[Spé Maths] - Congruences

Salut !

Alors j'ai quelques questions sur les congruences.

On a la propriété suivante : Si a ≡ b (mod m) et si b ≡ c (mod m), alors a ≡ c (mod m).
Mais est-ce que, à partir de cette propriété, on peut affirmer à coup sûr que si : a ≡ b (mod m) et b n'est pas congru à c (mod m), alors a n'est pas congru à c (mod m) ? (ça me sert pour finir de prouver complètement un critère de divisibilité, car il faut que je dise que le critère que j'ai démontré juste avant est unique, et que s'il n'est pas respecté, alors le nombre n'est pas divisible par tel nombre)
(j'ai pensé à dire, pour essayer de le démontrer, que si a ≡ b (mod m), alors (a-b) est divisible par m, d'où (a-b) = km. Et si b n'est pas congru à c (mod m), alors (b-c) ≠ k'm. Donc b ≠ c + k'm, et en remplaçant dans l'égalité du début : a - c - k'm ≠ km, donc (a-c) ≠ (k+k')m, d'où a n'est pas congru à c (mod m). Est-ce bon ? je ne sais pas si j'ai le droit, lorsque je remplace le b par ce dont il n'est pas égal, de changer alors le signe "égal" en "différent de")

Sinon, de la même manière, pour toutes les autres propriétés sur les congruences de la forme : "Si ..., alors", la réciproque est-elle vraie ? Je sais que la formule "Si... alors" indique une implication, et non une équivalence, mais pour les propriétés sur les congruences, avec notamment les règles de calcul sur les congruences, je n'arrive pas à savoir si l'implication marche forcément dans l'autre sens, donc s'il y a équivalence !

Aussi, dernière question : peut-on marquer, lorsqu'un nombre n'est pas congru à un autre, un signe du même style que celui-là : ≠, en rajoutant juste une barre au signe "égal", donc en marquant le signe des congruences (avec trois barres), et en le barrant !?

Merci d'avance !

Bonsoir,

La seule chose à savoir sur les congruences c'est qu'il s'agit d'une facilité d'écriture et non d'une nouvelle notion en soi. En ayant bien cela en tête, tu vas pouvoir comprendre s'il y a des équivalence ou pas.

En fait, il s'agit d'une définition, si on prend deux entiers a et m et qu'on effectue la division euclidienne de a par m, on a l'existence d'un unique couple (b,k) tel que:

a=k*m+b avec |b|<m

Et par définition, on dit que a est congru à b modulo m. Mais pour les congruences, il n'y a pas unicité du b car on peut dire que a≡(b+m) [m] vu que m≡0[m] donc cela ne change rien.

Il n'est pas très courant d'utiliser des négation de congruence car celà n'estp as très utile. On dira plutôt que b-c n'est pas divisible par m par exemple (ce qui revient au même mais bon qu'elle est l'intérêt de parler de congruence qui n'est qu'une notation pour simplifier les calculs en Terminale spécialité maths alors qu'on a des critère de divisibilité directe).

La démonstration que tu proposes est bancale mais l'idée est là en quelque sorte. On peut faire plus rigoureux ainsi:

Citation :

Si m|a-b et m ne divise pas b-c

Or a-c ≡ a-b+b-c [m]
Donc a-c ≡ b-c [m]
Or b-c n'est pas divisible par m

Donc a-c n'est pas divisible par m non plus.

Mais il n'y a pas besoin de théorème pour cela car ce n'est pas très utile.

sinon, pour les autres questions, il faut regarder au cas par cas car tous les thoérèmes n'admettent pas forcément de réciproque.

Pour ta dernière question, c'est tout à fait utilisé le triple égale barré mais il faut mieux se souvenir de ce que cela veut dire que de l'utiliser pour faire des calculs car la non congruence ne se manipule que très rarement dans les démonstration. Par contre, on utilise ce qu'elle signifie c'est à dire un critère de non divisibilité.

Est-ce plus clair ainsi?

Bonne continuation!

Oui c'est plus clair !

Donc si je résume, cette propriété est vraie : a ≡ b (mod m) et b n'est pas congru à c (mod m), alors a n'est pas congru à c (mod m) ? Par contre je n'ai pas compris toute ta démonstration (sûrement parce qu'on vient tout juste de commencer le chapitre et je n'ai pas encore en tête toutes les propriétés sur les congruences, et règles de calcul)

En fait je cherchais à démontrer le critère de divisibilité par 9.
Donc j'ai démontré que pour un nombre a = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ... + a₁10 + a₀,

a ≡ a_n+ a_n-1+ ... + a₁+ a₀ (mod 9)
et j'ai dit que si a_n+ a_n-1+ ... + a₁+ a₀ est divisible par 9, alors a_n+ a_n-1+ ... + a₁+ a₀ ≡ 0 (mod 9), donc d'après la propriété, a ≡ 0 (mod 9) !
Donc je venais de démontrer que si la somme des chiffres d'un entier naturel est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9. Mais après je voulais montrer l'unicité de ce critère de divisiblité : donc j'ai voulu dire : si a_n+ a_n-1+ ... + a₁+ a₀ n'est pas visible par 9, alors a_n+ a_n-1+ ... + a₁+ a₀ n'est pas congru à 0 (mod 9). Donc d'après la propriété que tu m'a démontré dans ton message, a n'est pas congru à 0 (mod 9). Donc je viens bien de démontrer l'unicité du critère ! Étais-ce une bonne démarche ?

Merci d'avance !

Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans ma démonstration?

Sinon, pour ton critère de divisibilité par 9, on ne parle pas d'unicité mais plutôt d'équivalence.

En effet, tu veux montrer ceci:

"Un nombre est divisible par 9" <=> "la somme de ses chiffre est divisible par 9"

Ce qu'on utilise le plus est ce que tu as démontré c'est à dire "<=" (si la somme des chiffres est divisible par 9 alors le nombre est divible par 9). Et ce que tu cherches à montrer c'est que la réciproque est vraie.

Et c'est en fait une trivialité c'est pour ça qu'on en parle même pas. Pourquoi?

Car comme tu l'as écrit, nous avons une décomposition dans la base 10 de notre nombre a = a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 + ... + a₁*10¹ + a₀*10⁰ (il y a unicité des a_i pour tout i en fait mais bon, je ne le démontre pas ici).

Par conséquent, si on suppose a≡0[9]
On a: a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 + ... + a₁*10¹ + a₀*10⁰≡0[9]

Or pour tout k compris entre 0 et n, on a 10^k≡1[9]

Donc a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀≡0[9]


A partir de là, puisqu'on a équivalence, on peut aussi écrire la négation de cette équivalence qui est:

"a n'est pas divisible par 9" <=> "la somme de ces chiffres n'est pas divisible par 9"


Il n'y a pas de notion d'unicité dans tout ceci mis à part dans la décomposition en base 10 mais ce n'est pas démontrer dans ce théorème-ci.

Donc je vais déborder de la notion de congruence ici mais au niveau logique, il ne faut pas confondre: l' "implication", l' "équivalence" et la "contraposée" d'une expression logique.

Implication: a est divisible par 9 => somme de ses chiffres divisible par 9

Équivalence: a est divisible par 9 <=> somme de ses chiffres divisible par 9

Contraposé de l'implication: La somme de ses chiffre n'est pas divisible par 9 => a n'est pas divisible par 9

Si on démontre la contraposée de l'implication, on démontre aussi l'implication !!!! Donc attention à ne pas tout confondre dans ces critères logiques là, c'est pas évident mais bon suffit de mettre au clair une bonne fois poru toute pour que ça ne soit plus un problème.

En espérant que ceci soit plus clair que ce soit la démonstration et ce que tu appelais "unicité".

Bon courage pour la suite!

Ah ok j'ai compris.

Dans ta démonstration, c'est le passage d'une ligne à l'autre dans ce paragraphe que je n'ai pas compris :

Citation :

Or a-c ≡ a-b+b-c [m]
Donc a-c ≡ b-c [m]
Or b-c n'est pas divisible par m

Il doit sûrement y avoir une règle de calcul sur les congruences à laquelle je ne pense pas !?

D'accord!

En effet, il n'y a pas de règle de calcul mais simplement le fait que a-b est divisible par m par hypothèse par conséquent, a-b≡0[m]

Donc a-b+b-c≡0+b-c[m] c'est à dire a-b+b-c≡b-c[m]

Donc j'ai bien a-c≡b-c[m]

En fait, j'utilise le théorème que tu cites au premier message à outrance ("a≡b[m] et b≡c[m]" => a≡c[m]) mais je l'adapte à la situation.

En eséprant que c'est plus clair maintenant mais sinon n'hésite pas.

Bon courage pour la suite!