Exercices avec plans et autres

Salut!
Me revoici avec un exercice sur les plans dans un repère en trois dimensions et je suis assez largué là-dessus. Je n'ai pas su faire grand chose mais normalement ce que j'ai fait a l'air bon ou, bien débuté. J'aurais donc besoin surtout d'explications là-dessus.

Voici l'énoncé :


L'espace est rapporté au repère orthonormal (O;i,j,k)
On considère les points A(2;1;-1), B(-1,2,4), C(0;-2;3), D(1;1;-2).
Soit P le plan d'équation x -2y + z + 1 = 0.
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses et justifier.

1. Les points A, B et C définissent un plan.
2. La droite (AC) est contenue dans P.
3. Une équation cartésienne de (ABD) est x + 8y - z - 11 = 0.
4. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
5.La distance de C au plan P est 4Racine(6).
6. La sphère de centre D et de rayon Racine(6)/3 est tangente au plan P.
7. Le point E(-4/3 ; 2/3 ; 5/3) est le projeté orthogonal de C sur la plan P.


Voici mes "réponses" :

1. Ici, je dois voir si il y a un UNIQUE plan contenant A, B et C.
Logiquement , je chercher l'équation du plan (ABC).
On sait qu'un plan a une équation du type :

avec A(2;1;-1), B(-1,2,4), C(0;-2;3), D(1;1;-2), j'arrive à un système de trois équations :
2a + b - z + d = 0
-a + 2b + 4z + d = 0
a + b -2z + d = 0
Mais ici, je bloque...


2. Je calcule le vecteur AC : AC(-2;-3;4) et, j'ai le plan P d'équation : x - 2y + z + 1 = 0 : je remplace x, y et z par les coordonnées du vecteur AC :
-2 -2(-3) + 4 + 1 = -2 + 6 + 4 + 1 = 9 différent de 0.
Donc, le vecteur AC n'appartient pas au plan P donc, la droite (AC) n'appartient pas au plan P.


3. Ici, comme au 1., je dois calculer l'équation d'un plan :
A(2;1;-1), B(-1,2,4), D(1;1;-2) donc j'aboutis à un système de trois équations :
2a + y - z + d = 0
-a + 2y + 4z - d = 0
a + y -2z + d = 0
Et là, je bloque...


4. Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires.
Mais, je ne sais pas comment faire pour le prouver..


5. Le plan P a pour équation x - 2y + z + 1 = 0 et C(0;-2;3) donc :
0x -2(-2) +3 +1 = 4 + 4 = 8
donc déjà, la distance entre P et C est différente de 0 mais après...


6. Je ne sais pas comment prouver que E est projeté de C et, je n'ai rien là-dessus...


Sur cet exercice je suis assez largué donc et j'ai beau chercher, je n'ai rien trouvé de concret donc, j'aurais besoin d'un bon coup de main svp.
Merci d'avance.

Bonjour,

Alors nous allons y aller par étape car cette exercice est long et il y a en gros toutes les révisions sur l'espace (je ne vois pour le moment pas ce qui pourrait manquer mis à part l'intersection de deux plan ou d'un plan avec une droite mais bon ce sont des questions plus simples que celle que nous avons sous les yeux).

Pour la première question, ta démarche est erronée pour deux raisons:

- Qui te dit que le point D appartient au plan (ABC)?
- On ne te demande pas l'équation du plan en supposant que celui-ci existe.

Par conséquent, il y a une chose qui t'es passé à côté et de loin.

Définition:

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Propriétés:

- Une droite et un point non inclus dans celle-ci définisse un plan (cela se déduit de la définition du dessus car tu prends deux points de ta droite et le troisième point cela forme bien un triplet de points non alignés).

- Deux droites sécantes définissent un plan. (C'est le même principe, si tu as deux droites sécante c'est donc qu'il y a trois points non alignés en considérant les deux droites et nous avons bien la définition d'un plan)

Et c'est tout! Simple, non? .

En effet, si tu veux quelque chose de plus concret et que tu manipule depuis des années. EN dimension 2, deux point définissent une droite du moment qu'ils sont distincts (c'est à dire non confondu). Et bien cette propriété se généralise en dimension quelconque et donc en dimension 3. Si on a trois points non alignés alors il y a un unique plan qui passe par ses trois points. La généralisation en dimension supérieure est un peu plus compliqué à écrire mais c'est la même idée si tu veux (pour la culture, on ne parle plus de plan vu qu'un plan est propre à la dimension trois mais d'hyperplan et on ne dit plus que les points ne sont pas aligné mais que la famille contenant les points est libre. Mais bon c'est une autre théorie tout aussi intéressante ).

Donc la question 1), revient à dire si A, B et C sont alignés ou non. Donc là tu sors le bazouka avec la colinéarité de vecteur pour montrer qu'en effet ces trois points ne sont pas alignés et qu'ils définissent donc bien un plan.

Est-ce que jusque là, ça va ?

Pour la question suivante, nous verrons cela juste après mais bon tu manque pas de culot tout de même à faire rentrer des coordonnées de vecteurs dans une équation de plan . Une équation de plan donne des relation entre les coordonnées des points le composant et non des vecteurs le composant . Je te laisse revoir cela.

Bon courage!

Tout d'abord, merci d'avoir répondu si vite.
Pour les définitions, je comprends donc c'est un bon début .

Reprenons :

1.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont aligéns ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)

En dimension 2, ça ferait : x_AC*y_AB - x_AB*y_AC = 0 mais là en 3D, je ne sais pas comment faire...

Alors, essayons d'être intuitif. En deux dimension, on regarde si c'est colinéaire en faisant un espèce de produit en croix avec les coordonnées mais à quoi correspond-il c'est surtout ça la question?

Et bien il correspond au fait que si il est nul, c'est qu'il existe un t tel que AB=t*AC (je te laisse regarde comment le calcul permet de bien montrer cela).

En trois dimension c'est pareil. Si c'est colinéaire dans n'importe quelle dimension c'est qu'il existe un réel t tel que AB=t*AC c'est à dire que chaque coordonnées sont égales par multiplication par le même t c'est à dire:

x_AB=t*x_AC
y_AB=t*y_AC
z_AB=t*z_AC
...

Donc si t existe, on a:
x_AC*y_AB-x_AB*y_AC=x_AB*(t*y_AC)-(t*x_AC)*y_AC=t*(0)=0

C'est donc le même principe en dimension 3, sauf qu'il faut le faire deux fois (avec y et z aussi) pour être sur que la dernière égalité marche bien avec le même t que les deux premières car on pourrait avoir ceci:

u(4;4;2) et v(2;2;3)

On a bien 4*2-2*4=0 mais ses deux vecteurs ne sont pas colinéaire car 2*2-3*4 n'est pas nul !!!

Il faut juste faire une vérification de plus tout simplement.

Est-ce que tu comprends mieux le principe?

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont aligéns ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'il existe un réel t tel que AB = t * AC soit :

x_AB=t*x_AC
y_AB=t*y_AC
z_AB=t*z_AC
DONC :
[x_AB * (t*y_AC)] - [y_AB * (t*x_AC)]
= [-3 * (t * (-4))] - [1 * (t * 1)] = -12t - 1t = -11t différent de 0 donc AB et AC ne sont pas colinéaires.

Arf tu as utilisé ce que j'ai marqué sans le comprend j'ai l'impression.

En effet, lecalcul avecl e t que j'ai fait était pour te rappeler la démosntration de ton calcul en deux dimension et te montrer qu'il marchait aussi en trois dimension. Mais après dans la pratique, il suffit de faire le même calcul qu'en deux dimension et de le faire deux fois si le premier est nul pour confirmer la colinéairité.

Est-ce que c'est plus clair comme cela?

Mais la conclusion est bien qu'ils ne sont pas colinéaire. Conclusion à notre question?

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
et
(1 * (-4)) - (5 *(-1)) = -4 + 5 = 1 différent de 0.
--> A, B et C ne sont pas alignés donc, le plan (ABC) existe bel et bien.

De la rigueur!! Bon cent de bonsoir!

Citation :

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.

(tu peux t'arrêter là vu que c'est déjà différent de 0)

Mais la conclusion de ce calcul c'est pas le fait qu'il ne soit pas alignés ses trois points. Ca c'est une conséquence mais pas la conclusion logique de ta démarche et tu le marque toi-même:

Citation :

Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non

Donc la conclusion, c'est: AB et AC ne sont pas colinéaires. (Par conséquent, A, B et C ne sont pas aliggné. Tu n'es mêem pas obligé de marquer cette phrase là d'ailleurs)

Donc A, B et C définissent bien un plan.

Je sais je suis énervant maisj e suis là pour ça . Mais bon perdre des points si bêtement, ça me fait enrager que veux-tu .

Alors la question 2), comme je te le disais, l'équation d'un plan est vérifié par les coordonnées des points composant ce plan. Par conséquent, les coordonnées d'un vecteur ne doivent JAMAIS arriver dans la vérification d'une équation de plan.

La première chose à regarde déjà, c'est de savoir si A et C appartiennent au plan car s'ils n'y appartiennent pas le vecteur ne risque pas d'y appartenir. ET là tu as le droit de faire des calculs à partir des coordonnées des points (j'y tiens) avec l'équation du plan.

Est-ce que c'est plus clair ainsi ou c'est toujours flou par rapport à ce que tu avais fait?

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = -4 + 4 = 0
Donc, les points A et C appartiennent au plan P.
Donc, logiquement, si A et C appartiennent à P alors, (AC) appartient à P.

Alors ta conclusion serait juste si tes calculs l'était. En revanche:

Citation :

0 -2(-2) + 3 +1 = -4 + 4 = 0

(-2)*(-2)=4 !!

Du coup, la conclusion est inversée.

Pour la question suivante, soit on trouve l'équation de notre plan à partir de la normal n dont on doit chercher les coordonnées. Soit on utilise le fait que trois point non alignés définisse un unique plan donc si les coordonnées des trois points vérifient l'équation données, c'est qu'il s'git bien de l'équation de notre plan.

Comme tu veux . L'une est dite constructive comem démonstration car on met en évidence le vecteur n et l'autre est plus une vérification qu'une construction.

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, les points A et C n'appartiennent pas au plan P.
Donc, logiquement, si A et C n'appartiennent pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.

Donc logiquement si C n'appartient au plan P, alors (AC) n'est pas inclue dans le plan P.

Car en fait A appartient au plan P vu que ses coordonnées vérifient l'équation de P (ça pourra d'ailleurs servir pour d'autre question peut-être).

Bon couragep oru la question suivante!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Une équation cartésienne de (ABD) est x + 8y - z - 11 = 0.
Ici, je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D.
Si elles font toutes 0 alors, cette équation sera donc une équation du plan (ABD).

C'est "presque" tout à fait ça!

Car les trois points doivent appartenir au plan donc leur coordonnées doivent vérifier l'équation de celui-ci. Mais encore faut-il que A, B et D ne soit pas alignés car sinon, on pourrait avori plusieurs plan à passer par ces trois points.

Bon courage!

Donc je regarde si AB et AD sont colinéaires ou non.
Si ils ne le sont pas alors, je remplacerais ensuite comme je l'avais dit.

C'est une bonne démarche oui .

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

-3*2 + 1*(-1) + 5*(-5) = -6 -1 -25 = -32 différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).

Citation :

-3*2 + 1*(-1) + 5*(-5) = -6 -1 -25 = -32 différent de 0

Attention! Là tu dit jsute que les vecteurs ne sont pas orthogonaux car tu as écrit un produit scalaire. Attention à ne pas tout mélanger.

Pour colinéaire c'est "un produit en croix" en quelque sorte:

AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

On a: (-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.

Ensuite j'ai effectué une modification directement dans ton message car on annonce pas une affirmation lorsqu'elle n'est pas encore vérifiée .

Sinon la conclusion est juste. Donc attention à ne pas tout confondre entre produit scalaire et teste de colinéarité. J'espère que c'est plus précis maintenant.

Pour l'affirmation suivante, il suffit de faire le produit scalaire des vecteurs directeurs respectivement de l'une et l'autre droite. C'est vraiment puissant comme procédé pour montrer l'orthogonalité.

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!

Nickel!!

J'ai corrigé ton post pour la colinéarité car tu avais recopié mon énorme erreur de calcul, je vais finir par croire que tu me crois sur parole .

Pour l'affirmation 5). La distance d'un point à un plan est le segment qui "joint le point au plan de façon perpendiculaire".

Il va donc falloire déterminer les coordonnées du projeté orthogonale de C sur le plan P. Pour celà, il nous faut un vecteur normal au plan P, en vois-tu un d'après l'équation du plan?

Arf! J'avais pas vu!!!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5. n(4;2;-1) ?

Alors on va éviter de jouer à la lotterie car c'est pas sur qu'on gagne à tous les coups.

Rappel:

Soit n(a;b;c) est un vecteur normal au plan P et A(x_A,y_A,z_A) un point de P,
Alors:

M(x;y;z) est un point de P <=> n.AM=0 <=> a*(x-x_A)+b*(y-y_A)+c*(z-z_A)=0

<=>

a*x+b*y+c*z+(-a*x_A-b*y_A-c*z_A)=0

Tu constates donc que les coordonnées d'un vecteurs normal à un plan se lit directement sur son équation.

Donc ici quelle sont les coordonnées d'un vecteurs normal à P?

Ensuite, on va donc chercher le projeté orthogonal de C sur P, c'est à dire le point H(x;y;z) de P tel que n et CH soit colinéaire.

Il s'agitdonc de chercher le point d'intersection entre la droite de vecteur directeur n passant par C et le plan P. Par conséquent, quelle est l'équation de la droite (d) dirigée par n passant par C (on a fait cela hier la détermination d'une équatio paramétrique d'une droite dans l'espace si tu te souviens bien mais je peux ré-expliquer sans problème).

Est-ce que la démarche te paraît intuitive et logique ou je parle un brin marsien?

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5. Je prends un point appartenant au plan P : C(0;-2;3)
a*x+b*y+c*z+(-a*x_C-b*y_C-c*z_C)=0
DONC avec x -2y + z + 1 :
(-a*x_C-b*y_C-c*z_C) = 1
avec a = 1 ; b = -2 et c = 1 :
(-1*x_C+2*y_C-1*z_C) = 1
(-1*0 + 2*(-2) -3) = 1
Donc n(0;4;3)

Arf je comprend mieux ton erreur!

Que représente (a;b;c) ??? Ce sont les coordonnées du vecteur normal tout simplement.

Mais en fait, on extrait ses coordonnées directement de l'équation en considérant les coefficient devant x,y et z tout simplement.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5. Je cherche un vecteur normal à notre plan P donc :
x - 2y + z + 1 = 0
donc n(1;-2;1)