Exercice sur les formes en 2 puissance x

Salut !
Pour les vacances, j’ai une série de trois exercices à faire et, ils sont assez compliqués à vrai dire… Voici le premier que j’ai plutôt bien réussi je pense.

Voici l’énoncé :


f et g sont les foncions définies sur R par f(x) = 8.2^x et g(x) = (1/4)^x.
C_f et C_g sont les courbes représentatives de f et g dans un même repère orthonormal.

1.a. Dresser le tableau de variations de f et de g.
b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des courbes C_f et C_g.

2.a. Déterminer une équation de la tangente D₁ à la courbe C_f au point d’abscisse 0.
b. Déterminer une équation de la tangente D₂ à la courbe C_g au point d’abscisse 0.
c. Calculer les coordonnées du point d’intersection de D₁ et D₂.

3. Tracer les courbes C_f, C_g ainsi que les droites D₁ et D₂.


Et voici pour mes réponses :

1.a. f(x) = 8.2^x = 8e^xln(2)
--> f’(x) = 8ln(2)e^xln(x)

Je dresse la tableau de signes de f’(x) :



Donc, j’en déduis le tableau de variations de f(x) :



Avec lim_x-->-INF. 8e^xln(2) = 0
lim_x-->+INF. 8e^xln(2) = + INF.

F(x) est donc croissante sur R.


g(x) = (1/4)^x = e^xln(1/4)
g’(x) = ln(1/4)e^xln(1/4)

Je dresse le tableau de signes de g’(x) :


J’en déduis donc le tableau de variations de g(x) :



Avec :
lim_x-->-INF. g(x) = + INF.
lim_x-->+INF. g’(x) = 0.

G(x) est donc décroissante sur R.

1.b. Ici, on me conseille de poser X=2^x mais, je n’ai pas su le faire avec ça mais, j’ai su le faire sans remplacer :

f(x)=g(x)
8.2^x = (1/4)^x
8.2^x = (2^-2)^x
8.2^x = 2^-2x
8e^xln(2) = e^-2xln(2)
ln(8e^xln(2)) = ln(e^-2xln(2))
ln(8) + xln(2) = -2xln(2)
ln(8) = -2xln(2) – xln(2)
ln(8) = -3xln(2)
-3x = ln(8) / ln(2) = 3
x = 3/(-3) = -1

2.a. Equation de tangente :

Avec : a = 0 :

f(0) = 8.2⁰ = 8
f’(0) = 8ln(2)e^0ln(2) = 8.ln(2) .e⁰ = 8ln(2)
Donc :

y_D1 = 8ln(2)(x-0) + 8 = 8ln(2)x + 8

2.b.

Avec a = 0 :

g(0) = (1/4)⁰ = 1
g’(0) = ln(1/4)e^0ln(1/4) = ln(1/4)

Donc :
y = ln(1/4)(x-0) + 1
y_D2 = ln(1/4)x + 1

2.c. Intersection de D₁ et D₂ :

y_D1 = y_D2
8ln(2)x + 8 = ln(1/4)x + 1
8ln(2)x – ln(1/4)x = 1 – 8
x(8ln(2) –ln(1/4)) = -7
x = [-7 / (8ln(2) – ln(1/4))]

3. Figure.

Voilà pour cet exercice. J’aurais donc besoin d’un coup de main.
Merci d’avance!

Bonjour,

L'exercice est bien traité dans son ensemble en effet. Cependant des imprécisions à éviter:

Lorsqu'on calcule une limite, il faut mettre en évidence les justifications indispensables. Par exemple, pour f(x), Ln(2)>0 n'est pas négligeable pour connaître sa limite. De même Ln(1/4)<0 n'est pas négligeable non plus surtout que ce signe intervient deux fois dans le calcul de la limite de g(x), il faut le dire quitte à mettre une étape en plus.

Sinon, tes calculs de dérivées sont nickels!

Les calculs d'intersection sont justes par contre n'oublie pas qu'on demande LES coordonnées du point d'intersection (perdre des points bêtement c'est dommage tout de même). Il faut que tu te souviennes que les coordonnées d'un point d'intersection entre deux fonctions vérifient un système à deux équations à deux inconnues.

Même remarque pour l'autre point d'intersection. D'ailleurs, pour l'autre point d'intersection (entre les deux tangentes), il serait tout de même intéressant de mettre un dénominateur un peu plus explicite car on sait que:

Ln(1/4)=-Ln(4)=-Ln(2²)=-2Ln(2)

Enfin, il n'y a vraiment plus de soucis pour les calculs de tangente en un point, les formules sont justes et la méthode aussi.

Encore quelques petites imperfections mais nous ne sommes plus très loin d'un sans faute pour un exercice du type étude de fonction ce qui est très prometteur pour l'avenir proche .

Bon courage!

Merci pour ta réponse et, heureux que l'ensemble global soit correct.
Rectifions les derniers petits problèmes : (en rouge les petites modifs)

1.a. Dresser le tableau de variations de f et de g.

f(x) = 8.2^x = 8e^xln(2)
--> f’(x) = 8ln(2)e^xln(x)

Je dresse la tableau de signes de f’(x) :



Donc, j’en déduis le tableau de variations de f(x) :



Avec lim_x-->-INF. 8e^xln(2) = 0 car Ln(2)>0
lim_x-->+INF. 8e^xln(2) = + INF. car Ln(2)>0

F(x) est donc croissante sur R.


g(x) = (1/4)^x = e^xln(1/4)
g’(x) = ln(1/4)e^xln(1/4)

Je dresse le tableau de signes de g’(x) :


J’en déduis donc le tableau de variations de g(x) :



Avec :
lim_x-->-INF. g(x) = + INF car Ln(1/4)<0
lim_x-->+INF. g(x) = 0 car Ln(1/4)<0

G(x) est donc décroissante sur R.


b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des courbes Cf et Cg :

Citation :

Il faut que tu te souviennes que les coordonnées d'un point d'intersection entre deux fonctions vérifient un système à deux équations à deux inconnues.

--> Tu pourrais m'expliquer ça stp parce que là je suis un peu perdu...


2.a. Déterminer une équation de la tangente D1 à la courbe Cf au point d’abscisse 0.
Equation de tangente :

Avec : a = 0 :

f(0) = 8.2⁰ = 8
f’(0) = 8ln(2)e^0ln(2) = 8.ln(2) .e⁰ = 8ln(2)
Donc :

y_D1 = 8ln(2)(x-0) + 8 = 8ln(2)x + 8


2.b. Déterminer une équation de la tangente D2 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.


Avec a = 0 :

g(0) = (1/4)⁰ = 1
g’(0) = ln(1/4)e^0ln(1/4) = ln(1/4)

Donc :
y = ln(1/4)(x-0) + 1
y_D2 = ln(1/4)x + 1


c. Calculer les coordonnées du point d’intersection de D1 et D2.

Ici, je suppose que c'est la même remarque que pour les questions précédentes et, j'ai pas trop compris donc, j'attends ta réponse avec impatience .

Bonsoir!

T'es un petit malin:

Citation :

Avec lim_x-->-INF. 8e^xln(2) = 0 car Ln(2)>0

La justification est juste mais à quoi sert-elle? Proposition de rédaction:

lim_x-->-INF. xLn(2)=-Inf car Ln(2)>0 et lim_X-->-INF. e^X=0

Donc lim_x-->-INF. 8e^xln(2) = 0

Pour la limitede la fonction g(x), il faut mettre des étapes et une rédaction du même style car il y a deux changement de signe et il faudrait tout de même les voir apparaître explicitement dans le calcul de ta limite comme ci-dessus par exemple.

Citation :

--> Tu pourrais m'expliquer ça stp parce que là je suis un peu perdu...

Si je cherche les pointe d'intersection entre la courbe représentative de g et celle de f, alors les coordonnées (x;y) des points d'intersection vérifient:

y=g(x)
y=f(x)

Donc que tu résolves g(x)=f(x) est une bonne chose mais cela ne te donne que les abscisses des points d'intersection. Or nous voulons les coordonnées et non seulement les abscisses des points d'intersection. Par conséquent, il ne faut pas oublier de calcul les ordonnées correspondant aux abscisses trouvées.

Le fait de poser directement le système permet de ne pas oublier qu'il y a pour solution un couple (x;y) et non seulement des abscisses x.

Est-ce que tu comprends ton erreur au niveau de la conclusion?

Bon courage pour la finalisation!

Merci pour le compliment .
Je reprends :

1.a. Dresser le tableau de variations de f et de g.

f(x) = 8.2^x = 8e^xln(2)
--> f’(x) = 8ln(2)e^xln(x)

Je dresse la tableau de signes de f’(x) :



Donc, j’en déduis le tableau de variations de f(x) :



Avec lim_x-->-Inf. 8e^xln(2) = 0
car :
lim_x-->-Inf. xln(2) = -Inf. car ln(2) > 0.
lim_x-->-Inf.e^X = 0

ET

lim_x-->+Inf. 8e^xln(2) = + Inf.
car :
lim_x-->+Inf. xln(2)= +Inf. car ln(2) > 0.
lim_x-->+Inf. e^X = +Inf.

F(x) est donc croissante sur R.


g(x) = (1/4)^x = e^xln(1/4)
g’(x) = ln(1/4)e^xln(1/4)

Je dresse le tableau de signes de g’(x) :


J’en déduis donc le tableau de variations de g(x) :



Avec :
lim_x-->-Inf. e^xln(1/4) = + Inf.
car :
lim_x-->-Inf. xln(1/4) = +Inf. car ln(1/4) < 0.
lim_x-->+Inf. e^X = +Inf.

ET

lim_x-->+Inf. e^xln(1/4) = 0
car :
lim_x-->+Inf. xln(1/4) = -Inf. car ln(1/4) < 0.
lim_x-->-Inf. e^X = 0.

G(x) est donc décroissante sur R.


2.b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des courbes C_f et C_g.

Oui, je suis d'accord pour le fait de déterminer un couple de coordonnées.

f(x)=g(x)
8.2^x = (1/4)^x
8.2^x = (2^-2)^x
8.2^x = 2^-2x
8e^xln(2) = e^-2xln(2)
ln(8e^xln(2)) = ln(e^-2xln(2))
ln(8) + xln(2) = -2xln(2)
ln(8) = -2xln(2) – xln(2)
ln(8) = -3xln(2)
-3x = ln(8) / ln(2) = 3
x = 3/(-3) = -1

Ici, j'ai donc l'abscisse de l'intersection. Reste à trouver l'ordonnée :
f(-1) = 4
g(-1) = 4

Donc, le point d'intersection de C_f et C_g a pour coordonnées (-1 ; 4).


2.a. Déterminer une équation de la tangente D1 à la courbe Cf au point d’abscisse 0.
Equation de tangente :

Avec : a = 0 :

f(0) = 8.2⁰ = 8
f’(0) = 8ln(2)e^0ln(2) = 8.ln(2) .e⁰ = 8ln(2)
Donc :

y_D1 = 8ln(2)(x-0) + 8 = 8ln(2)x + 8


2.b. Déterminer une équation de la tangente D2 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.


Avec a = 0 :

g(0) = (1/4)⁰ = 1
g’(0) = ln(1/4)e^0ln(1/4) = ln(1/4)

Donc :
y = ln(1/4)(x-0) + 1
y_D2 = ln(1/4)x + 1


c. Calculer les coordonnées du point d’intersection de D1 et D2 :
On a :
y_D1 = 8ln(2)x + 8
y_D2 = ln(1/4)x + 1

y_D1 = y_D2
8ln(2)x + 8 = ln(1/4)x + 1
8ln(2)x - ln(1/4)x = 1 -8
x[8ln(2) - ln(1/4)] = -7
x = -7 / [8ln(2) - ln(1/4)]

Je cherche maintenant l'ordonnée du point d'intersection :
--> Pour D1 :
8ln(2) * [-7 / [8ln(2) - ln(1/4)]] + 8 = 2.4

--> Pour D2 :
ln(1/4) * [-7 / [8ln(2) - ln(1/4)]] + 1 = 2.4

Le point d'intersection des deux tangentes aura donc pour coordonnées (-7 / [8ln(2) - ln(1/4)] ; 2.4).

Normalement, tout cela est bon .

Tout est juste en effet!

Cependant, comme je te le disais dans mon premier message poru l'intersection des deux tangentes, il y a moyen de simplifier l'expression pour facilité les calcul et ainsi donner des valeurs exactes.

Je laisse modifier.

Bon courage pour la suite!

1.a. Dresser le tableau de variations de f et de g.

f(x) = 8.2^x = 8e^xln(2)
--> f’(x) = 8ln(2)e^xln(x)

Je dresse la tableau de signes de f’(x) :



Donc, j’en déduis le tableau de variations de f(x) :



Avec lim_x-->-Inf. 8e^xln(2) = 0
car :
lim_x-->-Inf. xln(2) = -Inf. car ln(2) > 0.
lim_x-->-Inf.e^X = 0

ET

lim_x-->+Inf. 8e^xln(2) = + Inf.
car :
lim_x-->+Inf. xln(2)= +Inf. car ln(2) > 0.
lim_x-->+Inf. e^X = +Inf.

F(x) est donc croissante sur R.


g(x) = (1/4)^x = e^xln(1/4)
g’(x) = ln(1/4)e^xln(1/4)

Je dresse le tableau de signes de g’(x) :


J’en déduis donc le tableau de variations de g(x) :



Avec :
lim_x-->-Inf. e^xln(1/4) = + Inf.
car :
lim_x-->-Inf. xln(1/4) = +Inf. car ln(1/4) < 0.
lim_x-->+Inf. e^X = +Inf.

ET

lim_x-->+Inf. e^xln(1/4) = 0
car :
lim_x-->+Inf. xln(1/4) = -Inf. car ln(1/4) < 0.
lim_x-->-Inf. e^X = 0.

G(x) est donc décroissante sur R.


2.b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des courbes C_f et C_g.

Oui, je suis d'accord pour le fait de déterminer un couple de coordonnées.

f(x)=g(x)
8.2^x = (1/4)^x
8.2^x = (2^-2)^x
8.2^x = 2^-2x
8e^xln(2) = e^-2xln(2)
ln(8e^xln(2)) = ln(e^-2xln(2))
ln(8) + xln(2) = -2xln(2)
ln(8) = -2xln(2) – xln(2)
ln(8) = -3xln(2)
-3x = ln(8) / ln(2) = 3
x = 3/(-3) = -1

Ici, j'ai donc l'abscisse de l'intersection. Reste à trouver l'ordonnée :
f(-1) = 4
g(-1) = 4

Donc, le point d'intersection de C_f et C_g a pour coordonnées (-1 ; 4).


2.a. Déterminer une équation de la tangente D1 à la courbe Cf au point d’abscisse 0.
Equation de tangente :

Avec : a = 0 :

f(0) = 8.2⁰ = 8
f’(0) = 8ln(2)e^0ln(2) = 8.ln(2) .e⁰ = 8ln(2)
Donc :

y_D1 = 8ln(2)(x-0) + 8 = 8ln(2)x + 8


2.b. Déterminer une équation de la tangente D2 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.


Avec a = 0 :

g(0) = (1/4)⁰ = 1
g’(0) = ln(1/4)e^0ln(1/4) = ln(1/4)

Donc :
y = ln(1/4)(x-0) + 1
y_D2 = ln(1/4)x + 1


c. Calculer les coordonnées du point d’intersection de D1 et D2 :
On a :
y_D1 = 8ln(2)x + 8
y_D2 = ln(1/4)x + 1

y_D1 = y_D2
8ln(2)x + 8 = ln(1/4)x + 1
8ln(2)x - ln(1/4)x = 1 -8
x[8ln(2) - ln(1/4)] = -7
x = -7 / [8ln(2) + 2ln(2)] = -7 / [10ln(2)]

Je cherche maintenant l'ordonnée du point d'intersection :
--> Pour D1 :
8ln(2) * [-7 / [10ln(2)]] + 8 = 2.4

--> Pour D2 :
- 2ln(2) * [-7 / [8ln(2) + 10ln(2)]] + 1 = 2.4

Le point d'intersection des deux tangentes aura donc pour coordonnées (-7 / [ 10ln(2)] ; 2.4).

C'est bon comme ça?

C'est tout bon !!

Un bel exercice de révision sur la dérivation des fonctions définies par des puissance de x.

Bon courage pour la suite!

.
Encore merci pour ton aide c'est super sympa.