Bonjour à toutes et tous,
Je viens aujourd'hui vous parler d'un anneau....enfin, d'une famille d'anneau, si je veux être plus correct. Mais ne vous imaginez pas voir une bague ou une alliance ici bas, c'est d'un autre anneau dont je vais vous parler.
Et pourtant, en y réfléchissant, il s'agit bien d'une alliance mais entre deux mathématiciens. Hélas l'histoire en a oublié un devant les écrits de l'autre. Il s'agit de
Johann Benedict Listing et d'
August Ferdinand Möbius (ou
Moebius). Cette alliance a été plus virtuelle que concrète en réalité vu que malgré leur résultat identique, ils ont travaillé indépendemment l'un de l'autre. L'Histoire a retenu Auguste Ferdinand Möbius avec sa découverte qui porte sont nom:
L'Anneau de Möbius
Dans la littérature, on parle le plus souvent de
Bande de Möbius ou de
Ruban de Möbius. Mais avant d'aborder le sujet sur ce magnifique objet mathématique,
revenons un peu sur l'homme: M. Möbius:
August Ferdinand Möbius est un mathématicien eet astronomené allemand. Et pour la petite histoire sa mère était une descendante de Martin Luther. Durant ses étude il fut influencé par d'illustre astronome dont un mathématicien hors norme: Gauss. Mais il est surtout connu pour la fonction qui porte sont nom ainsi que pour l'anneau tout aussi éponyme.
Après l'homme ça création.
Mais avant tout qu'est-ce qu'un anneau de Möbius?Cette anneau a la particularité de ne posséder qu'un seul bord et qu'une seul face. Cette figure estdonc non-orientable c'est à dire qu'on ne peut pas lui donner un sens de parcourt comme nous pourrions le faire avec un cylindre de révolution fini, par exemple, qui lui possède bien deux face (intérieur et extérieur du cylindre) et deux bord (le haut et le bas du cylindre).
La définistion théorique (topologique) que nous donnons à un Anneau de Möbius est la suivante:
surface fermé dont le bord se réduit à un cercle. Cette définition a l'avantage d'englober toutes les "figures" pouvant être assimilées à un Anneau de Möbius c'est à dire une face et un bord !
Vous allez peut-être trouver celà étrange qu'en trois dimension, il existe une objet qui n'a qu'une seule et unique face et de même un seul et unique bord. Et pourtant celà existe bel et bien et c'est en plus très simple à fabriquer. Après tout, vu que c'est simple je vous propose d'en fabriquer un! Mais pour celà, il faut savoir
comment fabriquer un anneau de Möbius.
Pour celà prenez un rectangle que vous aurez découpé dans une feuille de papier. J'appelle ce rectangle ABCD avec [AB] une des largeur du rectangle ([DC] est donc l'autre largeur).
Et voilà vous êtes prêt poru construire votre anneau de Möbius, simple non?
Pour finir, il vous suffit de faire correspondre le A avec la C et le B avec le D. Ceci revient donc à faire un demi-tour à l'une des extrémités avant de la coller à l'autre.
Maintenant que vous avez en main votre Anneau de Möbius vous allez pouvoir vérifier qu'il n'y a qu'un seul bord et qu'une seule face. Après tout qui ira ma croire sur parole avec une affirmation aussi troublante
.
Alors pour faire la férification, prenez un crayon. Posez-le sur l'Anneau. Attention à ne par dire sur "une côté" de l'anneau vu qu'il n'en possède qu'un
. Puis maintenant, faites défiler le l'anneau sous le crayon..... La stupeur se fait lorsque n'ayant pas levé le crayon une seule fois, vous allez vous retrouver à votre poind de départ en ayant parcourru tout l'Anneau!!!!
Pour la vérification qu'il n'y a qu'un bord. Mettez votre crayon proche du bord et vous verrez que celà donne la même chose c'est à dire qu'au bout d'un moment le débart rencontre l'arrivé en ayant parcourru la totalité de l'anneau!!!!
Voici une animation que propose un site dédié à l'Anneau de Möbius (http://www.mathcurve.com/surfaces/mobius/mobius.shtml):
http://www.mathcurve.com/surfaces/mobius/mobius_anime.gif
Ce site vous propose aussi une étude plus théorique de l'anneau de Möbius en vous donnant sa paramétrisation dans l'espace.
Mais dans un cas générale, nous considérons comme étant un Anneau de Möbius toutes les constructions avec un nombre impaire de demi-tour. La construction que je vous propose est l'Anneau de Möbius le plus connu avec un seul demi tour. Mais lorsque vous en avez trois, celà donne aussi ce qu'on appelle un Anneau de Möbius. Et celui-là vous le connaissez toutes et tous très bien......:
(provenant du même site)
Et oui il s'agit d'un Anneau de Môbius avec trois demi-tour. Les mathématiques sont là où nous les attendons le moins
.
Mais l'Anneau de Möbius vous réserve encore un dernier tour dans son sac et quel tour!!! En effet, si vous n'avez pas encore rangé vos ciseau et si vous avez toujours votre Anneau de Möbius dans les mains, vous êtes prêt pour une expérience hors du comment en mathématiques. Sinon, reprenez vite tout votre matériel!!!
Car qui n'a jamais rêver de dire que la moitié de quelque chose donne la même chose? Autrement dit que 1 divisé par 2 donnerait 1 !!!! Et bien celà est à votre porter et vous êtes prêt pour cette expréience qui va encore vous faire voir que cette Anneau de Möbius a quelque chose de magique.
Prenez votre Anneau de Möbius (un seul demi-tour) puis découpez-le au niveau de la médiane (au "milieu dans le sens de la longueur").
Ho miracle!!!! L'anneau de Möbius au lieu d'avoir été divisé en deux est toujours d'un seul tenant même si il ne s'agit alors plus d'un anneau de Möbius mais d'une anneau avec quatre demi-tour.
Et voilà une belle curiosité mathématique avec des propriétés plus surprenantes les unes que les autres.
Je vais conclure en vous donnant quelque lien si vous voulez approfondir sur le sujet au ses protagonsites:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Johann_Benedict_Listing
http://fr.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Mobius.html (biographie très complète en anglais)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ruban_de_M%C3%B6bius
http://www.mathcurve.com/surfaces/mobius/mobius.shtml
Bonne continuation à toutes et tous et @bientot au sein du forum!
Mer 17 Oct - 15:47
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