Calcul de primitives

Salut!
Me revoici avec un exercice de révision sur les primitives qui normalement est correct donc, j'aurais besoin d'une petite vérification stp.

Voici l'énoncé :


1. On pose f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5).
Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction.
Déterminer une primitive de f(x) sur R.

2. On pose f(x) = (8x) / (x²+3)⁴.
Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction.
Déterminer une primitive de f(x) sur R.


Et voici mes réponses :

1. f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5)
--> Ensemble de définitions : Une racine est toujours positive donc :

Delta = b² - 4ac = 3² -4(1*5) = 9-20 = -11

x₁ = [-b -iRacine(11)]/(2a) = [-3 -iRacine(11)]/2
x₁ = [-b +iRacine(11)]/(2a) = [-3 +iRacine(11)]/2
Donc :
f(x) est défini sur ]-Inf. ; x₁]U[x₂ ; +Inf.[


--> Déterminer une primitive :
f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5) = (2x+3)(x² + 3x +5)^1/2

On a donc une forme du type u'(x)[u(x)]ⁿ :
F(x) = 1/[(1/2) +1] * (x² + 3x + 5)^(1/2)+1
F(x) = 1/(3/2) * (x² + 3x + 5)^(3/2)
F(x) = (2/3) * (x² +3x +5)^3/2


2. f(x) = (8x) / (x²+3)⁴.
--> Ensemble de définitions : Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être égal à 0 donc : (x²+3)⁴ différent de 0.
Il faut donc que x² + 3 soit différent de 0 :

Delta = b² - 4ac = 0 -4(1*3) = -12.

x₁ = [-b -iRacine(12)]/(2a) = [-iRacine(12)]/2
x₁ = [-b +iRacine(12)]/(2a) = [iRacine(11)]/2
DONC :
donc x appartient à :
]-Inf. ; x₁[U]x₂ ; +Inf.[

--> Déterminer une primitive :
f(x) = 4 * [u'(x)]/[u(x)]⁴
DONC :
F(x) = 4 * -1/(4-1) * 1/(x²+3)³
F(x) = -4/3 * 1/(x²+3)³


Voilà!
Normalement, ça m'a l'air correct mais, les remarques sont toujorsu els bienvenues .
Merci d'avance.

Bonsoir!

Alors première remarque, tu as déjà vu un ensemble de définition contenu dans R contentant dans complexe??? Pour ma part pas encore .

x1 et x2 sont tous les deux complexes car le discriminant de ton polynôme du second degré est bien négatif. Nous ce qu'on cherche c'est sont signes. Donc c'est du signe de a à l'extérieur des racines mais SEULEMENT lorsque les racines du polynôme sont réelles c'est à dire que le discriminant est positif ou nul.

Je te laisse corriger cette première question. D'ailleurs du point de vu de la rédaction, on ne dit pas:

Citation :

Une racine est toujours positive

Pourquoi? Car une racine carré est en effet toujours positive mais ce qui nous intéresse c'est qu'elle est défini si et seulement si ce qu'il y a sous la racine est positif ou nul.

Donc il faudrait plus dire:

F est bien défini si la racine carré est bien définie. Et la racine carré est définie sur R⁺.

Conclusion, l'ensemble de définition de F est l 'ensemble des x tel que x²+3x+5 soit positif ou nul.

Et à partir de là, tu enchaîne sur le calcul du discriminant et la détermination du signe de ce polynôme.

Est-ce que tu vois les étapes logiques qu'il y a dans la démarche? Je sais très bien que c'est ce que tu as pensé vu que c'est ce que tu fais mais ta rédaction ne laisse pas voir clairement les étapes de ton raisonnement. Or ce sont ses étapes qui sont importante pour le correcteur car c'est avec cela qu'il va te juger.


Pour ce qui est du calcul de primitive ta démarcha est excellente et tu écrit bien les étapes de ton raisonnement ce qui permet de te suivre totalement. C'est tout de même plus clair lorsque les étapes clés sont écrites .


Pour la deuxième, l'ensemble de définition est faux pour les mêmes raisons que la première fonction. En effet, x1 et x2 sont des complexes, comment les faire rentrer dans un intervalle réelle? C'est facile de mettre x1 et x2 mais c'est presque dommage que tu n'es pas écrit directement la valeur de x1 et x2 car je pense que tu n'aurais pas écrit les complexes dans ton intervalle réel . Et puis un peu de bon sens voyons:

un carré est toujours positif ou nul, donc x² est positif ou nul. Conclusion, x²+3 est strictement positif pour tout x tout simplement. Sinon la rédaction était bonne.
Je te laisse reprendre cette partie de la question.


Enfin, ton calcul de primitive est juste et la rédaction aussi, on voit bien la mise ne évidence de ton raisonnement.

Toujours un peu de mal avec les ensemble de définition (depuis l'année dernière d'ailleurs) mais bon, un peu plus de rigueur et de détail dans la rédaction te permettra d'éviter quelques erreurs logique.

Bon courage!

1. f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5)
--> Ensemble de définition :
f(x) est défini si Racine(x² + 3x + 5) est définie avec la fonction Racine définie sur R^*.
--> L'ensemble de définition de F est l'ensemble des x tel que x²+3x+5 soit positif ou nul.
Delta = b² - 4ac = 3² - 4(1*5) = 9 -20 = -11.
Le discriminant est négatif donc, x² + 3x +5 est du signe de a soit positif.
DONC :
f(x) est définie sur R.

--> Déterminer une primitive :
f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5) = (2x+3)(x² + 3x +5)^1/2

On a donc une forme du type u'(x)[u(x)]ⁿ :
F(x) = 1/[(1/2) +1] * (x² + 3x + 5)^(1/2)+1
F(x) = 1/(3/2) * (x² + 3x + 5)^(3/2)
F(x) = (2/3) * (x² +3x +5)^3/2


2. f(x) = (8x) / (x²+3)⁴.
--> Ensemble de définition :
Pour que f(x) soit définie, son dénominateur ne doit pas et ne peut pas être égal à 0 donc : (x²+3)⁴ différent de 0
x² est positif donc x²+3 est positif.
En quoi le fait que c'est positif peut montrer trouver la valeur de x pour que (x²+3)⁴ différent de 0?

--> Déterminer une primitive :
f(x) = 4 * [u'(x)]/[u(x)]⁴
DONC :
F(x) = 4 * -1/(4-1) * 1/(x²+3)³
F(x) = -4/3 * 1/(x²+3)³

La première rédaction est nickel!

Pour ta question j'avais écrit ceci:

Citation :

x²+3 est strictement positif

Le fait que ce soit positif ou négatif importe peu mais la strict positivité ou la stricite négitité permet de dire qu'il n'y a pas d'annulation.

En fait, si on veut vraiment tout rédigern, on a:

Un carré est toujours positif. Donc pour tout x dans R, on a: x²≥0
Donc pour tout x dans R, x²+3≥0+3=3

D'où x²+3≠0 pour tout x dans R

Je n'ai même pas besoin de la stricte positivité ici mais le fait de le dire suffit pour conclure que ça ne s'annule pas en fait.

Est-ce plus clair ?

1. f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5)
--> Ensemble de définition :
f(x) est défini si Racine(x² + 3x + 5) est définie avec la fonction Racine définie sur R^*.
--> L'ensemble de définition de F est l'ensemble des x tel que x²+3x+5 soit positif ou nul.
Delta = b² - 4ac = 3² - 4(1*5) = 9 -20 = -11.
Le discriminant est négatif donc, x² + 3x +5 est du signe de a soit positif.
DONC :
f(x) est définie sur R.

--> Déterminer une primitive :
f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5) = (2x+3)(x² + 3x +5)^1/2

On a donc une forme du type u'(x)[u(x)]ⁿ :
F(x) = 1/[(1/2) +1] * (x² + 3x + 5)^(1/2)+1
F(x) = 1/(3/2) * (x² + 3x + 5)^(3/2)
F(x) = (2/3) * (x² +3x +5)^3/2


2. f(x) = (8x) / (x²+3)⁴.
--> Ensemble de définition :
Pour que f(x) soit définie, son dénominateur ne doit pas et ne peut pas être égal à 0 donc : (x²+3)⁴ différent de 0
x² est positif donc x²+3 est strictement positif.
avec :
x² ≥ 0
x² +3 ≥ 3
Je capte toujours pas c'est bizarre... on sait que x² + 3 est strictement positif donc, ça ne fait que croître donc, on aura jamais de valeurs sous 3 mais après, je ne sais pas conclure.


--> Déterminer une primitive :
f(x) = 4 * [u'(x)]/[u(x)]⁴
DONC :
F(x) = 4 * -1/(4-1) * 1/(x²+3)³
F(x) = -4/3 * 1/(x²+3)³

Le but est de trouver l'ensemble des x dans R tels que x²+3≠0.

Et nous on a montrer que: Pour tout x dans R, x²+3≥3.

Si pour tout les réels x, x²+3 est supérieur ou égale à 3, comment veux-tu qu'il existe un réel x tel que x²+3=0 ?


Sinon, si cela te gène, tu peux calculer le iscriminant dire qu'il est strictement négatif et par conséquent x²+3 est du signe de 1>0. Donc x²+3>0 pour tout reéls x.

Ma la conclusion est la même en fait.

1. f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5)
--> Ensemble de définition :
f(x) est défini si Racine(x² + 3x + 5) est définie avec la fonction Racine définie sur R^*.
--> L'ensemble de définition de F est l'ensemble des x tel que x²+3x+5 soit positif ou nul.
Delta = b² - 4ac = 3² - 4(1*5) = 9 -20 = -11.
Le discriminant est négatif donc, x² + 3x +5 est du signe de a soit positif.
DONC :
f(x) est définie sur R.

--> Déterminer une primitive :
f(x) = (2x+3)Racine(x² + 3x + 5) = (2x+3)(x² + 3x +5)^1/2

On a donc une forme du type u'(x)[u(x)]ⁿ :
F(x) = 1/[(1/2) +1] * (x² + 3x + 5)^(1/2)+1
F(x) = 1/(3/2) * (x² + 3x + 5)^(3/2)
F(x) = (2/3) * (x² +3x +5)^3/2


2. f(x) = (8x) / (x²+3)⁴.
--> Ensemble de définition :
Pour que f(x) soit définie, son dénominateur ne doit pas et ne peut pas être égal à 0 donc : (x²+3)⁴ différent de 0
x² est positif donc x²+3 est strictement positif.
avec :
x² ≥ 0
x² +3 ≥ 3
Donc, le dénominateur ne sera jamais égal à 0.
Donc, f(x) est définie sur R.

--> Déterminer une primitive :
f(x) = 4 * [u'(x)]/[u(x)]⁴
DONC :
F(x) = 4 * -1/(4-1) * 1/(x²+3)³
F(x) = -4/3 * 1/(x²+3)³

En effet c'est ça.

Mais est-ce que tu as compris la démarche où tu n'es pas encore convaincu de celle-ci? Car il est difficile de reproduire une démarche si on ne comprend pas la totalité de celle-ci.

Bon courage pour la suite!

En fait, j'ai compris mais là tu as bien vu que la rédaction bloque parfois bien que l'idée y soit donc, ça me fait un point à travailler ^^.
En tout cas merci pour tes conseils! ^^