Bonsoir,
Alros je vais faire mal mais je dirai que le cercle lui-même n'a rien à voir avec les angles orienté
.
En effet, c'est le cercle
orienté qui donne un sens de rotation et donc permet de parler réellement d'angle orienté.
En fait,
pourquoi un cercle de rayon 1 dans un repère orthonormé?
Et bien l'avantage du cercle de rayon 1 c'est son rien direct avec Pi vu que sont préimètre fait exactement 2*Pi. Ainsi, il est plutôt naturel de dire que faire un tour dansl e sens inverse des aiguille d'une montre revient à parcourir le cercle de 2*Pi radians c'est à dire 360° tout bêtement. ET pour le sens de parcourt c'est une convention tout simplement car il y a deux moyen d'orienterle plan:
- soit de gauche vers la droite (sens des aiguilles d'une montre)
- soit de droite vers la gauche (ce qu'on appelle le sens trigonométrique)
Maintenant,
comment amener la notion de cosinus et de sinus dans un repère orthonormé via le cercle dit trigonométrique??
Le repère orthonormé, je vais lui doner un nom (O;
i,
j)
Et bien, on va prendre un point du cercle qu'on appelle M. Il a des coordonnées (x;y). Et je vais définir mon angle orienté comme étant l'angle forme par
i et
OM allant de
i vers
OM et je le note ainsi: (
i;
OM). On appelle aussi cela un angle de vecteurs (tout bêtement parce qu'il est entre deux vecteurs
).
Et maintenant, un peut de géométrie car nous avons défini en 3ème pour toi (en seconde avec les changements de programme maintenant) les cosinus et les sinus seulement dans des triangle rectangle. ET c'est donc ici qu'on va faire apparaître des triangle rectange et qu'on va utiliser le fait que le repère est orthonormé.
Alors, je projète M su l'axe des abscisses selon l'axe des ordonnées et j'appelle H ce projeté. Vu quel erepère est orthonormé, on a donc le fait que les deux axe sont perpendiculaires. Et nous savons que si deux droites sont parallèle, toutes perpendiculaires à l'une est perpendiculaire à l'autre (cela se démontre via le théorème des angles alternes-inernes d'ailleurs en passant). Ainsi, on trouve que (OM) est perpendiculaire à l'axe des abscisses.
Par conséquent, OMH est un triangle rectangle en H.
Si j'appelle, a l'angle (
i,
OM), on a donc par définition:
Cos(a)=OH/OM
Sin(a)=MH/OM
Or H a pour coordonnées (x;0) (par définition du projeté de M sur l'axe des abscisses). Ainsi, OH=x et MH=y
De plus, M appartient au cercle et O estl ecentre du cercle donc OM=1
En conséquence, on retrouve bien le fait que:
Cos(a)=x
Sin(a)=y
On lit donc bien les cosinus en abscisse et les sinus en ordonnée du point M.
En gros c'est toute la théorie qu'il faut avoir comme base pour commencer les angles orietnés et la manipulatino des angles orientés.
Est-ce que cela est plus clair maintenant?
Bon courage!
Lun 16 Nov - 21:14
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