Calcul mental

Citation :

Après avoir jeté un coup d'oeil rapide sur l'addition suivante : 6 + 10 + 16 + 26 + 42 + 68 + 110 + 178 + 288 + 466, le calculateur prodige écrivit sans une seconde d'hésitation le résultat : 1210.

Sur quel principe s'est-il appuyé ?

Bonne chance !

u(n+2)=u(n+1)+u(n) .. Suite Finobacci !

C'est en effet l'idée de la suite de Fibonacci mais je rappelle tout de même que cette suite s'appelle ainsi lorsqu'on pose U₀=1 et U₁=1 (ou U₀=0 et U₁=1).

Mais l'idée est tout à fait là en effet!

Conclusion, quelle méthode employé pour effectuer un calcul aussi minimaliste possible?

C'est une suite possédant les caractéristiques de la suite de fibonacci effectivement... mais t'as pas donné la réponse !

hello a vous tous,
je voudrais en premier lieu remercié pour ceux qui ont crée forum qui ma fait revivre le goût des maths.
pour la solution, on observera qu'on a une somme de 10 chiffre ce qui correspond a U₁₀. on a observe aussi que c'est une suite de Fibonacci . pour résoudre il faut connaitre les 10 premiers chiffre de la suite Fibonacci qui sont 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 respectivement de 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (A)
en 2eme lieu on construira la suite sauf que U₀=6 ET U₁=10 puis on comptera le reste de U. on a U₂=u₁+u₀ et u₃=u₂+u₁=(u₁+u₀)+u₁=2u₁+u₀ (B)
comme ca on aura une suite ou U_n=xU₁+yU₀ ou x et y sont des nombre de la suite Fibonacci tel que y précède x .(C)
je sais que c'est flou mais continuons donc on conclue que d'après A et B et C on a U₁₀=89U₁+55U₀=89*10+55*6=1220 et non pas 1210 . merci de votre attention

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Il y a une légère erreur dans ton calcul, en effet, tu a mis en évidence les 11 premiers termes de la suite de fibonacci et non les 10 premiers termes ce qui décale ton calcul:

U₁₀=55*U₁+34*U₀=55*10+34*6=550+204=754

Et on trouve avec ta méthode U₉=466 ce qui est exactement le 10 terme de notre addition.

Donc où est l'erreur dans ton raisonnement? La réponse sauf erreur de calcul à l'air d'être bien égale à 1210 comme dans l'énoncer .

Bon courage!

merci pour ta correction,
si j'avais dis les 11 premiers nombres de la suite Fibonacci , maintenant la méthode sera juste car U10 est exactement la somme des 10 nombres de la suite allant de U0 jusqu'à U9.
en d'autres terme u10 est le 11nombre de la suite qu'il faut trouver. et merci

Bonjour,

Ton raisonnement n'en reste pas moins erroné si on prenais les 11 premier terme au lieu des 10. La preuve étant que le 10ième terme de la suite ici ne nous donne pas l'addition des 9premiers vu qu'on trouve 754 au lieu de 1210.

Le 11ème terme de la suite ne nous donne pas l'addition des 10 premiers car 1220 n'est pas l'addition de U₀ jusqu'à U₉ comme tu le prétend.

En effet, nous cherchons à effectuer l'addition U₀+U₁+...+U₉

Or U₁₀=U₉+U₈ donc il manque beaucoup de terme à cette somme.
De même U₁₁=U₁₀+U₉=2*U₉+U₈ donc en plus de ne pas être la somme cherchée, on compte deux fois U₉ alors que dans l'addition, il n'est présent qu'une seule fois.

Ce que tu donnes comme méthode c'est le moyen de calculer tous les termes de la suite (U_n) en fonction des termes de la suite de Fibonacci et des deux premiers termes de cette nouvelle suite. Tu as donc mis en évidence cette construction (il faudrait d'ailleurs le démontrer que les coefficient sont bien les termes de la suite de Fibonacci mais la formule est juste donc passons sur cette démonstration) mais tu ne calculs pas la somme rechercher.

En effet, tu peux faire une vérification simple directement sur la suite de Fibonacci si tu le souhaite. F₃ n'est pas égal à F₀+F₁+F_{2[sub] vu que par construction F[sub]3}=F₁+F₂ il manque donc déjà à ce stade là, un terme dans la somme.

Ton erreur est classique sur la suite de Fibonacci mais il faut bien comprendre que chaque terme de la suite n'est que l'addition des deux précédents par construction de cette suite là. Et nous sommes donc très loin d'avoir la somme de tous les termes qu'on cherche. Il faut vraiment bien comprendre qu'il y a un problème de raisonnement là et si tu n'en es pas convaincu n'hésite pas à demander plus de précisions.

Je te laisse revoir ton raisonnement donc.

Bon courage @tous ceux et @toutes celles qui tentent de résoudre ce problème .

OK ,
si j'ai bien compris mon erreur est que je n'additionne que la somme des deux termes précédent de la suite voulue , et non la somme de tout les Un par ex je fait U10=U9+U8 et non U10=U9+U8+U7+....+U0.
or tous les suites sont relié par elle, et U10=X*U9+Y*U8 et non pas U10=U9+U8.
(pour ce qui est de la démonstration de la méthode si elle est juste , je la démontrerai plus tard )et désole si j'ai pas bien compris ton raisonnement

Notre suite comme celle de Fibonacci est définie comme suit:

{U₀
{U₁
{Pour tout entier naturel n, U_n+2=U_n+1+U_n

Ce système caractérise totalement toutes les suites du type Fibonacci. La suite de Fibonacci ou plutôtl a plus classqie car il y e deux moyen de la faire partir en fonction de ce qu'on souhaite modéliser sera avec U₀=1 et U₁=1.

Ensuite, on peut démontrer en effet que tous les termes peuvent s'écrire comme une fonction des deux premiers termes mais en fit c'est un joli leurre car pour pouvoir écrire cela, il faudrait connaître tous les termes de la suite de Fibonacci. Donc dansl a pratique, on ne gagne rien à dire que U_n=X*U₀+Y*U₁ avec X et Y deux termes consécutif de la suite de Fibonacci. Car en fait X et Y ne sont ps des constantes mais dépendent de la valeur de n, donc ce qui serait juste d'écrire c'est: U_n=F_n*U₀+F_n+1*U₁ avec (F_n) la suite de Fibonacci définie ci-dessus.
Et on retrouve, bien en pose U₀=U₁=1, la suite de Fibonacci elle-même.

Donc si on formalise un peu cette exercice, on a qu'à dire qu'on défini les 10 premiers termes de la suite (U_n) par:
U₀=6
U₁=10
U₂=16
U₃=26
U₄=42
U₅=68
U₆=110
U₇=178
U₈=288
U₉=466


Ainsi pour tout i compris entre 0 et 7, on a bien: U_i+2=U_i+1+U_i et on pose U₀=6 et U₁=10. Ainsi, nous avons complètement caractériser la suite que nous avons sous les yeux.

Et nous pouvons considérer la suite (U_n) définit pour toutes les valeurs entières. Ainsi définie, notre suite est une suite qui relève de la récurrence de Fibonacci avec comme conditions initiales 6et 10 pour les deux premiers termes.

Nous avons donc exactement U₁₀=U₉+U₈.

Maintenant, j'appelle S₁₀ la sommes des dix premiers termes de cette suite. donc S₁₀ est exactement égale à ce que nous cherchons à calculer.

Donc Si tu calcules U₁₀, on a S₁₀-U₁₀=U₇+U₆+U₅+U₄+U₃+U₂+U₁.

Nous constatons donc que de calculer un terme de la suite ne nous donnera pas la solution à notre problème. Il n'y a pas de lien entre le clacul d'un seul terme de cette suite et le calcul de la somme de termes de cette suite vu que chaque terme de la suite n'est que l'addition de deux termes précédents et non de la totalité des termes précédents. Le fait que tous les termes dépendent des deux premiers ne nous donne pasl el ien avec l'addition de tous les termes qu'il y a entre le terme que nous calculons et justement les deux premiers.

Est-ce que tu comprends l'erreur dans ton raisonnement? Il n'y a pas de lien entre l'addition de tous les termes précédent et le fait de dépendre du calcul des deux prémiers termes de la suite. En tout cas pas de façon aussi brute.

Bon courage pour le calcul de cette somme donc!

exactement,
merci pour l'explication mais ce qui ma laisse sceptique au début est que mon résultat était proche du résultat voulu.mon erreur se situe sur la somme de tous les termes et non de la suite.
je vais donc tenter une autre approche et merci pour tout.

En effet, la chose troublante était que tu sois très proche de la solution ce qui peut faire penser au fait que celle-ci est peut-être fausse surtout entre un 1 et un 2, il est très facile de faire une erreur de recopie.

Mais le plus important c'est d'apprendre de ses erreurs et de les comprendre surtout.

Bon courage pour la recherche de ce calcul!

bonsoir ,
j'ai trouvé sur le net une caractéristique de cette merveilleuse suite .hélas, je ne suis pas satisfait de cette solution si facile un + un+1 + un+2 + ... ... + un+10 = 11×un+7. entretemps je la démontrerai dans une prochaine réponse

re salut,
j'ai trouvé une autre technique mais c'est moi qui l'est découverte(l'extase des scientifique).
commençons , j'ai observe qu'il y'a une somme de la suite de Fibonacci donc par hasard jai calculé la somme des suites de Fibonacci qui sont 0,1,2,4,7,12,20,33,54,88 pour les nombre 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55qui sont au nombre de 10 .
puis j'ai réutiliser ma formule en nommons S la somme des suites où Sn=xU0+yU1 ou x appartient a la suite de Fibonacci et y a la somme des suite de Fibonacci .vérification :
S10= 55*6+88*10 =1210 autre S3= 2U0+2U1=12+20=32 ce qui est exacte

Bonjour,

La réponse est juste mais je ne comprend toujours pas d'où sort S_n=xU₀+yU₁. Quelle sort de suite fait se genre de chose?

De plus, La première suite que tu donnes n'est pas une suite de Fibonacci vu qu'on ajoute les deux termes précédent plus 1 ce qui nous donne la forme:
U_n+2=U_n+1+U_n+1
Ceci n'étant pas une suite de Fibonacci.

La réponse est bien exacte mais je me demande comment tu vas réussir à démontrer les valeurs de x et de y qui dépendent de n. Pour la forme de la somme c'est plutôt logique vu que tous les terme dépend des deux premiers par construction, donc c'est bon mais pourquoi x et y valent les valeurs que tu donnes? Il y a plusieurs moyens d'arriver au résultat mais je me démende si rigoureusement, on peut démontrer ta démarche.

Sinon, il y a beaucoup plus simple vu que dans l'énigme, on constate qu'il ne connaît pas les valeurs de la suite de Fibonacci vu qu'il donne la réponse quasi directement. Il s'agit ici d'une propriété très inéressante de ce genre de somme en fait et tes idées ne sont pas loin mais les démonstrations risque de te demander du temps surtout au niveau des justifications car je ne vois pas comment faire pour ma part (bon j'ai pas réfléchi à cette méthode tu me diras donc j'espère à la rigueur que tu me démontrera celle-ci ).

Bon courage!

bonjour,
en premier lieu , je tien a m'excuser d une grande absence.
pour ce qui est de la la première réponse je lai trouve dans le net http://www.les-suites.fr/suite-de-fibonacci.htm.
pour la deuxième , je me suis basée sur ma première idée en la modifiant. certes , c'est la chance qui m'a aidée mais si elle est applicable on ne saurai la réfutai. la démontrer ne sera pas une partie de plaisir , néanmoins je trouverai une autre réponse plus habile et facile sans tenir compte des nombre de Fibonacci

Bonsoir,

La première réponse nous l'avons vu était fausse. Pour la deuxième réponse, elle reste un mystère en soi pour l'instant car impossible à démontrer rigoureusement (je soupçonnerai même qu'il s'agit d'un coup de chance pour que ça marche ici en fait et que si on prned une autre addition la méthode échoue mais à voir).

En fait, des raisonnmeent irréfutable qui mène au résultat son simple en fait. Je peux carrément dire la réponse vu la tête de la somme, je peux considérer que la réponse est triavialement 1210 sans donner de justification. Cette réponse est irréfutable aussi mais n'apporte rien à la démarche en quelque sorte.

Ici ce que tu nous a proposé me paraît obsolète en fait même si la réponse est juste (il y a une autre question dans cette partie où une réponse obsolète menait au bon résultat avec un raisonnement faux en fait, je crois qu'il s'agit de la réponse sur le dernier chiffre non nul d'une multiplication).

La réponse ici est calculable à la main sans connaître de résultat par coeur (type nombre de Fibonacci).

Bon courage!