante:

Cos(B)= Sin(O1)*Sin(O2)*Cos(g1-g2)+Cos(O1)*Cos(O2)

Et ceci pour deux raisons:

- La première et non des moindres est que cette formule suffit totalement pour effectuer la dernière question ce qui me permet de m'interroger sur l'utilité d'aller plus loin dans un tel exercice.

- La deuxième étant que pour ma part, je ne vois pas du comment arriver à une égalité du type Cos....=Cos... pour pouvoir conclure. Et je me demande même si cela est réellement faisable de façon explicite mais je ne préfère pas m'avancer si jamais on te donne en correction une solution explicite pour trouver B en fonction des autres angles. ET d'ailleurs j'espère que tu viendras l'écrire ici si c'est le cas car on apprend autant de ses élèves qu'une élève apprend du professeur comme on dit.

Par conséquent pour ma part la question 2) serait de façon logique:

2) Exprimer le cosinus de l'angle formé OM₁ et OM₂ en fonction O1, O2, g1 et g2.

Par contre, tu pourrais me reprocher un manque de rigueur sur le fait de savoir si la solution existe réellement pour exprimer concrètement B en fonction des 4 autres angles. Et bien en fait, il y a un moyen théorique de montrer l'existence et ceci réside dans le fait que:

-1≤Sin(O1)*Sin(O2)*Cos(g1-g2)+Cos(O1)*Cos(O2)≤1

car -1≤Cos(B)≤1

Par conséquent, il existe un angle Ф tel que Cos(Ф)=Sin(O1)*Sin(O2)*Cos(g1-g2)+Cos(O1)*Cos(O2)
Donc Cos(Ф)=Cos(B)
Conclusion, B=Ф +2*k*Pi avec k dans Z et Ф dépend de O1, O2, g1 et g2.
D'où l'existence d'une solution.

On voit presque apparaître la fonction ArcCos ici mais ça sera pour plus tard .


Pour la question 3), on va donc se servir de notre formule trouvé en 2). Pour cela, il va falloir faire un repérage de nos deux villes de façon sphérique c'est à dire donner le lien entre la latitude, la longitude et O, g tout simplement.

Dès que cette identification aura été faite, il sera simple de pouvoir conclure car par exemple pour le premier point, on sait que la latitude reste constante, donc il y aura peut-être une simplification dans notre calcul.

Bon courage!

Slt! Dsl de ne rpdre que maintenant!

Alors si j'ai bien compris, O=49°, gP=2°, gV=237° et r=6378km

-Pour le cercle de latitude constante:
OP.OV=r²cosB
et cosB=sin²Ocos(gP-gV)+cos²O
=sin²49cos(2-237)+cos²49
=0.104
OP.OV=(6378²)*(0.104)
=4 230 603km
Ce qui me parait bien trop grand!

-Pour l'arc le plus direct que l'on note PV:
PV=rcosB
=6378*0.104
=663km
et celui-là est un peu petit!

Et maintenant, j'y comprend plus rien! J'ai essayé dans tous les sens mais je ne trouve tjs pas!
Et ne t'inquiète pas pour la correction, je te la montrerai dès que je l'aurai

Bonsoir,

Ne t'inquiète pas au niveau du timing, cela ne me gêne aucunement pour ma part.

Alors, il faut faire attention à une chose capital. De quoi parle-t-on lorsqu'on parle de O1 et O2 et de quoi parle-t-on lorsqu'on parle de latitude? Les deux angles ne sont pas les mêmes! Donc attention à bien faire des dessin au brouillon pour placer les angles car on a latitude=90-O c'est à dire que O=90-latitude

Ensuite, pour le calcul du produit scalaire est censé nous donner quoi concrètement? Une distance? C'est peu probable! En effet, un produit scalaire sert à déduire des distance lorsqu'on connais déjà le produit scalaire et qu'on le calcul d'une autre manière ce qui n'est pas le cas ici.

Alors que faire???

Et bien, on va déjà commencer par regarder ce qu'on nous dit:

Citation :

- en suivant le cercle de latitude constante,
- selon l'arc le plus direct (dans le plan des vecteurs (OP,OV) repérant les deux villes)?
On rappelle que la longueur d'un arc de cercle est le produit du rayon du cercle par l'angle exprimé en radians. Le rayon moyen de la Terre est 6378km.

Donc dans un premier temps, on constate que chercher des distances entre deux ville revient à calculer la longueur d'un arc car nous sommes sur la Terre (qu'on suppose sphérique) et par conséquent les distances sont des arcs de cercles tout simplement.

A partir de là, qu'est-ce qu'on nous dit?

Citation :

- en suivant le cercle de latitude constante,

C'est à dire qu'on se place sur la latitude égale à 49° et on va suivre bêtement notre cercle en partant de Paris pour aller jusqu'à Vancouver. Donc la distance au centre de la Terre, on nous la donne et il nous manque plus que l'angle entre les deux lorsqu'on reste sur la même latitude. Et bien lorsqu'on change pas de latitude, nous sommes donc sur un cercle parallèle à l'équateur, n'est-ce pas? C'est du concret donc autant l'utiliser un maximum .
Et les longitudes sont en fait l'angle qui est fait par rapport au méridien 0° c'est à dire Greenwich!
Donc l'angle entre nos deux villes est de combien de degré? (il n'y a pas de cosinus ou de sinus à calculer pour cette partie si tu as compris le raisonnement et sinon fait un dessin tu vas vite comprendre je pense ).

Nous ferons l'autre partie de la question juste après car il y a une légère erreur dans ta réponse mais qui sera vite corrigée normalement.

Bon courage!

-En suivant le cercle de latitude constante:

Je note PV l'arc de cercle et POV l'angle entre Paris et Vancouver:
PV=r*POV

On a POV= 237-2=235° soit en radian (je sais pas si on convertit comme ça): 235*2Pi/360=4.10

PV=6378*4.10
=26 159km

Voilà, en espérant que ce soit juste

C'est tout à fait juste!!

La conversion en radian est juste mais on peut aussi seulement le faire sur la moitié du cercle *Pi/180 mais c'est exactement la même chose (simple simplification par 2 ).

Alors maintenant passons à la deuxième partie de la question qui est pour celle-ci en rapport avec la question précédente. Pourquoi?

Car le produit scalaire utilise l'angle le plus cours entre deux points et ceci à cause de la deuxième façon de calculer un produit scalaire qui est à l'aide du projeté orthogonale sur une des deux droites. Car le projeté orthogonale est la distance la plus courte entre un point et une droite. Et donc l'angle ne sera que la coupe de la sphère par le plan contenant O, P et V et on prendra l'angle du côté du projeté orthogonale.

Concrètement, c'est comme si je prenais le segment partant de P et perpendiculaire à (OV) (j'appelle le point d'intersection H), il s'agit bien de mon projeté de P sur (OV) et je l'appelle donc PH. ET bien se segment, je le tord et l'allonge pour qu'il prenne la forme de la sphère et qu'il me dessine un arc entre O et P et c'est notre angle B du début. C'est pour cela qu'on dit qu'il s'agit de la distance la plus courte.

Ce procéder de distance minimale sur la Terre est très utile pour diriger nos avions tout simplement. Il y a d'autre contrainte à prendre en compte car la Terre n'est pas tout à fait sphérique et que dans l'exercice on considère qu'il n'y a pas de relief non plus. Mais cela te donne une application concrète de ton exercice qui je pense n'était que purement mathématique malgré l'application à la distance entre deux villes à la fin. Cela peut aussi être utile pour les train mais là, il y a encore plus de soucis car un train ne peut traverser la mer par exemple et à du mal à traverser les maisons ou les terrains privés mais c'est à partir du chemin minimale qu'on peut adapter en fonction du terrain un autre chemin qui sera tout aussi minimale. Ensuite vient des problèmes de direction du train car plus il fera de courbe et moins il ira vite mais c'est une autre application théorique de notre exercice. Mais il faut avouer que sa meilleur application reste le trajet d'un avion car il y a moins de contrainte à prendre en compte .


Bon avant de commencer les calculs, on espère trouver moins que 26 159 kms sinon le chemin le plus court serait plus long que le chemin en suivant la latitude, pas très cohérent tout de même.

Maintenant, passons au calcul ou plutôt au repérage. En effet, la longitude est bien équivalent à notre angle fait avec l'axe des abscisses dans notre repère sphérique. Par contre l'angle que tu as appelé g dans ton exercice et qui s'appelle le plus souvent Ф dans le repère sphérique est l'angle mesurée à partir de l'axe des côtes (c'est à dire l'axe des z).

Or le soucis c'est que les latitudes sont mesurées à partir de l'équateur c'est à dire du plan (xOy) ce qui n'est donc pas l'angle qui nous intéresse. Cependant, on sait que l'axe des côtes (Oz dirigé vers le pôle Nord) est perpendiculaire au plan (xOy) et par conséquent, l'angle qu'on veut utiliser n'est pas la latitude mais 90° moins la latitude. Je te laisse faire un dessin pour t'en convaincre.

A partir de là, nous pouvons calculer le cosinus de notre angle B en utilisant la formule du 2). Le résultat sera donnée par r*B (attention, il ne s'agit pas de faire r*Cos(B) mais bien r*B pour avoir la mesure de l'arc).

Bon courage!

Alors j'ai pas tt compris mais c'est pas grave!

Alors je calcule cosB:
cosB=sin²OcosPOV+cos²O

et donc O=90°-latitude
=90°-49°
=51°
cosB=sin²51cos235+cos²51
B=87°
On convertit en radian: 87*Pi/180=1.52

Et je note PV' l'arc de cercle le plus direct:
PV'=rB
=6378*1.52
=9702km
Le trajet est donc bien plus court!

Je vais te réexpliquer ça avec des schémas ça sera plus claire mais le temps de les faire, on va d'abord finir la question.

C'est presque bon en fait sauf que chez moi 49+51=100 et non 90, non ?

Sinon, le calcul était juste.

Bon courage pour finaliser et je te fait quelque chose d'intéressant sur le sujet par la suite.

Les schémas que je voulais faire ne sont pas faisable à partir de mon logiciel, donc je vais faire sans tout compte fait.

Ce qu'il faut voir dans cette exercice c'est qu'on va considérer la Terre comme une sphère et qu'on va vouloir aller de point à un autre sur la surface de la sphère (on n'a pas le droit de creuser pour aller plus vite ). A partir de là, il faut comprendre que notre bonne vieille Terre a été découpée il y a bien longtemps en longitudes et en latitudes.

Cette découpe repose sur un aspect purement géométrique à la base. En effet, en considérant la Terre comme une sphère, on va donc la découper en cercle successif parallèlement à un cercle de référence pour l'axe NOrd-Sud et pour l'axe Est-Ouest, on va faire faire des translations du cercle de référence.

Les cercles de référence pour la latitude et pour la longitude sont respectivement l'équateur et le méridien de Greenwich. C'est deux cercles passent par le centre de la terre et si on considère une coupe on aura donc deux disques contenant des diamètres de notre sphère. On appelle ces cercles des grand cercles car si on effectue une découpe, il aura toujours des disques contenant des diamètres de notre sphère initiale.

A partir de la, dans le sens du méridien de Greenwich, on va faire des rotation de ce cercle de départ tout au tour de notre sphère. Ce qui va donc effectuer une découpe totale de notre Terre en quartier comme une orange.

Par contre, pour découper la Terre en prenant comme référence l'équateur, on va faire une translation vers le Nord et vers le Sud de notre cercle équatorial. C'est à dire que la Terre ressemble donc à un empilement de couche dans le sens Sud-Nord en quelque sorte. On constate d'ailleurs que tous ces cercles (sauf l'équateur) ne passent pas par le centre de la Terre.

Par conséquent, lorsqu'on a une latitude, nous sommes sur un cercle qui est parallèle à l'équateur et qui ne passe pas par le centre de la Terre (qu'on peut appeler O par exemple). Plus précisément, si on fait un dessin, le centre du cercle est une translation (vers le Nord ou vers le Sud) du centre O de la Terre. Et lorsque nous sommes sur une longitude, nous sommes sur un cercle dont le centre est bien le centre de la Terre.


Avec ces quelque rappel, on constate que si on reste à latitude constante pour aller d'un point à un autre sur la sphère, on va donc parcourir une partie de notre cercle qui est parallèle à l'équateur. Par conséquent, c'est comme si, c'était mis dans le plan de notre latitude pour effectuer le calcul de notre distance.

Qu'est-ce qui change par rapport à l'autre calcul?

Dans l'autre calcul de distance, on va se placer non pas dans le plan de notre latitude mais dans le plan contenant le centre de la Sphère c'est à dire O. On constate que notre plan est incliné par rapport au plan contenant la latitude qui quant à lui était parallèle à l'équateur. On a donc intuitivement avoir moins de chemin à parcourir dans ce plan là que notre ancien plan car nous allons avoir un cercle donc le centre est le centre de la Terre.


Je pense que là, c'est sans doute plus clair pour comprendre les choses et tu auras plus de facilité à pouvoir faire toi même les dessins pour comprendre la démarche. Pour ce qui était de ma digression au niveau des applications concrètes de notre exercice, j'espère que c'était clair car, on reproche très souvent au mathématiques de manquer de concret mais pour une fois nous sommes dans une situation très concrète avec la minimisation des trajectoire de vol d'avion, donc autant en profiter .

Bon courage pour la suite!

Olala, moi et mes fautes d'étourderie!

Merci pour les explications mais les longitudes et les latitudes j'ai compris. En fait, jpense que c'est les coordonnées sphériques que je comprend pas. Je comprend pas pourquoi x=rsinOcosg, moi j'aurai mis direct, x=rcosg lol!
Pareil pour y=rsinOsing, j'aurai mis y=rsing et par contre z=rcosO je comprend

Bonjour,

Pour les coordonnées sphériques, il y a un moyen simple de les comprendre en fait.

En effet, tu connais les coordonnées polaires d'un point P dans un plan (xOy) par exemple: x=OP*Cos(O) et y=OP*Sin(O).

Le soucis du départ étant que nous ne sommes pas dans un plan mais nous sommes dans l'espace. Il faut donc commencer par se ramener dans le plan (xOy) et pour cela, on voit qu'il suffit de projeter notre point M dans ce plan là. Soit M' le projeté de notre point M dans le plan (xOy).

On a alors, OM'=OM*Sin(O) car l'angle (M'Ox)=O.

On a donc: x=(OM')*Cos(g), y=(OM')*Sin(g) et z=OM*Cos(g) (ceci est du à la projection sur l'axe z et sur le plan (xOy), je te laisse faire un dessin pour t'en convaincre qu'il s'agit bien d'un cosinus lorsqu'on projette sur l'axe (Oz) et d'un sinus lorsqu'on projette sur le plan (xOy)).

Lorsqu'on remplace OM' par sa valeur, on a:

x=OM*Sin(O)*Cos(g), y=OM*Sin(O)*Sin(g) et z=OM*Cos(O)

Et lorsqu'on pose OM=r, on retrouver bien nos coordonnées sphériques:

x=r*Sin(O)*Cos(g)
y=r*Sin(O)*Sin(g)
z=r*Cos(O)

En espérant que ceci sera plus clair.

Bon courage pour la suite!

Ok! Merci bcp pr ttes ces explications!
C'est vraiment gentil de ta part!! Je t'enverrai la correction! A bientôt!

Bonjour!

Voilà le scan de la correction!

Bonsoir,

Nous avions donc raison pour la question 2) mais j'avoue que la correction exagère de ne pas réduire en factorisant les deux premiers termes par Sin(O1)*Sin(O2)

Sinon, notre démarche pour la question 3) était celle de ta correction à première car même si je n'ai pas la fin, je pense pas qu'on est trouvé quelque chose de différent de la réponse.

En fait c'était cette fameuse question 2 qui nous gênait car c'est Cos(B) qu'on exprimait et non B comme demandé dans la question. Il y avait donc ambiguïté dans la question voir même erreur mis bon l'erreur a été vite corrigée vu qu'on ne pouvait pas aller plus loin sachant que même la correction a été moins loin que nous. Nous avons au moins revu les calculs de trigonométrie .

En tout cas tu peux comparer les raisonnements que je te donne et ceux de ta correction. Par contre ce que je trouve dommage c'est l'effet "poly" de la correction mais bon, comme on dit les professeurs ne peuvent pas tout faire en cours surtout en faculté où le programme à couvrir est déjà bien dense dans le temps imparti.

Bon courage pour la suite et si tu as des questions sur ta correction n'hésite pas non plus!