Géométrie- théorème DM pour demain

J'aimerai savoir comment montrer que C est le milieu d'un segment [BE]


Voilà le sujet :


Soit (o,i,j) un repère orthonormal du plan. Soit les points : A (1;-1), B(-2;0) et C(-3;3)



3) Soit le point E(-4;6)

Montrer que les points B, C, E sont alignés, puis montrer que C est le milieu de [BE]



J'ai déjà montré que B, C, E étaient alignés grâce au théorème du "déterminant" avec det(BC.CE)....


Mais ce qui me bloque c'est la suite maintenant

Il y a deux moyen de montrer que des points sont alignés (en fait il s'agit des deux même mais pas écrite de la même façons).

En effet, tu utilises le déterminant de deux vecteurs c'est à dire que tu as calculé les coordonnées des deux vecteurs BC et BE.

En fait, le déterminant si il est nul, il te montre que BC = Alpha*BE (qui est l'autre moyen de déterminer que des point sont alignés vu qu'on montre que les eux vecteurs sont colinéaires avec un point en commun).

Est-ce que tu ne verrais pas une valeurs évidente pour Alpha dans ce cas précis à partir des coordonnées ?

Non mais je sais qu'ils sont alignés les points, et je l'ai très bien démontrer, maintenant ce que je cherche c'est de montrer que C est le milieu de [BE]

Oui ça je sais que tu veux démontrer que C est le milieu de [BE] mais je te proposais une méthode pour y arriver.

Essayons un autre moyen de le trouver à ce moment là, si C était le milieu de [BE] quelle relation aurions-nous entre BE et BC ?

BE = 1/2 BC

Tout à fait !

Et maintenant est-ce que les coordonnées confirment celà ? Si oui c'est fini vu que c'est une équivalence .

Pardon, BC=1/2 BE

A oui, j'avais même pas vu que l'égalité n'était pas dans le bon sens .

Donc oui c'est plus juste dans ce sens là, en effet .

Donc maintennat, si les coordonnées permettent de dire que BC = (1/2)*BE alors C sera bien le milieu de [BE]

C'est tout l'avantage d'utiliser les égalités vectorielles, en fait.

ah ok tout bête je devais juste dire ça lol
c'est ça ?

En fait, tu dois juste dire que les coordonnées vérifient bien l'égalité vectorielle en effet .

C'est tout bête mais quand on ne le sait pas celà devient beaucoup plus périeux.

En fait, il faut toujours savoir qu'elles sont les moyens mathématiques que nous avons sous la main poru pouvoir montrer telle ou telle propriété. C'est à partir de ce genre de raisonnement que tu verras que tu as la réponse, dès fois, juste devant les yeux et que tu ne l'avais pas forcément vu au départ.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

merci beaucoups

Bonsoir @toutes et tous!

Je vais vous proposer une correction de cette question (l'exercice étant plus long comme nous l'a indiqué Darka).

Voici l'énoncer:

Citation :

Soit (O,i,j) un repère orthonormal du plan. Soit les points : A (1;-1), B(-2;0), C(-3;3) et E(-4;6)

Montrer que les points B, C, E sont alignés, puis montrer que C est le milieu de [BE]

Alors pour montrer que les points B, C et E sont alignés, nous allons utiliser le fait que les vecteur BC et CE sont colinéaires en utilisant le calcul d'un déterminant. Pour celà, il faut d'abord calculer les coordonnées des vecteurs BC et CE.

BC( x_C-x_B; y_C - x_B)
Donc BC( -3 -(-2); 3-0)
D'où BC(-1;3)

CE(x_E-x_C; y_E-y_C)
Donc CE(-4 -(-3); 6 - 3)
D'où CE((-1;3)

On a bien: -1*3=-3 et 3*(-1)=-3. Donc le déterminant entre BC et CE est nul

Donc BC et CE sont colinéaires
Or ils ont le point C en commun

Donc B, C et E sont alignés

Maintenant, montrer que C est le milieu de [BC] celà revient à montrer que BC=CE.
Or d'après les calculs que nous avons effectué au-dessus, on constate que les coordonnées des deux vecteurs sont bien égaux ce qui implique l'égalité entre les deux vecteurs.

Donc C est bien le milieu de [BC]


Cette question reposait sur le fait de savoir calculer les coordonnées d'un vecteur mais aussi si le fait de savoir expliciter à l'aide de vecteur ce que signifie être un milieu d'un segment.


Je vous souhaite une bonne continuation @toutes et tous et @bientôt au sein du forum!