Equations de plans et intersections

Bonsoir.

Voici deux systèmes donnant chacun la représentation paramétrique d'un plan de l'espace à trois dimensions :

(S1) : x = 3 - t'
y = 1
z = 2+t

(S2) : x = 1+k
y = 2+k'
z = 3+k

t, t', k et k' étant des réels.

Comment déterminer l'équation cartésienne du plan P1 défini par le système S1 sachant qu'on ne peut pas relier les x, y et z entre eux. Est-ce tout simplement y=1 ????

Et pour le plan P2 (défini par le système S2), est-ce qu'il faut faire x-z=-2 ?? dans ce cas-là que devient le y ???

Et un plan peut-il avoir plusieurs équations cartésiennes possibles ? Par exemple, une où on retrouve juste x et y, une autre où on retrouve juste y et z et une dernière où on retrouve juste x et z ?

Autre question : quand il n'y a pas une certaine composante dans l'équation cartésienne d'un plan, que cela signifie-t-il ? Par exemple, si on a le plan P3 : x-2y=1, cela signifie-t-il qu'il est parallèle à l'axe (Oz) ? Et si j'ai le plan P4 : z=1, cela signifie bien qu'il est parallèle au plan de base (xOy) ??


Aussi, quand on cherche l'intersection d'objets dans l'espace, on met en système. Mais je ne sais pas bien, après manipulation des équations du systèmes, conclure.
Par exemple si je considère la sphère d'équation x²+y²+z²=5 et le plan d'équation x+y-5=0.
On doit dire si le plan P coupe la sphère suivant un cercle ou non.
Comment faire, sachant qu'un cercle dans l'espace doit être défini par deux équations !?
On peut faire : y=5-x et remplacer dans l'équation de la sphère, mais on peut aussi faire x=5-y. Dans ce cas là, on obtient deux équations différentes en remplaçant dans celle de la sphère, laquelle choisir ?

Aussi, considérons les plans P, P' et P" d'équations respectives x-2y+3z=3, 2x+3y-2z=6 et 4x-y+4z=12. Comment déterminer, proprement, leur intersection ?
Si je considère le système constitué des 3 équations ci-dessus, et en numérotant chaque équation, dans l'ordre où je les ai écrites, (L1) (L2) et (L3), est-ce que le système que j'obtiens, après avoir effectué les opérations élémentaires (L1)+(L2)+(L3) et (L2)-2(L1), est équivalent au système initial ? Càd, est-ce que les systèmes :

x-2y+3z=3
2x+3y-2z=6
4x-y+4z=12

et

7x+5z=21
7y-8z=0

sont équivalents ???

Et cela suffit-il de dire que les 3 plans se coupent selon une droite ?? Si oui, quelle est l'équation de cette droite?
Bref ce n'est pas clair du tout tout cela.

Voilà j'aimerais bien que tu m'éclaircisses Cuicui car nous n'avons pas pu faire ce chapitre en cours, et devant l'apprendre par nous même, certains points restent encore flous.

Merci d'avance !

Bonsoir,

Beaucoup d'interrogation sur l'espace à ce que je vois.

Alors dans un premier temps il faut savoir que dans l'espace il y a trois composante et elles sont toujours présentes même lorsqu'elles ne sont pas écrites.

En effet, un plan (P) d'équation z=1 n'est autre qu'un plan P d'équation: 0*x+0*y+1*z=1. Donc toutes les composantes interviennent seulement, on constate que x et y peuvent prendre n'importe quelle valeur tout simplement. Le plan est donc parallèle au plan (xOy). On peut lui donnée un système de représentation suivant aussi:

{x Є R
{y Є R
{z=1

C'est pompeux pour pas grand chose mais cela s'écrit. Et on peut donner aussi un paramétrage en t et t' pour x et y cela ne changera rien du moment que x et y ne dépendent pas du même paramètre.

La convention reste d'écrire l'équation des plan ainsi: (P): a*x+b*y+c*z=d tout simplement. Et dès qu'un variable n'intervient plus dans l'équation c'est que le coefficient situé devant est nul et donc la variable peut prendre toute les valeurs.

Je pense que cela va répondre à tes trois voire quatre premières questions normalement. Pour la quatrième, si un plan peut avoir plusieurs équations, les équations doivent rester toutes équivalentes pour définir le même plan. On doit donc pouvoir passer de l'une à l'autre. En conséquence, une paramétrisation faisant intervenir x et y et une autre ne faisant intervenir que z ne définissent pas le même pas tout simplement.

Les deux autres questions ont trouvé réponse dans la première partie. En effet, si les vecteur directeur sont colinéaire, il y a bien parallélisme.


Pour la suite:

Citation :

Par exemple si je considère la sphère d'équation x²+y²+z²=5 et le plan d'équation x+y-5=0.
On doit dire si le plan P coupe la sphère suivant un cercle ou non.
Comment faire, sachant qu'un cercle dans l'espace doit être défini par deux équations !?
On peut faire : y=5-x et remplacer dans l'équation de la sphère, mais on peut aussi faire x=5-y. Dans ce cas là, on obtient deux équations différentes en remplaçant dans celle de la sphère, laquelle choisir ?

Il y a équivalence entre les trois systèmes:

{x²+y²+z²=5
{x+y-5=0

<=>

{x²+y²+z²=5
{x=5-y

<=>

{x²+y²+z²=5
{y=5-x


En fait, l'intersection se verra comme un cercle mais pas un cercle dans l'espace loin de là !!!!! Cela sera un cercle dans le plan: x+y-5=0 !!! Du coup, on définira le même cercle , ce qui changera c'est juste le deuxième axe qu'il y aura dans ton plan. En effet, on va transféré un axe (O'z) dans ton plan vu que celui est parallèle à l'axe (Oz) mais après il reste deux axe possibles qui sera parallèle à la droite d'équation soit y=5-x dans le plan (XOy) soit d'équation x=5-y dans le plan (xOy). Mais c'est la même droite dans ce plan !! Conclusion, c'est le même axe qu'on considérera et c'est juste l'orientation de l'axe qui changera tout simplement.

Tu peux faire un dessin, je pense que tu vas vite comprendre les choses. L'intersection d'un plan avec une sphère est unique et c'est soit un point (tangence à la sphère) soit un cercle dans le plan de coupe soit le vide (le plan ne rencontre pas la sphère).


On continue:

Citation :

x-2y+3z=3
2x+3y-2z=6
4x-y+4z=12

et

7x+5z=21
7y-8z=0

sont équivalents ???

Impossible !!! Voyons, un peu de rigueur! Le premier système à trois équations et le second n'en a plus que deux, il ne peuvent pas être équivalent sauf si tu as démontré qu'un ligne pouvait s'écrire comme un combinaison linéaire des deux autres c'est à dire par exemple que L3= a*L1 + b*L2. Mais tu n'as pas démontré cela ici et par conséquent, il n'y a pas possibilité d'équivalence.

Deux système sont équivalents sont on peut passer de l'un à l'autre par des opération élémentaire c'est à dire une substitution ou une combinaison linaires entre les lignes.

Enfin etp our conclure, l'équation d'une droite dans l'espace??? Hmmm gros dilemme en effet mais essayons d'être pragmatique deux minutes. qu'est-ce qu'une droite? Ou plutôt comment caractérise-t-on une droite?

Un point M appartient à une droite si j'arrive à montrer qu'en prenant un ponit de ma droite, A, alors AM est colinéaire au vecteur directeur de ma droite qu'on peut appeler u par exemple.

Ainsi, si je considère que ma droite passe par A(x_A;y_A;z_A) et de vecteur directeur u(a;b;c) alors:

M appartient à ma droite, s'il existe un réel t tel que AM=t*u

Or dire que deux vecteurs sont égaux c'est dire qu'ils ont les mêmes coordonnées. On se retrouve donc avec un système de trois équations à trois inconnue (x;y;z) qui sont les coordonnées de notre point M tout simplement.

En espérant que cela éclaircisse un peu les choses en tout cas. Essaie autant que faire se peut de revenir à des choses connu, l'espace n'est pas si compliqué que cela en fait, il faut juste bien écrire les choses et surtout surtout prendre son temps pour les écrire et faire ce que tu fais c'est à dire remettre en cause tout ce qui est écrit pour bien comprendre les choses en profondeur et non en superficie. Car l'espace si on plante un raisonnement, on risque de se retrouver avec des choses bizarre à terme.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est toujours pas claire!

Salut, merci pour ta réponse !

Citation :

Impossible !!! Voyons, un peu de rigueur! Le premier système à trois équations et le second n'en a plus que deux, il ne peuvent pas être équivalent sauf si tu as démontré qu'un ligne pouvait s'écrire comme un combinaison linéaire des deux autres c'est à dire par exemple que L3= a*L1 + b*L2. Mais tu n'as pas démontré cela ici et par conséquent, il n'y a pas possibilité d'équivalence.

Deux système sont équivalents sont on peut passer de l'un à l'autre par des opération élémentaire c'est à dire une substitution ou une combinaison linaires entre les lignes.

Et bien justement j'ai obtenu le deuxième système en faisant des opérations des opérations élémentaires sur les lignes (que j'ai d'ailleurs détaillées un peu plus haut !).
Et au final, comment résoudre ce système alors et déterminer l'equation paramétrique de la droite qui est leur intersection !?

De plus, j'ai deux autres questions que j'avais oublié de poser :

1) Soit le système suivant :

-x+y+z=3
3x+3y-z=-1
2x+y-z=-4

Si j'ajoute la première ligne et la deuxième, j'obtiens x+2y=1
si j'ajoute la première et la troisième ligne j'obtiens x+2y=-1. or 1 différent de -1. Pourquoi ne peut-on pas déduire de cette contradiction que ce système ne possède pas de solution ?? Car en fait il en possède (ça se vérifie graphiquement).



2) Considerons le système de 3 équations à 4 inconnues suivant :

a+3b-c+d=0
3a+6b-2c+d=0
4b+d=0

(les a, b, c et d sont en fait les coefficients de l'equation d'un plan de la forme : ax+by+cz+d=o)
on trouve :

a=d
b=-d/4
c=5d/4

Pourquoi peut-on fixer arbitrairement une valeur au paramètre d pour finir la résolution ?

Merci d'avance.

Pourquoi peut-on fixer

Bonsoir,

Ton détail se limite à deux agissements sur les trois lignes. Or dans la recopie, il n'y a plus que deux lignes ce qui sous-entendrait qu'il n'y avait que deux lignes au début ce qui est inexacte. Si on veut garder l'équivalence, il faut écrire:

{x-2y+3z=3
{2x+3y-2z=6
{4x-y+4z=12

<=>

{7x+5z=21
{7y-8z=0
{4x-y+4z=12

par exemple.

Pour avoir la paramétrisation d'une droite, il suffit d'écrire deux variables en fonction de la troisième tout simplement. Par exemple, tu peux tout exprimer en fonction de z. Ce qui devrait te donner la nullité de la dernière ligne si tout se passe bien et du coup, tu vas bien avoir démontré que le système avait une ligne de trop (on dit qu'il était surdéterminé). Ensuite, on peut conclure, en posant z=t et tu auras ainsi une paramétrisation de ta droite mais tu peux aussi poser z=7t (ce qui sera plus commode au niveau de l'écriture du vecteur directeur par exemple).


Sinon:

Citation :

Si j'ajoute la première ligne et la deuxième, j'obtiens x+2y=1
si j'ajoute la première et la troisième ligne j'obtiens x+2y=-1. or 1 différent de -1. Pourquoi ne peut-on pas déduire de cette contradiction que ce système ne possède pas de solution ?? Car en fait il en possède (ça se vérifie graphiquement).

On déduit qu'il y a une contradiction !!! C'est évident. Deux lignes égales pour l'une à 1 et pour l'autre à -1 est une contradiction. Donc le système n'a pas de solution. Es-tu vraiment sûr que les plans se coupent en une unique droite ou un unique point? Car c'est ça que veut dire ton système c'est à dire que si le système à des solutions c'est que les plans sont sécants. Or trois plan sont sécants soit en un unique point soit en une unique droite. S'il y a deux droites d'intersection, le système n'aura pas de solution tout simplement.

Enfin:

Citation :

(les a, b, c et d sont en fait les coefficients de l'equation d'un plan de la forme : ax+by+cz+d=o)
on trouve :

a=d
b=-d/4
c=5d/4

Pourquoi peut-on fixer arbitrairement une valeur au paramètre d pour finir la résolution ?

Pour s'en convaincre, remplace a, b et c dans l'équation. Tu vas constater une simplification par d ce qui nous dit simplement que la valeur de d n'entrera pas en compte dans l'équation du plan.

En effet, l'équation ax+by+cz+d=0 définie le même plan que l'équation t*a*x + t*b*y + t*c*z + t*d =0 pour tout t non nul.

Ainsi, si d est non nul et si je prend t=1/d j'obtiens que mon plan est aussi défini par: (a/d)*x + (b/d)*y + (c/d)*z + 1 =0

Est-ce plus clair ainsi ?

Bon courage!

Et bien je te remercie pour m'avoir éclairci sur ce sujet !

Je reviendrai sur ce post si je veux des détails.

Merci !