DM sur fonctions usuelles

Tout d'abord bonjour, je m'apelle Caroline et j'ai un gros soucis pour mon DM de mathématique sur les fonctions usuelles, en esperant que vous puissiez m'aider. Merci d'avance.

https://i.servimg.com/u/f62/13/82/90/93/pic_0010.jpg

Le lien situer au dessus est l'apparence de ma courbe représentative. Désolé pour la qualité.
Pour vous reperez, le point le plus bas de la courbe se trouve en [ -1 ; 4 ] et coupe l'axe des ordonnées en [ 0 ; 5 ]. En espérant que ca vous aide.

Donc voici mon problème :

1° La parabole P ci-contre représente une fonction f : donner l'expression de f(x) en justifiant.

2° Construire sur le meme graphique la courbe représentative de la fonction affine g telle que :
g(x) = -2x + 3

3° a) En utilisant le graphique, donner une valeur approchée des solutions de l'equation f(x) = g(x) ; expliquer.
b) Montrer que résoudre l'équation (x) = g(x) équivaut a résoudre l'équation x² + 4x + 4 - 2 = 0
c) Après avoir factorisé en utilisant des identités remarquables, résoudre cette équation et en déduire les valeurs exactes des solutions de l'équation f(x) = g(x).
d) Sur quel(s) intervalle(s) a-t-on f(x) superieur ou egal a g(x) ?


En esperant que vous puissiez m'aider et je vous prie d'acceptez mes remerciements avancés.

Bonjour et bienvenue parmi nous !!

Ton exercice fait intervenir les deux notion lié au fonction usuelle c'est à dire leur représentation graphique dans un repère (ici orthonormé à première vue) et leur équation.

Pour un tel exercice, il faut d'abord mobiliser ce qu'on sait sur les fonctions usuelles et la première chose à faire c'est de mettre dans un coin les fonctions usuelles que tu connais (vu qu'on va travailler sur l'une d'entre elle autant savoir ce qu'on sait à l'avance).

On connais la fonction carrée, la fonction racine carrée, les fonctions affines et linéaires aussi ainsi que la fonction inverse si je ne me trompe pas c'est à peu près tout (si je ne parle pas des fonction trigonométrique: cosinus, sinus et tangente). Et bien sur toute les fonction qui s'écrive comme addition de ses fonctions usuelles tel que les fonctions du type h(x)=ax²+bx+c (qu'on appelle aussi fonction polynôme du second degré)

La première question commence ainsi:

Citation :

La parabole P ci-contre représente une fonction f

Nous n'avons pas encore la question mais rien que ce bout de phrase permet de déduire beaucoup de chose. En effet, on sait que la courbe que nous avons représente l'équation y=f(x) vu qu'il s'agit de la représentation de la fonction f. C'est peut de chose mais c'est déjà beaucoup après tout car cela nous définit notre cadre de travail.

Mais le début de la phrase nous dit que cette courbe que nous avons sous les yeux est une parabole qu'on notera P. Déjà cela mobilise un peu plus de cours car nous devons connaître le lien entre une fonction f et le fait que sa représentation soit une parabole.

Est-ce que tu as une idée de la forme ou du nom des fonctions qui ont pour représentation graphique une parabole?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si ce que je dis n'est pas clair!

Je pense que c'est la fonction carrée mais je n'en suis pas sûre. La forme je n'en est pas la moindre idée. On commence juste ce nouveau chapitre c'est pour ca.

En effet, il y a bien un rapport avec la fonction carrée.

En fait, toute fonction du type f(x)=ax²+bx+c a pour représentation graphique ce qu'on appelle une parabole. Et tu vois que si je pose b=c=0 et a=1, on retrouve la fonction carrée f(x)=x²

Par contre que savons-nous de la fonction carrée?

Son minimum est atteint en 0 et vaut 0. Ici le minimum de la fonction à l'air d'être atteint en -1 et il vaut 4.

Donc, intuitivement, on pourrait penser que nous avons pris notre courbe de la fonction carrée et que nous l'avons déplacer de telle sorte que son minimum soit en 4 pour une valeur de x=-1.

Est-ce que jusque là, c'est clair?

Maintenant, le plus difficile va être de savoir comment passer de notre fonction h(x)=x² et la fonction f dont nous avons la représentation graphique sous les yeux.

C'est à dire que notre fonction doit vérifier au minimum f(-1)=4 vu que le point (-1,4) appartient à la courbe.

Est-ce que tu as une idée?

Indication: Première étape: comment passerais-tu de la fonction carrée à la fonction dont la représentation graphique serait la fonction carrée mais son point minimum serait le point (0;4)? C'est à dire qu'on effectue une translation de notre courbe de telle sorte que (0;0) devienne (0,4).

Bon courage!

J'avoue caller un peu là. Je n'arrive pas a comprendre ce que vous voulez me dire par le faites de la translation. Pouriez vous mieux vous expliquer s'il vous plait ?

Mais bien sur . Faut pas hésiter à m'arrêter si tu ne comprends pas, je peux toujours essayer d'expliquer autrement.

Alors prenons un exemple simple, je prend la droite d'équation y=x et je considère une droite parallèle à celle-ci passant par le point A(0;4). J'ai donc translater ma droite vers le haut (si tu fais un dessin, c'est plus visuel si tu veux)

Alors ici, on sait qu'une droite parallèle à une autre ont le même coefficient directeur (ça fait des révisions en même temps ). Doncl 'équation de ma droite est de la forme y=x+b.

Mais A appartient à ma droite et par conséquent ses coordonnées vérifient l'équation. On a donc 4=0+b c'est à dire b=4.

L'équation de ma droite translaté est donc y=x+4

J'ai donc concrètement ajouter 4 en ordonnées par rapport à la droite d'équation y=x.


Ensuite, on peut généraliser celà à toutes les courbes, si on constater que deux courbe sont identiques mais pas représenter au même endroit, on peut donc passer de l'une à l'autre en ajoutant un chiffre aux ordonnées ainsi qu'aux abscisses des points de ma courbe initiale.


Sur ton exercice, on a décallé (ou translaté) la courbe représentative del a fonction carrée de 4 vers le haut et de 1 vers la gauche.

Est-ce plus clair au niveau de l'idée et de l'explication?

Oui c'est plus clair en effet. J'ai réussi a faire mes deux premières questions. La troisièrme a) est apparament juste une lecture sur le graphique donc pas de soucis. Pour la 3 b) cela donnerait quoi ?

J'aimerai avoir la première question si c'était possible pour vérifier si nous arrivons à la même chose.

Car la 3)b) est justement l'utilisation de cette première question. En effet résoudre g(x)=f(x) cela revient à la recherche de l'ensemble des valeurs de x tel que g(x)=f(x) ce qui revient à chercher l'ensemble des valeurs de x tel que g(x)-f(x)=0 par exemple (ou f(x)-g(x)=0 ce qui est la même chose à multiplication par (-1) près ).

Ainsi, nous devrions retrouver l'équation qui est proposée dans l'énoncer.

Bon courage!

Avec ce que j'ai compris j'ai trouver -1x² + 4

C'était prévisible que tu face une erreur sur le décalage de -1.

En effet, tu as bien compris que pour un décalage des ordonnées, on ajoutait le chiffre à l'équation ce qui est logique car les ordonnées sont les "y" donc si on ajoute 4 à l'équation on trouver bien ce qu'on cherche donc .

Par contre, pour les abscisses l'idée de la multiplication de x² par -1 n'était pas forcément fausse vu que tu sens bien qu'il y a un rapport avec les abscisses c'est à dire les "x". Cependant, il ne s'agit pas d'une multiplication mais d'une addition aussi au niveau des abscisses.

C'est à dire qu'ici on doit soustraire -1 à tous les abscisses des points de notre courbe d'équation y=x² ce qui revient à faire y=[x-(-1)]².

Ce qui donne au finale: f(x)=[x-(-1)]²+4

on soustrait -1 aux abscisses c'est à dire à x
j'ajoute 4 aux ordonnées c'est à dire qu'on prend f(X)=X+4

D'ailleurs, n'oublie pas qu'en -1, il fallait avoir 4 c'est à dire que f(-1)=4. Or avec ce que tu prenais tu avais f(-1)=-(-1)²+4=3 et non 4.

Est-ce que tu comprends la démarche?

Sinon, pour être encore plus clair essayons de le comprendre pas à pas.

Je pars de l'équation y=x² (ce qu'on connaît) et je vais essayer d'arriver à ce qu'on a sous les yeux.

Le minimum est translaté en ordonnée de 4 vers le haut. C'est à dire que pour revenir à l'équation que j'ai, il faut soustraire 4 à y:

Je pose donc Y=y-4.

Pour les abscisses je constate un décalage de 1 vers la gauche, il faut donc poser X=x-1 si je veux retrouver l'équation y=x².

Je remplace y et x par leur valeur:

Y-4=(X+1)² (j'ai bien pour X=-1, Y-4=0 c'est à dire Y=4, le point (-1;4) appartient à ma courbe)

J'ai donc Y=(X+1)²+4 et Y=f(X) ici ce qui nous donne bien l'équation que je te proposais juste au-dessus c'est à dire f(x)=(x+1)²+4

Est-ce plus clair maintenant ou toujours aussi flou pour le décalage des abscisses et le raisonnement complet?

Oui j'ai maintenant compris que pour decaler au niveau des absices il faut soustraire et non pas multiplié comme je l'ai fait précédamment. Mais j'ai remarquer qu'au lieu de réécrire [x-(-1)]² + 4 nous pouvions ecrire [x+1]²+4 puisque les deux (-) s'annule non ? Tout compte fait j'ai des soucis pour les valeurs approchées question 3) a)

Bien sur que nous pouvons écrire F(x)=(x+1)²+4 mais je mettais en évidence le raisonnement .

Dans la question 2), on t'a demandé de tracer la courbe représentative de la fonction g.

Pour la question 3), il s'agit d'étudier les rapports entre les fonctions g et f à partir de leur courbe d'une part puis de leur équation d'autre part.

La question 3)a) pourrait être posée autrement, par exemple:

Trouver les coordonnées approchées des points d'intersection entre les courbes représentatives de f et celle de g.

En effet, il faut bien avoir en tête le fait que les coordonnées (x;y) d'un point d'intersection entre deux courbes (l'une représentant f et l'autre g) vérifient le système suivant:

y=f(x)
y=g(x)

Vu que le point appartient aux deux courbes, ses coordonnées vérifient donc les deux équations c'est ce que signifie le lien entre le système et un point d'intersection.

Par conséquent, lorsque f(x)=g(x) cela signifie que pour une abscisse donnée, les ordonnées sont égales. C'est à dire qu'on cherche ici l'abscisse des points d'intersection entre les deux courbes.

Est-ce que tu comprends le raisonnement que j'ai effectué? Je sais qu'on n'a hélas pas l'habitude en 3ème de faire le lien entre système et point d'intersection de deux droites par exemple et c'est bien dommage car ici tu aurais tout de suite vu le lien et qu'il s'agissait en fait de déterminer graphiquement l'abscisse des points d'intersections entre les deux courbes.

Bon courage!

Merci beaucoup beaucoup toutes ces explications m'ont beaucoup aidé =) cette année je ne m'en sors pas trop en maths...

Sinon je m'entraîne en faisant des exercices du livre, mais...c'est toujours pas ça ^_^

Alors je voulais savoir si vous n'aidiez que pour les devoirs-maison ou ce genre de choses, ou si je pouvais profiter de votre savoir pour comprendre l'exercice

Bonjour!

Il s'agit d'une très bonne question qui n'est pas souvent posée et pourtant elle devrait . En effet, la partie "exercice de cours" permet de poser vos questions relatif à vos cours (point de cours pas bien compris et autre) ainsi qu'aux exercice de cours (type exemple de cours).

Et la partie "problèmes et exercices" est réservée à TOUS les exercices sans exception, les devoir maison rentre dans ce cadre là mais il ne s'agit que d'une tout petite partie de l'ensemble des exercices qui peuvent nous être proposés bien entendu .

En clair, tu peux demander tout type d'aide sur ce forum et pas seulement pour les devoirs maisons. Il y a plus de devoir maison pour des raisons qui se résume essentiellement au fait qu'ils sont notés et que par conséquent, nous sommes plus sollicités pour ceux-ci et j'en profites donc pour faire faire des révisions ou faire prendre du recule sur certaine notion à partir des devoirs maisons.

Mais il est bien sur conseillé de ne pas venir ici que pour ce qui est noté ou à vocation à l'être car s'il y a des lacunes ou des soucis de compréhension déjà sur les exercices les devoirs maisons ne seront pas conséquent pas plus simple à comprendre c'est évident. D'ailleurs, nous avons fait et nous faisons aussi des aides à la compréhension de correction de devoir ce qui peut être intéressant pour comprendre certaines réponses qui semble toujours flous même après correction.

Vous pouvez aussi sollicité la demande d'exercice dans la partie cours ou dans la partie "cage aux exercices" ainsi que demander de l'aide pour résoudre des exercices déjà proposés, il n'y a pas de soucis bien au contraire, ils sont là pour ça.

En espérant avoir répondu en détail à ta question .

Bon courage pour la suite!

ok merci beaucoup ^_^
bon ben jvais mettre mon exercice sur un autre sujet pour pas tout mélanger alors...

merci encore!