Exercices

Sujet:
Soit E la fonction définie sur R (réel) par E(x) = n si n≤x<n+1(n ∈ Z ) (E(x) est alors le plus grand entier inférieur ou égal à
x). Cette fonction est la fonction partie entière (on peut l’obtenir grâce à la touche MATH–NUM–int( de la calculatrice TI-83).
1. Calculer E(1), E(2,35), E(–3,48).
2. Montrer que pour tout réel x : x–1< E(x) ≤ x.
3. Déterminer alors lim (en x→+∞) de E(x), lim (en x→– ∞) de E(x) et im (en x→+∞) de (E(x)/x exposant 2).
4. On considère la fonction f définie sur R (réels) par : f(x) = x–E(x). La fonction f admet-elle une limite en + ∞ ?
(on pourra considérer les suites (un) et (vn) définies par : un = n et vn = n + (1/2)).
J'ai un énorme sousi, je n'arrive pas du tout cette exrecice. Aidé moi

Bonsoir,

La fonction partie entière, je te conseille de la tracer sur ta calculatrice par exemple ou même à la main sur l'intervalle ]-2;2[ pour bien comprendre comment elle fonctionne concrètement.

Ainsi, tu comprendras pourquoi, E(1)=1 par exemple car 1 est un entier, donc sa partie entière c'est elle-même tout simplement. Il faut se souvenir du cours de 6ème sur les nombres décimaux (la vache c'est loin !!!) où on définit correctement ce qu'est la partie entière d'un nombre et la partie décimale de celui-ci en fait.

Je te laisse déjà regarder cette première question et ensuite on essaiera d'aborder les autres.

Bon courage!

Merci d'avoir répondu sauf que ma calculatrice c'est une TI-89 Titanium donc je n'arrive pas a tracer la courbe!

Comment ça tu n'arrives pas à tracer la courbe ? Tu ne sais pas comment faire ou il y a un problème ?

Sinon tu peux simplement télécharger un logiciel de dessin mathématique. J'utilisais moi-même geogebra quand j'étais au lycée, et il m'arrive encore de l'utiliser quand je suis devant mon ordi.

C'est gratuit, et très intuitif d'utilisation tu verras!

Pour l'installer, rendez-vous ICI, c'est très rapidement installé.

Pour tracer la fonction E(x) (la partie entière), tu tapes dans la barre de commande (en bas) f(x)=floor(x).

Pour tracer n'importe quelle fonction, il te suffit de taper f(x) (ou y)= l'expression de f(x). Ensuite tu peux adapter la fenêtre en fonction de ce que tu veux regarder, tu peux tracer des tangentes que tu peux faire bouger à souhait en l'affectant à un point mobile sur la courbe, tu peux calculer des pentes automatiquements, tracer des lieus, c'est vraiment très très bien pour tout ce qui est graphique et géométrique.

Néanmoins il va falloir que tu apprennes à te servir de ta calculette (une TI-89 en plus, tu peux faire pleiiin de trucs avec), puisque si elle est autorisée au bac, tu auras un sacré avantage à savoir t'en servir !

J'ai fais comme vous me l'avez dit mai je trouve que la courbe est très bizarre, donc je ne comprend pas tres bien!

Oui, si c'est la première fois que tu vois cette courbe, il est normal que tu la trouves bizarre: elle n'est même pas continue !

(normalement tu devrais avoir un truc qui ressembles à )

En fait, si tu réfléchis bien à la définition de la partie entière, voici ce que tu dois comprendre:

- pour un réel x, la partie entière appliquée à x (c'est à dire E(x)) est égale... à la partie entière de x. Logique non ?

Plus précisément (oui parce que si tu penses partie "entière", tu vas t'emmeler les pinceaux quand tu auras un x négatif), ton exercice te dit que c'est le plus grand entier inférieur ou égal à x

Deux exemples:

E(7.5604954502669)= 7.
E(-3.5)= -4 : et non pas égal à -3 attention ! Tu ne prends pas juste le truc qui est avant la virgule, comme un lecteur non averti le comprendrait en lisait "partie entière". Prends toi 5 minutes pour réfléchir à la définition donnée par ton exercice [E(x) = n si n≤x<n+1(n ∈ Z ) (E(x) est alors le plus grand entier inférieur ou égal à x], il faut que tu sois persuadée du résultat.

C'est ce que tu observes sur la courbe de cette fonction que tu as tracé. Tu as un segment de droite (E(x)=n comme te le dit la déf de ton exo) lorsque x se balade dans l'intervalle semi-ouvert [n,n+1[, puis dès que x=n+1, paf, la fonction jump au niveau suivant, c'est à dire E(x)=n+1, et tu observes un nouveau segment de droite (décalé de 1 par rapport au précédent) pour x se baladant dans [n+1,n+2[.

Si on prend l'exemple de x= -3.5, x appartient à [-4,-3[ où ici n= -4 et n+1= -3. Donc E(x) (=n) = -4.

Tu piges ? C'est pas compliqué, je t'assure.

Une fois que t'as compris comment cette fonction marche, tu devrais pouvoir répondre facilement à la première question, et aussi à la 2e question.

Si tu as toujours des questions, n'hésite pas à les poser surtout.

EDIT: attention, j'ai édité mon message au fur et à mesure, prends soins de relire la version actuelle car j'avais fait une faute dans l'ancien message.

C'est vrai que la courbe je n'avais étudiez sa au paravent! Je crois avoir compris mais avant de continuer je voudrai savoir si j'ai bien compris!
Pour E(1)= 0,5? Parceque si ce n'ai pas sa, c'est que j'ai rien compris

Et non, la fonction partie entière est à valeurs dans Z ! Autrement dit, E(x) ne peut qu'être égal à un entier.

Avec geogebra, tu as essayé de regarder à quelle valeur correspond E(1) ? Il te suffit de construire un point sur la courbe, de lui indiquer comme abscisse "1", et de regarder son ordonnée. Et procède de même pour calculer n'importe quel E(x).

Sinon, réfléchis en revenant à la définition:

Tu dois calculer E(1). Question que tu dois te poser en revenant à la définition:

"Quel est le plus grand entier qui est inférieur ou égal à 1 ?" Alors, réponse ?

Et de même si tu dois calculer E(2.35) !

Si besoin, relis mon message précédent, je crois avoir expliqué ce qu'il faut savoir dedans. Et si tu ne comprends pas, dis moi où ça coince.

Bon courage.

PS: si tu piges vraiment pas, regarde comment ça se passe avec la courbe, sur geogebra. Tu vas dans "point", tu sélectionnes point sur objet, tu cliques sur la courbe de la partie entière. Et tu obtiens un point que tu peux faire varier à ta guise.

Tu resélectionnes l'icône de sélection (la flèche en haut à gauche), tu cliques sur ton point, et en restant appuyé tu peux le faire bouger sur la courbe. En même temps, dans le menu à gauche, tu peux observer les valeurs que prend E(x) (l'ordonnée de ton point A) au fur et à mesure que tu fais bouger x (l'abscisse de ton point A). En expérimentant par toi-même, ça te deviendra vite moins obscure !

Bonsoir,

C'est du haut vole, Nakor ! Merci pour le coup de main en tout cas surtout avec cette qualité c'est agréable.

Pour reprendre ce qui a été dit sans le paraphraser, il faut regarder la "courbe" de la fonction comme un escalier tout simplement.

Regarde, il y a des marches, puis une contre marche (le saut en fait) puis à nouveau une marche puis une contre marche et ainsi de suite.

Ce qu'il faut comprendre c'est à partir d'où on a une contre marche c'est à dire à partir d'où il y a un saut d'une valeur à une autre. En effet, si tu regardes bien, la fonction est constante sur une partie puis il y a un saut puis de nouveau constante et ainsi de suite (je ne fais que redire ce que j'ai dit au-dessus mais sans l'image de l'escalier en fait).

Le support visuel ne te permet pas de montrer quelque chose mais te permet d'avoir beaucoup d'icée en fait.

En espérant que ce que je viens de dire te permettra de rendre les choses encore plus claires si elles ne l'étaient pas déjà avec l'aide de Nakor!

Bon courage pour la suite de ton exercice!

Je vois remercie vraiment d'avoir utiliser votre temps pour essayer de m'expliquer, sauf que même en relisant plusieurs fois ne je comprend toujours pas. S'il vous plait continuer de m'aider en expliquant encore plus simplement si possible.
Montrer moi votre démonstration pour la réponse a la 1.
Merci

Bonsoir,

Alors essayons d'être moins visuel cette fois-ci et plus mathématiques peut-être que l'idée passera d'elle même .

On nous définit la fonction E telle que pour tous les réels x, on ait: E(x) = n si n≤x<n+1.

Maintenant, essayons de comprendre cette définition là. On nous dit quoi en fait? On nous dit qu'on prend un réel x et puis après qu'en faisons-nous pour trouver l'image par la fonction E?

Et bien, on la compare à des entiers relatifs consécutif n et et n+1 (ils sont bien consécutifs vu qu'il y a un écart de 1 entre n et n+1). Et on compare x de quelle manière? En regardant si notre entier relatif n est tel que n≤x<n+1.

Maintenant prenons un exemple simple. Je prend x=0,2. Il s'agit bien d'un réel, nous sommes d'accord jusque là. Alors qu'est-ce qu'on doit chercher en fait? On doit chercher un entier relatif n tel que n≤0,2<n+1.

Bon et bien regardons tranquillement, est-ce que -2 fonctionnerait? Sachant que -2+1=-1, on devrait donc avoir 0,2 compris entre -2 et -1 ce qui n'est pas vrai. Donc n=-2 ce n'est pas possible. Bon essayons n=-1, à ce moment là, nous avons -1+1=0, est-ce que 0,2 est compris entre -1 et 0 ? Non toujours pas!

Bon alors essayons n=0 (je teste un par un vu qu'à la base, on ne comprend pas comment fonctionne la fonction, donc il faut avancer par test tout simplement), donc 0+1=1. Est-ce que 0,2 est compris entre 0 et 1 ?

A cette fois-ci c'est vrai!!! 0≤0,2<0+1. Alors la conclusion, c'est E(0,2)=0 vu qu'on a trouver notre n=0 pour notre encadrement.

Est-ce que cela est plus clair ainsi du coup?

Que vaut l'entier relatif n, pour x=1 du coup? En déduire, la valeur de E(1). Et ainsi de suite. On cherche d'abord l'encadrement puis ensuite, on trouve naturellement la valeur de la partie entière de x.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Alosr si j'ai bien compris, pour E(1) sais:
E(1) = 1
si 1 ≤ 1 < 2
On remplace n = 1 puisque le signe sais: ≤
Si sais pas sa alors je n'y comprend rien du tout!

Ma main à couper que t'as pas fait ce que je t'ai dit sur geogebra.

Si mais je ne comprend pas cette fonction, elle est trop bizarre!!
Quand je fai ce que vous me dite, il y a un trai de 0 a 1 sur l'axe des absicce et apres sa coupe et sa recommence. Enfin breff c'est tro compliqué!
Mais alor c'est pas sa?
E(1)=1
E(2,35)=2
E(-3,48)=-3 ???

Bonjour,

alors E(1) est bon, E(2.35) aussi comme quoi ça commence à rentrer pour les nombres positifs. En revanche, attention au petit changement pour les nombres négatifs.

En effet, d'après ta réponse, on aurait: -3≤-3.48<-3+1 et -3+1=-2. Ce n'est donc pas le cas.

Je te laisse donc corriger cela mais j'ai l'impression en tout cas que c'est un peu plus logique pour toi avec cette recherche de nombre relatif sans utiliser l'apparence de la fonction pour l'instant.

Bon courage pour la suite!

Bonjours,
j'ai trouvé en faite que E(x)=-4
Ensuite pour la 2 je ne sais pas comment mis prendre.
Merci de continuer a m'aider!

En fait la question 2) est très simple à partir du moment où t'as compris comment on calculait E(x).

1) En effet, lorsqu'on a trouvé un entier relatif n tel que n≤x<n+1 que vaut E(x)?
2) Remplace dans la double inégalité la valeur de E(x) par E(x) et il ne reste plus qu'à effectuer une manipulation sur les inégalité pour retrouver E(x) au centre des deux inégalités.

Bon courage!

En faite je n'ai pas compris la question 2) Remplace dans la double inégalité la valeur de E(x) par E(x) et il ne reste plus qu'à effectuer une manipulation sur les inégalité pour retrouver E(x) au centre des deux inégalités.
Pourriez vous me ré expliquer autrement s'il vous plait.
Merci

Bonsoir,

1) Lorsqu'on considère n≤x<n+1 que vaut E(x) ?

2) On reconsidère les inégalités n≤x<n+1, exprimer ces inégalités en fonction de E(x) et de x.

Bon courage!

Bonsoir,

1) Lorsqu'on considère n ≤ x < n+1 que vaut E(x) ?
E(x) vaut n

2) On reconsidère les inégalités n ≤ x < n+1, exprimer ces inégalités en fonction de E(x) et de x
Je ne comprend toujours pas,
n ≤ x < n+1 donc si je remplace avec E(x) sa fait: E(x) ≤ x < E(x)+1 ???
Mais on ne doit pas arriver a :
x-1 < E(x) ≤ x ??
Je ne comprend pas bien la question!
Merci de m'aidez!

C'est tout à fait exacte ce que tu as écris juste avant ta question:

Citation :

E(x) ≤ x < E(x)+1

Et c'est vrai pour toutes les valeurs de x.

Maintenant, ton soucis est que tu ne cherches pas à comprendre ce que tu as sous les yeux mais plutôt à changer ce que tu as sous les yeux pour absolument atteindre le résultat voulu. Or en mathématiques, il est très rare que vouloir tordre les choses pour les faire rentrer dans le moule qu'on souhaite absolument. Il faut mieux plutôt regarder ce qu'on a sous les yeux avec à l'esprit ce qu'on cherche certes mais juste de façon vague. Que voulons-nous eactement?

On veux encadrer E(x) voilà ce qu'on veut et peu importe le résultat qu'on nous demande, la question se résume vraiment à cela: "On souhaite encadrer E(x)".

Maintenant, à partir de l'encadrement qu'on a sous les yeux ne peut-on pas conclure ?

Bon courage!

Je n'arrive toujours pas a encadrer E(x),
J'ai seulement trouver:
E(x) ≤ x < E(x)+1
0 ≤ -E(x) + x < E(x)+1
0 ≤ -E(x) -E(x) < 1 + x
0 ≤ -E(x)² < 1 + x
Mais je ne pense pas que se soit bon parce que ce n'ai pas la même expression que celle qui est demander!
Merci de bien vouloir essayer encore une fois de me ré expliquer!

Bonsoir,

Je constate que manipuler deux inégalités en même temps n'est pas une bonne idée. Ne pourrais-tu pas considérer chacune des deux inégalités que nous avons sous les yeux chacune de leur côté pour éviter les erreurs de manipulation ?

En effet, ton erreur sur la manipulation des deux inégalités est dès la deuxième ligne en fait:

Citation :

E(x) ≤ x < E(x)+1
0 ≤ -E(x) + x < E(x)+1

C'est un peu le soucis de faire des résolutions de façon mécanique en quelque sorte et en ayant perdu d'où venait le mécanisme. En effet, dans ta tête je suis sûr que tu as pensé cela "Je passe le E(x) à gauche de la première inégalité, cela change le signe devant le E(x) et hop le tour est joué". Or la résolution d'inéquation ce n'est pas cela du tout, c'est: "J'ajoute -E(x) à tous les membres de l'inégalité et cela ne change pas le signe des inégalités ce qui permet d'avoir à gauche E(x)-E(x)=0 mais cela change tous les inégalités lorsqu'on effectue cette addition de -E(x) et non les deux premières".

Je te conseille donc fortement de considérer les inégalités de façons disjointes ce qui minimisera les erreurs sur le long terme.

Bon courage!

Bonjours, j'essaie de refaire l'exercice avec 2 inégalité, mais je n'y comprend plus rien!
J'ai essayer tous les calcul que je pouvais faire mais je ne trouve toujours pa!!
Pouvez vous continuer de m'expliquer??

Bonjour,

Tu as donc effectué des manipulations sur les deux inégalités, pourrais-tu écrire les deux inégalités que tu manipules ? Ainsi, que tes conclusions actuelles mêem si elles sont pour l'instant fausses cela n'est pas grave.

Bon courage!