dérivée d'une fonction

Bonjour, voilà j'ai un DM de maths à faire. L'exercice est de déterminer a,b c et d lorsque f(x)=ax+b+ (cx+d)/(x²+1) avec un énoncé. Seulement je bloque lorqu'il faut faire la dérivée de f(x) avec les a b c d, l'équation que je trouve avec cette dérivée ne fonctionne pas .

Soit g la fonction définie sur R par f(x)= ax+b+ (cx+d)/(x²+1). Sachant que sa courbe représentative
-admet au point d'abscisse 1 une tangente d'équation y= 1/2
-coupe l'axe des ordonnées au point A d'ordonnée 1, et admet en A une tangente horizontale.
Déterminer a, b, c et d.

J'ai trouvé -f'(1)=0
-f(1)=1/2
-f(0)=1
-f'(0)=0
Seulement j'ai besoin de la dérivée pour conitnuer, mais je n'y arrive pas, je suis bloquée.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? merci d'avance !

Bonjour et bienvenue parmi nous Allexia!

Je suis d'accord avec tes hypothèses.

Alors pour dérivée ton expression je te conseille de faire des calculs distinct les uns des autres. C'est à dire:

F(x)=G(x)+H(x) avec

G(x)=ax+b dont tu connais la dérivée
H(x)= (cx+d)/(x²+1)

Et je pose H(x)=u(x)/v(x) avec u(x)=cx+d et v(x)=x²+1

En conclusion, j'ai exactement F(x)=G(x)+ u(x)/v(x) et avec G, u et v trois fonction dont tu connais parfaitement les dérivée.

Ainsi écrit, tu peux déjà regarder ce que vaut F'(x) en fonction de G', u', v', u et v ce qui va te simplifier grandement la compréhension de ton calcul je pense.

merci de m'avoir répondu.
Alors je trouve donc : F'(x) = a+( -cx²+c-2dx)/(x²+1)²
est-ce exact?

oui c'est bon, cela correspond au système !
merci beaucoup pour votre aide.

Alros normalement ça devriat être bon. Regardons:

G'(x)=a
u'(x)=c
v'(x)=2x

De plus,, F'(x)=G'(x) + [u(x)/v(x)]' ce qui nous donne: F'(x)=G'(x) + [u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)]/[v(x)]²

En conclusion, on a bien: pour tout x dans R (car le dénominateur ne s'annule pas sur R), F'(x)=a + [c*(x²+1) - (cx+d)*(2x)]/[x²+1]²

Et ce qui nous donne au finale: pour tout x dans R, F'(x)=a + [-cx² -2dx + c]/[x²+1]²

C'est exactement ce que tu avais trouvé, en effet .

Ce qui nous donne comme valeur pour a, b, c et d pour conclure cette exercice?

Bon courage!

Ce qui me donne ce système : 4a-2d=0
2a+2b+c+d=1
b+d=1
a+c=0

à moi de le résoudre même si ça me paraît assez difficile !
merci encore!

Le système est exact!!

Pour le résoudre, je te conseille de diviser par 2 la première ligne, ça sera plus agréable

Et pour la deuxième ligne, faut penser à regrouper a+c et b+d car on connaît leur valeur d'après lesl igne 3 et 4.

Et ainsi, tu vas avoir quelque choses de beaucoup plus simple sous les yeux .

Bon courage!

je m'en sors vraiment pas !
je connais les résultats mais je ne sais pas comment faire pour y arriver.
je sais que a=1 b=-1 c=-1 et d=2 par logique.

Alors on doit résoudre:

{4a-2d=0
{2a+2b+c+d=1
{b+d=1
{a+c=0

Je divise par 2 la première ligne et je réécrit la deuxième pour faire aparraître des chose intéressante:

{2a-d=0
{a+b+(a+c)+(b+d)=1
{b+d=1
{a+c=0

Est-ce qeu cela te permet d'avancer par substitution? C'est à dire par exmeple en substituant les deux dernières ligne dans la deuxième.

Bon courage!

je trouverais alors a+b=0 en substituant
{2a+d=0
{a+b=0 a=-b
{b+d=1
{a+c=0

par exemple je peux faire : a+b-a-c=0-0 <=> b-c=0 ?
mais ça m'avance pas à grand chose enfait, je ne sias jamais quoi faire après.
ça paraît simple mais je vois pas la solution !!

Attention par contrel a première ligne c'est 2a-d=0

Rien en paraît simpel sauf lorsqu'on les a écrite .

Alros ne effet, tu as le droit de soustraire des lignes entre elles.

Et en faisant la deuxiè-me ligne moins la 4ème, on trouve donc b-c=0 <=> b=c

Maintenant, si j'ajoute la première ligne à la troisième cela donne quoi?

2a+b=1
ahh donc : 2a+c=1 comme b=c
2a+c-a-c=1-0 <=> a=1
et après on résout les autres lignes! c'est ça ??

tout pouvais même te souvenir que d'après la ligne 2, b=-a .

Mais en effet à partir du moment où on a une valeur, il y a de forte chance pour qu'on les ait toutes .

Je te laisse terminer tes calculs.

Bon courage!

ouff ça y est j'ai finis mes calculs donc mon exo !!
merci beaucoup !

Nickel!

N'hésite pas à proposer une correction de l'exercice si tu le souahtie (ça pourra servir à d'autre membre qui sait).

Bonne contniuation!

corrigé de l'exo :
-f'(1)=0, f est dérivable comme fonction rationnelle.
f'(x)= a+(c*(x²+1)-(cx+d)*2x / (x²+1)² )
=a+(cx²+c-2cx²-2dx) / (x²++1)² )
=a+(-cx²+c-2dx )/ (x²+1)² )
f'(1)= a+(-c*1²+c-2d*1 / (1²+1)² ) = a+(-c+c-2d) / 4 ) = a+ (-2d/4)
on multiplie par 4 chaque côté pour enlever le fraction : 4a-2d=0

-f(1)=1/2 donc a*1+b+(c*1+d) /1²+1=1/2 <=> a+b+(c+d)/2 on multiplie par 2 chaque côté : 2a+2b+c+d=1

-f(0)=1 donc a*0+b+(c*0+d)/0²+1=1 <=> b+d=11

f'(0)=0 donc f'(0)=a+((c*0²+c-2d*0)/(0²+1)²)=0 <=> a+c=0

S={4a-2d=0 S= {2a-d=0 S={2a-d=0
{2a+2b+c+d=1 {a+b+(a+c)+(b+d)=1 {a+b+0+1<=>a+b=1
{b+d=1 {b+d=1 [b+d=1
{a+c=0 {a+c=0 {a+c=0
2ème ligne -4ème ligne : a+b-a-c=0-0 <=>b-c=0<=>b=c
1ère ligne+3ème ligne 2a-d+b+d=0-1<=>2a+b=1
on remplace le b par c et on soustrait à la 1ème ligne: 2a+c-a-c=1-0 <=>a=1
S={2x1-d=0 <=>-d=-2 <=>d=2
{1=-b <=> b=-1
{b+d=1
{1+c=0 <=> c=-1
On a donc a=1, b=-1 , c=-1 et d=2
f(x)= x-1+(-x+2/x²+1)