Exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires

Salut!
Me voici pour un petit exercice sur le théorème des valeurs intermédiaires où je bloque un peu concernant la technique du balayage qu'il faut utiliser ici (enfin je pense). N'ayant franchement pas fait beaucoup de choses là-dessus (voir aucunes), j'aimerais bien comprendre comment ça marche surtout que, ça se raccroche à l'étude de fonctions.

Voici l'énoncé :



1. On pose f(x) = 5x³ + 8x - 1
Localiser les solutions de l'équation f(x) = 0 et donner un encadrement de celles-ci d'amplitude 0.01 en précisant soigneusement les intervalles utilisés.
2. Même exercice avec l'équation x⁴ = 32x - 48.
3. Même exercice avec l'équation x³ - 5x - 1.



Voici mes réponses :

1. f(x) = 5x³ + 8x - 1
--> Je calcule la dérivé de f(x) :
f'(x)=15x² + 8

--> Je dresse le tableau de signes de f'(x) :



15x² = 0
x = 0

J'en déduis donc la tableau de variations suivant :



Donc, x = 0 mais, je ne pense pas que ça soit bien rédigé...


Merci d'avance.

Bonsoir,

Je pense qu'il y a un peu de précipitation dans ta résolution. En effet, tu m'as montré des études de variation de courbe bien mieux faites que celle-ci.

Alors d'une part, un tableau de signe sur une addition ce n'est vraiment pas sérieux . En effet, si on avait trouvé 15x+8, on ne pouvait pas conclure un tableau de signe sur l'addition.

Un tableau de signe ne se fait que pour des formes factorisées car le signe d'une multiplication de plusieurs terme se déduit du signe de chacun des facteurs ce qui n'est pas le cas d'une addition.

J'espère que ceci sera plus clair sur l'utilité du tableau de signe mais surtout ses limites.

Donc pour déterminer le signe, il s'agit d'un polynôme de degré 2 et par conséquent, on a beaucoup de moyen pour déterminer le signe de celui-ci par rapport à ses racines.

D'ailleurs, c'est l'erreur sur la démarche poru trouver le signe qui t'as induit en erreur pour trouver le zéro de la dérivée car tu as résolution 15x²=0 au lieu de 15x²+8=0.

De plus, le fait de tomber directement sur le résultat aurait du te mettre la puce à l'oreille sur le fait qu'il y avait une erreur quelque part vu que le but de ton exercice est de te familiariser avec le théorème des valeurs intermédiaires et que tu ne l'utilisais pas. C'est vrai que dès fois les exercices sont mal posé mais en l'occurrence celui-ci est plutôt bien fait.

Je te laisse donc revoir tes déductions à la lueur de ces remarques.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

Merci pour ta réponse!
Je reprends ceci :

f(x) = 5x³ + 8x - 1
f'(x) = 15x² + 8

Je cherche les racines de f'(x) qui est un polynôme du second degré :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(15 * 8) = -480
--> Pas de solutions réelles :

x¹ = [-b - iRacine(Delta)] / (2a) = - iRacine(480) / 30
x² = [-b + iRacine(Delta)] / (2a) = + iRacine(480) / 30

DONC :

Pour x¹ et pour x² on a f'(x) = 0

Là, je fais comment pour trouver les valeurs pour f(x)?

Bonsoir,

Alors je ne peux rien te reprocher sur la méthode e le cours car celui-ci est su et la méthode est juste au niveau des calculs. Cependant, que cherchons-nous concrètement?

On cherche à mettre en évidence le signe de F'(x) et par conséquent, la question suivante s'impose: Quel est le signe d'un polynôme du second degré n'ayant pas de racines réelles?

Nous cherchons les valeurs de x pour f(x) = 0

Un polynôme n'ayant pas de racines réelles est du signe de a donc ici +

Bonjour,

Désolé pour le timing de réponse.

En tout cas ta réponse est tout à fait juste! Par conséquent, notre dérivée est strictement positive (vu qu'elle ne s'annule pas et qu'elle est positive, elle est bien strictement positive).

Du coup, on peut en déduire le tableau de variation de notre fonction F. Sachant qu'il faut qu'il soit complet si on veut pouvoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

En effet, nous savons que notre fonction sera strictement croissante mais nous ne savons pas encore si 0 est contenu dans l'ensemble dans les valeurs prise par F(x) et ce sont par exemple les limites aux bornes de l'intervalle de définition de F ici qui devrait pouvoir nous donner cela. C'est est pour cela qu'il faut faire des tableau de variation complet avec les limites.

Ensuite pour trouver une valeur approchée, il va falloir faire des test sachant que dès qu'il y a un changement de signe entre deux valeur de f(x) c'est qu'on est forcément passé par 0 d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Donc dans la pratique, on commence d'abord par regarder des valeurs de x entière (x dans les entiers relatif) puis après on regarde en fonction de la précision qu'on nous demande dans l'énoncer.

Voilà le principe de ce genre d'exercice. Ces recherches de solution d'équation du type f(x)=0 est fondamentale en mathématiques car comme tu le constates on ne peut pas toujours calculer les valeurs de façon explicite et par conséquent, il nous faut des méthodes pour pouvoir le faire et ici c'est la méthode qu'on appelle "dichotomie" car on va découper notre intervalle de façon à approcher de plus en plus de la solutions de notre équation.

Bon courage pour la suite!

Aucun problème.

Je reprends ceci :

f(x) = 5x³ + 8x - 1
f'(x) = 15x² + 8

Je cherche les racines de f'(x) qui est un polynôme du second degré :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(15 * 8) = -480
--> Pas de solutions réelles donc, f(x) est du signe de a sur R.
Notre dérivée est donc strictement positive.

J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



car :
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
Lim_x-->-Inf. = -Inf.


On a donc une fonction strictement croissante sur R donc, cela signifie qu'il y aura donc UNE SEULE et UNIQUE valeur de x pour f(x) = 0

Et là, je commence le balayage comment?

Il y a une légère erreur de rédaction.

En effet, tu soutiens ton argumentation seulement sur la stricte croissance de ta fonction pour qu'il existe une solution unique à l'équation f(x)=0. Seulement, le théorème des valeur intermédiaire ne repose pas que sur cela.

Pourquoi ?

Car si je prend la fonction exponentielle par exemple, elle est strictement croissante sur R mais n'admet pas de solution x tel que e^x=0.

L'argument qui est mis en défaut par la fonction exponentielle est le fait que 0 appartienne à l'ensemble des valeurs prise par la fonction F. En effet, F(x) est comprise entre ]0,+Inf[ et on constante que 0 est exclu.

Donc, il faut faire attention lorsqu'on applique un théorème de bien mettre en évidence les hypothèses qui permettent d'appliquer le théorème. Car c'est comme si le plombier remettait l'eau avant d'avoir vérifier si tous les tuyaux étaient bien branché les uns aux autres. Et bien c'est la même chose en mathématique on applique pas un théorème sans avoir mis en évidence toutes les hypothèses .

Sinon, pour trouver la valeur de x, il va falloir réduire notre intervalle car R c'est trop grand. On peut donc regarder [0;+Inf[ et si entre F(0) et Lim_x->+InfF(x), il y a un changement de signe c'est que 0 appartient à cette ensemble et que notre solution est dans cette intervalle là. Sinon, il sera dans l'autre intervalle tout simplement. Et on continue à réduire l'intervalle petit à petit pour arriver à un encadrement entre deux entiers relatifs puis après, on va être de plus ne plus précis en continuant à rétrécir l'intervalel de recherche.

Bon courage!

f(x) = 5x³ + 8x - 1
f'(x) = 15x² + 8

Je cherche les racines de f'(x) qui est un polynôme du second degré :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(15 * 8) = -480
--> Pas de solutions réelles donc, f(x) est du signe de a sur R.
Notre dérivée est donc strictement positive.

J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



car :
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
Lim_x-->-Inf. = -Inf.


On a donc une fonction strictement croissante sur R et, 0 appartient à l'ensemble des valeurs que peut prendre x. [Bien rédigé?]
Donc, cela signifie qu'il y aura donc UNE SEULE et UNIQUE valeur de x pour f(x) = 0

Je vais voir si cette solution se trouve entre [0 ; +Inf.[ :

--> Je regarde si il y a un changement de signe entre F(0) et Lim_x->+InfF(x) :

f(0) = 5 * 0^3 + 8*0 - 1 = -1
et
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
donc, le changement de signe se fait bien dans l'intervalle [0 ; +Inf.[


Je vais d'abord effectuer un balayage par 5:

f(0) = -1
f(5) = 5 * 5^3 + 8*5 - 1 = 664

--> Balayage par 2 :

f(0) = -1
f(2) = 5 * 2^3 + 8*2 - 1 = 55

--> Balayage par 0.5 :

f(0) = -1
f(0.5) = 5 * 0.5^3 + 8*0.5 - 1 = 3.625

--> Par 0.2 :

f(0)= -1
f(0.2) = 5 * 0.2^3 + 8 *0.2 - 1 = 0.64

Pour l'instant, on a 0 <ou égal x <ou égal 0.2


--> Par 0.05

f(0.05) = 5 * 0.05^3 + 8* 0.05 -1 = -0.59
f(0.1) = 5 * 0.1^3 + 8 * 0.1 - 1 = -0.195
f(0.15) = 0.21

0.1 <= x <= 0.15

--> Par 0.01

f(0.11) = -0.11
f(0.12) = -0.31
f(0.13) = 0.05

DONC x compris entre 0.12 et 0.13!

Le balayage est impeccable!

La rédaction pour l'unicité un peu moins car tu manques de logique pour le coup. En effet, tu écris:

Citation :

0 appartient à l'ensemble des valeurs que peut prendre x.

Mais pour que F(x)=0 est une solution, il faut et il suffit qu'il y ait un a tel que f(a)=0. Par conséquent, c'est dans l'ensemble dans valeurs de f(x) que 0 doit appartenir et non les valeurs de x.

Bon courage pour la suite!

1.
f(x) = 5x³ + 8x - 1
f'(x) = 15x² + 8

Je cherche les racines de f'(x) qui est un polynôme du second degré :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(15 * 8) = -480
--> Pas de solutions réelles donc, f(x) est du signe de a sur R.
Notre dérivée est donc strictement positive.

J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



car :
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
Lim_x-->-Inf. = -Inf.


On a donc une fonction strictement croissante sur R et, 0 appartient à l'ensemble des valeurs de f(x). [Mieux?]
Donc, cela signifie qu'il y aura donc UNE SEULE et UNIQUE valeur de x pour f(x) = 0

Je vais voir si cette solution se trouve entre [0 ; +Inf.[ :

--> Je regarde si il y a un changement de signe entre F(0) et Lim_x->+InfF(x) :

f(0) = 5 * 0^3 + 8*0 - 1 = -1
et
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
donc, le changement de signe se fait bien dans l'intervalle [0 ; +Inf.[


Je vais d'abord effectuer un balayage par 5:

f(0) = -1
f(5) = 5 * 5^3 + 8*5 - 1 = 664

--> Balayage par 2 :

f(0) = -1
f(2) = 5 * 2^3 + 8*2 - 1 = 55

--> Balayage par 0.5 :

f(0) = -1
f(0.5) = 5 * 0.5^3 + 8*0.5 - 1 = 3.625

--> Par 0.2 :

f(0)= -1
f(0.2) = 5 * 0.2^3 + 8 *0.2 - 1 = 0.64

Pour l'instant, on a 0 <ou égal x <ou égal 0.2


--> Par 0.05

f(0.05) = 5 * 0.05^3 + 8* 0.05 -1 = -0.59
f(0.1) = 5 * 0.1^3 + 8 * 0.1 - 1 = -0.195
f(0.15) = 0.21

0.1 <= x <= 0.15

--> Par 0.01

f(0.11) = -0.11
f(0.12) = -0.31
f(0.13) = 0.05

DONC x compris entre 0.12 et 0.13!


2. x⁴ = 32x -48
x⁴ - 32x + 48 = 0
g(x) = 0

--> g'(x) = 4x³ - 32

Ici, je fais comment pour trouver les racines vus que là c'est puissance 3?

C'est mieux en effet pour la rédaction mais autant mettre la totalité en évidence:

D'après le tableau de variation, on a pour tout xЄR, F(x)ЄR
Or 0ЄR

Donc Il existe bien une unique valeur de x tel que f(x)=0


Pour le 2), on a en effet, une dérivée qui est de degré 3 et nous savons faire plus de chose sur le degré 2. Cependant, on sait qu'un polynôme de degré 3 admet au plus trois racines réelles.

Ici, j'affirme que tu peut résoudre l'équation: 4x³-32=0 car tu connais le cube de certain entier simple ce qui devrait suffire pour factoriser normalement.

Bon courage!

1.
f(x) = 5x³ + 8x - 1
f'(x) = 15x² + 8

Je cherche les racines de f'(x) qui est un polynôme du second degré :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(15 * 8) = -480
--> Pas de solutions réelles donc, f(x) est du signe de a sur R.
Notre dérivée est donc strictement positive.

J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



car :
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
Lim_x-->-Inf. = -Inf.

D'après le tableau de variation, on a pour tout xЄR, F(x)ЄR
Or 0ЄR

Donc Il existe bien une unique valeur de x tel que f(x)=0

Je vais voir si cette solution se trouve entre [0 ; +Inf.[ :

--> Je regarde si il y a un changement de signe entre F(0) et Lim_x->+InfF(x) :

f(0) = 5 * 0^3 + 8*0 - 1 = -1
et
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
donc, le changement de signe se fait bien dans l'intervalle [0 ; +Inf.[


Je vais d'abord effectuer un balayage par 5:

f(0) = -1
f(5) = 5 * 5^3 + 8*5 - 1 = 664

--> Balayage par 2 :

f(0) = -1
f(2) = 5 * 2^3 + 8*2 - 1 = 55

--> Balayage par 0.5 :

f(0) = -1
f(0.5) = 5 * 0.5^3 + 8*0.5 - 1 = 3.625

--> Par 0.2 :

f(0)= -1
f(0.2) = 5 * 0.2^3 + 8 *0.2 - 1 = 0.64

Pour l'instant, on a 0 <ou égal x <ou égal 0.2


--> Par 0.05

f(0.05) = 5 * 0.05^3 + 8* 0.05 -1 = -0.59
f(0.1) = 5 * 0.1^3 + 8 * 0.1 - 1 = -0.195
f(0.15) = 0.21

0.1 <= x <= 0.15

--> Par 0.01

f(0.11) = -0.11
f(0.12) = -0.31
f(0.13) = 0.05

DONC x compris entre 0.12 et 0.13!


2. x⁴ = 32x -48
x⁴ - 32x + 48 = 0
g(x) = 0

--> g'(x) = 4x³ - 32

Euh.. Le cube de certains entiers simples... 0 et 1?

Lorsqu'on dit que la solution est "facile" à trouver c'est qu'il s'agit d'un entier compris entre -3 et 3 (car les cube sont simple à calculer).

Ici, on cherche à résoudre 4x³-32=0 <=> x³=8

Normalement, on devrait trouver une solution à cette équation là sauf erreur.

Bon courage!

1.
f(x) = 5x³ + 8x - 1
f'(x) = 15x² + 8

Je cherche les racines de f'(x) qui est un polynôme du second degré :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(15 * 8) = -480
--> Pas de solutions réelles donc, f(x) est du signe de a sur R.
Notre dérivée est donc strictement positive.

J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



car :
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
Lim_x-->-Inf. = -Inf.

D'après le tableau de variation, on a pour tout xЄR, F(x)ЄR
Or 0ЄR

Donc Il existe bien une unique valeur de x tel que f(x)=0

Je vais voir si cette solution se trouve entre [0 ; +Inf.[ :

--> Je regarde si il y a un changement de signe entre F(0) et Lim_x->+InfF(x) :

f(0) = 5 * 0^3 + 8*0 - 1 = -1
et
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
donc, le changement de signe se fait bien dans l'intervalle [0 ; +Inf.[


Je vais d'abord effectuer un balayage par 5:

f(0) = -1
f(5) = 5 * 5^3 + 8*5 - 1 = 664

--> Balayage par 2 :

f(0) = -1
f(2) = 5 * 2^3 + 8*2 - 1 = 55

--> Balayage par 0.5 :

f(0) = -1
f(0.5) = 5 * 0.5^3 + 8*0.5 - 1 = 3.625

--> Par 0.2 :

f(0)= -1
f(0.2) = 5 * 0.2^3 + 8 *0.2 - 1 = 0.64

Pour l'instant, on a 0 <ou égal x <ou égal 0.2


--> Par 0.05

f(0.05) = 5 * 0.05^3 + 8* 0.05 -1 = -0.59
f(0.1) = 5 * 0.1^3 + 8 * 0.1 - 1 = -0.195
f(0.15) = 0.21

0.1 <= x <= 0.15

--> Par 0.01

f(0.11) = -0.11
f(0.12) = -0.31
f(0.13) = 0.05

DONC x compris entre 0.12 et 0.13!


2. x⁴ = 32x -48
x⁴ - 32x + 48 = 0
g(x) = 0

--> g'(x) = 4x³ - 32 --> x³ = 32/4 = 8

donc x = 2

Donc on a une racine réelle de notre dérivée, est-ce qu'il y en a d'autre?

N'oublions pas que le but est de trouver le signe de notre dérivée si on veut les variation de notre fonction de départ. Et pour trouver le signe de notre dérivée, il faut factorisé un maximum pour faire un tableau de signe. Un autre moyen résiderait à dériver encore une fois pour trouver le signe de F''(x) et donc déduire les variation de F'(x).

Bon courage!

1.
f(x) = 5x³ + 8x - 1
f'(x) = 15x² + 8

Je cherche les racines de f'(x) qui est un polynôme du second degré :

Delta = b² - 4ac = 0² - 4(15 * 8) = -480
--> Pas de solutions réelles donc, f(x) est du signe de a sur R.
Notre dérivée est donc strictement positive.

J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



car :
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
Lim_x-->-Inf. = -Inf.

D'après le tableau de variation, on a pour tout xЄR, F(x)ЄR
Or 0ЄR

Donc Il existe bien une unique valeur de x tel que f(x)=0

Je vais voir si cette solution se trouve entre [0 ; +Inf.[ :

--> Je regarde si il y a un changement de signe entre F(0) et Lim_x->+InfF(x) :

f(0) = 5 * 0^3 + 8*0 - 1 = -1
et
Lim_x-->+Inf. = +Inf.
donc, le changement de signe se fait bien dans l'intervalle [0 ; +Inf.[


Je vais d'abord effectuer un balayage par 5:

f(0) = -1
f(5) = 5 * 5^3 + 8*5 - 1 = 664

--> Balayage par 2 :

f(0) = -1
f(2) = 5 * 2^3 + 8*2 - 1 = 55

--> Balayage par 0.5 :

f(0) = -1
f(0.5) = 5 * 0.5^3 + 8*0.5 - 1 = 3.625

--> Par 0.2 :

f(0)= -1
f(0.2) = 5 * 0.2^3 + 8 *0.2 - 1 = 0.64

Pour l'instant, on a 0 <ou égal x <ou égal 0.2


--> Par 0.05

f(0.05) = 5 * 0.05^3 + 8* 0.05 -1 = -0.59
f(0.1) = 5 * 0.1^3 + 8 * 0.1 - 1 = -0.195
f(0.15) = 0.21

0.1 <= x <= 0.15

--> Par 0.01

f(0.11) = -0.11
f(0.12) = -0.31
f(0.13) = 0.05

DONC x compris entre 0.12 et 0.13!


2. x⁴ = 32x -48
x⁴ - 32x + 48 = 0
g(x) = 0

--> g'(x) = 4x³ - 32 --> x³ = 32/4 = 8

donc x = 2

Je n'en vois pas d'autres...

Il n'y en a pas d'autre en effet mais comment le montrer?

g'(x)=4*x³-32=4*(x³-8)

Et on sait que le polynôme dans la parenthèse peut se factoriser par (x-2) vu que 2 est racine de g'(x).

On peut donc factoriser g'(x) par (x-2) et on aura une expression de la forme: g'(x)=4*(x-2)*h(x) avec h(x) un polynôme du second degré à déterminer et dont on devra trouver le signe aussi.

Bon courage!

J'ai pas compris le raisonnement...

Le but est de trouver le signe de g'(x).

On sait que 2 est racine de g'(x).

Mais g' est un polynôme de degré 3, donc il pourrait avoir au plus deux autres racines réelles ce qui ferait donc plusieurs changement de signe pour la dérivée. Pour savoir s'il n'y en a pas d'autre, il faut factoriser notre polynôme du troisième degré.

On sait qu'un polynôme de degré 3 dans R est soit la multiplication de trois polynôme de degré 1 (ce qui signifie qu'il y a trois racines réelles) soit la multiplication d'un polynôme de degré 1 avec un polynôme de degré 2 (il y a une unique racine réelle et deux racines complexes).

Ici pour le moment, nous savons juste que 2 est solution, par conséquent, notre polynôme de degré 3 se factorise sous la forme:

g'(x)=(x-2)*P(x) avec P un polynôme de degré 2.

Mais nous sommes capable d'explicité ce polynôme là. En effet, un polynôme de degré 2 est toujours de la forme ax²+bx+c. Il ne nous reste plus qu'à faire une identification pour trouver la valeur des trois constantes (a, b et c).

Ainsi, on aura g'(x)=(x-2)*(ax²+bx+c) et il nous restera à déduire si le polynôme de degré 2 se factorise ou pas pour en déduire son signe.

Est-ce plus clair? Je te montrerai une autre méthode par la suite pour répondre à cette question.

Bon courage!

x⁴ = 32x -48
x⁴ - 32x + 48 = 0
g(x) = 0

--> g'(x) = 4x³ - 32 --> x³ = 32/4 = 8

donc x = 2
Je vais factoriser g'(x) :

g'(x)=(x-2)*(ax²+bx+c)
g'(x) = ax³ + bx² + xc * -2ax² -2bx -2c
g'(x) = ax³ + x² (b - 2a) + x (c -2b) -2c

Par identification des quotients :

a = 1
b - 2a = 0 --> b = 2
c - 2b = 0 --> c = 4
-2c = 32

Ca colle pas...

Il y a un soucis logique. Tu écris:

Citation :

g'(x) = 4x[sub]3[/sup] - 32

Citation :

a=1

Or le coefficient devant x³ c'est 4.

Je te laisse revoir tes calculs qui cette fois-ci devrait coller.

Bon courage!

x⁴ = 32x -48
x⁴ - 32x + 48 = 0
g(x) = 0

--> g'(x) = 4x³ - 32 --> x³ = 32/4 = 8

donc x = 2
Je vais factoriser g'(x) :

g'(x)=(x-2)*(ax²+bx+c)
g'(x) = ax³ + bx² + xc * -2ax² -2bx -2c
g'(x) = ax³ + x² (b - 2a) + x (c -2b) -2c

Par identification des quotients :

a = 4
b - 2a = 0 --> b = 8
c - 2b = 0 --> c = 16
-2c = 32 ???????

On a:

Citation :

x³- 32

Donc 1*x³+(-32)

Par conséquent -2c=-32 => c=16 ce qui est cohérent.

Fais attention avec ses erreurs classiques au niveau des identifications.

On a donc g'(x)=(x-2)*(4x²+8x+16)

On cherche à trouver le signe de cette expression là qui est déjà un peut plus sympathique que l'autre vu qu'on sait déterminer le signe de chacun des termes et avec un tableau de variation on saura conclure sur le signe de g'(x).

Bon courage!

x⁴ = 32x -48
x⁴ - 32x + 48 = 0
g(x) = 0

--> g'(x) = 4x³ - 32 --> x³ = 32/4 = 8

donc x = 2
Je vais factoriser g'(x) :

g'(x)=(x-2)*(ax²+bx+c)
g'(x) = ax³ + bx² + xc * -2ax² -2bx -2c
g'(x) = ax³ + x² (b - 2a) + x (c -2b) -2c

Par identification des quotients :

a = 4
b - 2a = 0 --> b = 8
c - 2b = 0 --> c = 16
-2c = -32

On a donc g'(x)=(x-2)*(4x²+8x+16)

Je cherche maintenant le signe de 4x²+8x+16 :

Delta = b² - 4ac = 8² - 4 [ 4 * 16 ] = -192
Delta est négatif donc, 4x² + 8x + 16 est du signe de a sur R donc, positif sur R.

(x-2) est positif pour x>2

Je dresse donc le tableau de signes de g'(x) :



J'en déduis donc le tableau de variations de g(x) :



Avec :
lim_x-->+INF. = +INF.
lim_x-->-INF. = -INF.

On a donc une seule valeur de g(x) = 0 pour x = 0 :
4 * 2³ - 32 = 0
car g(x) strictement décroissante sur ]-Inf. ; 2] et strictement croissante sur [2 ; +Inf.[

C'est bon?