Exercices avec plans et autres

Ok ça marche!

Alors maintenant, quelle est l'équation paramétrique de la droite (d) dirigée par n passant par C? (on doit mettre ne évidence cela car notre projeté de C sur le plan P se situe sur cette droite là vu que n est le vecteur normal à P).

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5. Je cherche un vecteur normal à notre plan P donc :
x - 2y + z + 1 = 0
donc n(1;-2;1)

Wahou là je suis perdu

Bonjour,

Alors nous avons un vecteur normal à P et on chercher la distance de C au plan P.

On sait que la distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan. (La plus courte distance d'un point à un plan est la perpendiculaire à ce plan passant par ce point).

Si j'appelle H le projeté orthogonale de C sur le plan P. Ce qu'on cherche à calculer c'est la distance CH.

Pour cela, il nous faut calculer les coordonnée (x_H;y_H;z_H) de notre point H. Que savons-nous?

On sait que H appartient au plan P. Donc ses coordonnées vérifie l'équation du plan P.
De plus, on sait que H apartient à la droite (CH). Donc ses coordonnées vérifie l'équation paramétrique de la droite (CH).

H est donc un point d'intersection entre P et (CH) et ses coordonnées vont donc être la solution du système composé de l'équation paramétrique de la droite (CH) et l'équation du plan P.

L'équation du plan P nous est donnée dans l'énoncer, donc rien à faire de ce côté là. Par contre, nous n'avons pas encore l'équation paramétrique de la droite (CH).

Que savons-nous de cette droite? Elle est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n estun vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).

Par conséquent, nous connaissons les coordonnées d'un point de notre droite ainsi que les coordonnées d'un vecteur directeur, nous pouvons donc trouver l'équation paramétrique de notre droite (CH).

Est-ce quela démarche est plus claire, maintenant?

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Oui, je comprends mais, je ne vois pas ce que je dois faire là...

La question est:

a) Déterminer l'équation paramétrique de la droite dont le vecteur directeur n et passant par C
b) Déterminer le point d'intersection de P et avec cette droite qu'on appelera H
c) Calculer la distance CH


Je te conseille de relire ton exercice de spé sur ton cylindre question c) à cette adresse:

https://maths-cuicui.forum-actif.net/problemes-et-exercices-f20/exercice-spe-cylindre-t389.htm

Pour revoir la méthode de détermination d'une équation paramétrique d'une droite. Si cela n'est pas clair, je ré-expliquerai d'une autre manière dans la partie cours si nécessaire. Donc n'hésite pas à me le dire.

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

a) Déterminer l'équation paramétrique de la droite dont le vecteur directeur n et passant par C
b) Déterminer le point d'intersection de P et avec cette droite qu'on appelera H
c) Calculer la distance CH

CM = t*CH ??

C'est ça mais manque de chance on ne connaît pas les coordonnées de H.

Pr contre on sait que CH est coliénaire à n la normale à notre plan P.

On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.

Et à partir de là, nous allons pouvoir faire des calculs.

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;1;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = t
y + 2 = t
z - 3 = t

Alors nous faisons deux exercices en même temps mais attention à ne pas confondre les normale au plan .

Ici notre plan à pour équation: 1*x+(-2)*y+1*z+1=0

donc la normale n a pour coordonnées (1;-2;1) .

Je te laisse reprendre cette équation paramétrique car sinon tout était bon à première vu. Ensuite c'est la résolution du système de 4 équation à 4 inconnues (c'est à dire les 3 équation paramétrique de la droite et l'équation du plan) qui va nous donner les coordonnées du point H (ponit d'intersection entre la droite et le plan).

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = t
y + 2 = -2t
z - 3 = t
Donc :
x = t
y = -2t -2
z = t +3

C'est tout à fait ça pour l'équation paramétrique.

On voit donc apparaître comme sur ton autre exercice les caractéristique de la droite:

x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t


Maintenant, il faut résoudre le système contenant ses trois équations et l'équation du plan P vu que H est le point d'intersection entre cette droite et le plan P.

Jusque là j'espère que c'est claire et que ça commence à être un peu plus fluide au niveau des notions qu'on aborde au fur et à mesure des questions .

Oui mais ici, ca ne tombe pas juste comme l'autre exo...

Comment ça, ça ne tombep as juste?

{x_H=t
{y_H=-2-2*t
{z_H=3+t
{x_H-2y_H+z_H+1=0

On remplace, x, y et z dans la dernière équation et on va pouvoir déduire t. Puis dès qu'on a t, il nous suffit de rempalcer t pour déduire la valeur de x_H, y_H et z_H.

Dès qu'on aura les trois coordonnées de H, il ne nous restera plus qu'à calculer la distance CH pour vérifier si elle est égale à 4*RAcine(6).

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
x_H-2y_H+z_H+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

C'est tout à fait ça!

On peut aussi dire que -8/6=-4/3 pour simplifier un peut les calculs.

Maintenant, il ne reste plus qu'à effectuer le calcul de la distance CH. C'est la même formule qu'en dimension 2 sauf qu'on ajoute une coordonnées supplémentaire.

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
x_H-2y_H+z_H+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (x_C-x_H)² + (y_C-y_H)² + (z_C-z_H)²
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = Racine[32/3]

En fait, RAcine(96)=4*Racine(6) et Racine(9)=3

Conclusion CH=4*Racine(6)/3

Conclusion pour cette affirmation?

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
x_H-2y_H+z_H+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (x_C-x_H)² + (y_C-y_H)² + (z_C-z_H)²
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!

Nickel !!

Plus que 2 .

J'ai dit2? Non en fait plus qu'une !! Pourquoi?

Peux-tu me donner la réponse immédiate à la 7) au vu de ce qu'on vietn de faire et de ce que représente le point H pour C par rapportà P ?

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
x_H-2y_H+z_H+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (x_C-x_H)² + (y_C-y_H)² + (z_C-z_H)²
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!

7. On a vu à la question 5 que le projeté orthogonal de C sur le plan P avait pour coordonnées (-4/3;2/3;5/3) donc cette affirmation est juste.

Nickel !!!

Il ne nous reste plus que l'affirmation 6). On a fait déjà un nombre considérable de révision dans l'espace n'empèche .

D'ailleurs au vu de la question 7), il y avait peut-être plus simple pour montrer que la 5) était fausse mais j'avoue avoir agit par réflexe sur cette question mais bon vu qu'on aurait du faire les calculs qu'on les fasse à la 5) ou à la 7) après tout du moment qu'ils sont faits.

Pour l'affimation 6), que sait-on d'un plan tangent à une sphère?

Qu'il est tangent en un point

En effet, c'est àdire qu'il y a un unique point d'intersection entre la sphère et la plan et que ce point qu'on peut appelé H' est tel que:
(DH) soit orthogonale à P

Normalement, nous sommes d'accord jusque là. Tu sens peut-être les choses arrivées maintenant. H' est aussi le projeté orthogonale de D sur P par définition.

Le projeté lui existe toujours mais appartient-il au cercle donné? C'esst ça la question.

Par conséquent, nous sommes amener à calculer les coordonnées du point H' projeté de D sur la plan P. Nous allons donc réviser la démarche faite en 5) tout simplement.

Bon courage!

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

a distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

Citation :

Trois points, A, B et C définissent un unique plan si et seulement si ils ne sont pas alignés.

Donc, je dois voir si les points A, B et C sont alignés ou non.
--> Je vais employer la colinéarité de vecteurs pour voir si A, B et C sont alignés ou non.

AB(-3;1;5)
AC(1;-4;-1)
donc :
(-3 * 1) - (-4 *1) = -3 + 4 = 1 différent de 0.
--> AB et AC ne sont pas colinéaires donc A, B et C définissent bien et bien un plan.


2. Je dois voir si les points A et C appartiennent à P d'équation x -2y + z + 1 = 0
--> A(2;1;-1) :
2 - 2(1) -1 + 1 = 2 - 2 -1 + 1 = 0 .

--> C(0;-2;3) :
0 -2(-2) + 3 +1 = 4 + 4 = 8
Donc, le C n'appartient pas au plan P.
Donc, logiquement, si C n'appartient pas à P alors, (AC) n'appartient pas à P.


3. Tout d'abord, je vais regarder si AB et BD sont colinéaires ou non afin de savoir si ils sont alignés ou pas.
AB(-3;1;5)
BD(2;-1;-6)

(-1)*(-3)-(2*1)=+3-2=1 différent de 0 donc ils ne sont pas colinéaire.
différent de 0 donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
Une équation cartésienne de (ABD) est Considérons l'équation: x + 8y - z - 11 = 0
Je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B et D dans l'équation suivante :
x + 8y - z - 11 = 0.

--> A :
2 + 8 + 1 -11 = 0 --> OK

-- B :
-1 + 8(2) - 4 - 11 = 0 --> OK

--> D :
1 + 8 -(-2) - 11 = 0 --> OK

Donc x + 8y - z - 11 = 0 est bel et bien une équation du plan (ABD).


4. J'ai :
AB(-3;1;5) et CD(1;3;-5)
Je calcule leur produit scalaire :
-3*1 + 1*3 + 5*(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 différent de 0 donc :
(AB) et (AC) ne sont pas orthogonales!


5.

Citation :

La distance d'un point à une droite est égale à la distance du point jusqu'au projeté orthogonale de ce point sur le plan.

Soit H le projeté orthogonal de C sur le plan P. Je cherche à calculer la distance CH.
--> Je dois calculer les coordonnées (x_H;y_H;z_H) de notre point H sachant que :
- H appartient au plan P : ses coordonnées vérifient l'équation du plan P.
- On sait que H appartient à la droite (CH) : ses coordonnées vérifient l'équation paramétrique de la droite (CH).

Je cherche l'équation paramétrique de (CH) :
(CH) est orthogonale à P et passe par C. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (CH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.

On sait que CH est colinéaire à n la normale à notre plan P.
On peut donc dire que tous points M(x;y;z) de la droite (CH) est tels que CM=t*n.
avec n(1;-2;1) et CM(x;y+2;z-3) donc :
x = 1*t
y + 2 = -2*t
z - 3 = 1*t
Donc :
x=0+1*t
y=-2+(-2)*t
z=3+1*t
avec :
x_H-2y_H+z_H+1=0
t - 2(-2-2t) + (3+t) +1 = 0
t + 4 + 4t + 3 + t + 1 = 0
6t + 8 = 0
6t = -8
t = -8/6
DONC :
x= -8/6
y=-2+(-2)*(-8/6) = -2 + 16/6 = -12/6 + 16/6 = 4/6 = 2/3
z=3+1*t = 3 -8/6 = 18/6 - 8/6 = 10/6 = 5/3

Je peux maintenant calculer la distance HC :
HC = Racine[ (x_C-x_H)² + (y_C-y_H)² + (z_C-z_H)²
= Racine[ (0 + 8/6)² + (-2 -2/3)² + (3-5/3)²]
= Racine[ (64/36) + (-6/3 -2/3)² + (9/3 -5/3)²]
= Racine[ 16/9 + (-8/3)² + (4/3)²]
= Racine[ 16/9 + 64/9 + 16/9] = Racine[96/9] = 4*Racine(6)/3
Donc, cette affirmation est fausse!


6. Je cherche l'équation paramétrique de (DH) pour commencer.
(DH) est orthogonale à P et passe par H'. Vu qu'elle est orthogonale à P et que n est un vecteur orthogonal à P, on en déduit que n est un vecteur directeur de (CH).
Je peux maintenant trouver l'équation de (DH) à partir des coordonnées du point C et des coordonnées de n.
C'est bien cela? (J'ai repris de la question 5)

7. On a vu à la question 5 que le projeté orthogonal de C sur le plan P avait pour coordonnées (-4/3;2/3;5/3) donc cette affirmation est juste.

C'est tout à fait ça!

J'ai vu le copié-collé car il reste un C qui se balade à la place du D .

Il ne reste plus qu'à faire le travail vu qu'on connaît déjà les coordonnées de n vecteur normal à P et qu'on connaît les coordonnées de D. Cela devirat être plus simple je pense.

Bon courage!