Coordonnées points intersections avec un plan

Bonjour . J'ai quelques difficultés sur un exercice de géométrie dans l'espace , je n'arrive en effet pas à trouver la chose qui me permettrait d'avancer dans la résolution de cette exercice . Je compte donc sur votre aide pour me mener vers la solution. En vous remerciant d'avance .
Voici l'énoncé :

Dans l'espace rapporté à un repère (O,i,j,k) , on considère les points A(1;1;2) et B(-2;-1;1) . Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite (AB) avec les plans (xOy) , (yOz) et (zOx) .


Je pense qu'il faut faire un système avec le vecteur AB mais je ne vois pas avec quelle équation .

Si vous pouviez me donner une piste ...

merci


Stephs

Bonjour et bienvenue parmi nous, Stephs!

L'espace pose toujours quelques soucis mais je pense que nous allons pouvoir avancer sans trop de problèmes.

On va considérer la première question qui est de déterminer l'intersection de la droite (AB) avec le plan (xOy).

Donc dans un premier temps, il faut savoir que pour trouver un point d'interection, il faut, le plus souvent, résoudre un système de plusieurs équation à plusieurs inconnues. Si on veut faire un parallèle avec le plan, trouver les coordonnées d'un point d'intesection de deux droites c'est résoudre le systèle composer des équations de chacune des droites.

Donc le plus difficile réside d'avoir les équations del a droite (AB) et du plan (xOy) dans le repère (O;i,j,k).

Alors déjà, le plan (xOy) a pour équation dans le repère considéré z=0. En effet, tout point M du plan (xOy) à pour coordonnées (x;y;0). Il nous reste le plus difficile à faire:

Déterminer l'équation de la droite (AB). Comment faire?

La première chose qu'il faut savoir c'est qu'une droite dans l'espace, c'est l'intersection de deux plans non parallèles. Mais ici nous n'allonsp as pouvoir utiliser cela directement, hélas.

Nous allons donc passer par une paramétrisation de cette droite. Rappel de cours:

Citation :

Dans le repère (O;i,j,k), soit v(a,b,c) un vecteur directeur de la droite (D) passant par A(x_A;y_A;z_A). Alors tout point M(x;y;z) appartient à (D) si et seulement si il existe t dans R tel que AM=t*v c'est à dire qu'il existe un réel t tel que:

x=x_A + a*t
y=y_A + b*t
z=z_A + c*t

A partir de là, je pense que tu vas pouvoir trouver la paramétrisation de la droite (AB). Et en ajoutant z=0, tu va en déduire la valeur de t pour lequel il y a intersectino avec le plan (xOy).

Est-ce que tu comprends la démarche que j'ai utilisé?

Merci pour l'accueil chaleureux . Pour votre explication , j'arrive à peu près à la suivre (même si la notion de paramétrisation m'est totalement inconnue ) mais j'ai encore une petite question dans la démarche .


Si l'on prend le cours que vous m'avez apporté et quel'on applique celui ci dans cet exercice , on se retrouve avec (reprenez moi si je me trompe ) :


AB = (-3;-2;-1) ce qui donne : x = -3 + a*t
y = -2 + b*t
0 = -1+ c*t

Si l'on procède à une substitution de deux lignes , on se débarasse certes de t mais il nous reste b et c(par exemple ) , ce qui me gêne pour finir le système .


Me suis-je trompé quelque part dans la démarche ou ai-je juste ommis un détail ?



Stephs

Alors pour répondre à ta première question, une "paramétrisation" est un mot barbare pour dire qu'on va exprimer chaque coordonnées à l'aide d'un paramètre. En l'occurrence ici j'exprime tout en fonction de mon paramètre t.

Ce qu'il faut retenir c'est d'où sort le t et cela vient de l'expression de la colinéarité de deux vecteur: AM=t*AB (si je me place dans notre exercice).

Ainsi tu vois qu'il y a une légère erreur dans ton système, vu que tu as remplacé les coordonnée du point A par les coordonnées du vecteur directeur AB ce qui pose un problème en effet.

Si je regarde le rappel que j'ai fait, le vecteur directeur v(a,b,c) ici c'est notre vecteur AB et le point de passage, nous pouvons prendre A ou B comme tu veux.

Bon je suis pas très pédagogique là, je vais reprendre directement à partir de ton exercice ça sera sans doute plus clair pour toi .

Alors, on cherche à exprimer l'équation de la droite (AB). Que savons-nous?

Nous savons que AB est un vecteur directeur de cette droite.
De plus, nous savons aussi que A appartient à la droite (AB).

Donc tout pour M de l'espace appartient à cette droite si et seulement si AM et AB sont colinéaires.
C'est à dire qu'il existe une réel t tel que: AM=t*AB

Or deux vecteurs sont égaux si et seulement si chaques coordonnées de celui sont égales.

En conclusion, M(x;y;z) appartient à (AB) si et seulement si AM=t*AB c'est à dire:
x-x_A=t*x_AB
y-y_A=t*y_AB
z-z_A=t*z_AB

Est-ce plus clair comme cela ?

Oui c'est beaucoup plus clair comme ca . Ainsi , si je suis vos instructions , on en arrive à :


z - 2 = t*-1
0 - 2 = t*-1
-2 = t*-1

Donc on trouve t = 2 .

Quand on l'applique aux autres formules :

y - 1 = 2 x -2
y - 1 = -4
y = -4 + 1
y= -3


On fait la même chose avec x :

x - 1 = 2 x -3
x - 1 = -6
x = -6 + 1
x = -5 .


Donc les points d'intersection sont ( -5 ; -3 ; 0 ) .


Est-ce que c'est ca?

C'est tout à fait ça en effet!

Après au niveau de la rédaction, je te conseille de mettre tout sous forme d'un système de 4 équations à 4 inconnus, cela sera un peu plus clair de raisonné ainsi. Mais en tout cas tout est juste.

Maintenant, il ne te reste plus qu'à trouver les deux autres points d'intersections avec les deux autres plans.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

Merci beaucoup pour cette aide =) . Puis-je poster le résultat des deux autres plans selon ta méthode ici pour une correction rapide?


Merci beaucoup en tout cas .



Stephs

Le forum est fait aussi pour cela. Nous corrigons et aidons aussi à la rédaction tout comme nous aidons à la résolution .

Donc voici ce que j'ai trouvé pour les deux autres plans .


Plan yOz :

x - 1 = t * -3
0 - 1 = t * -3
-1 = t * -3
d'où t = 1/3


On remplace dans les autres propositions :

y - 1 = 1/3 * -2
y - 1 = - 2/3
y = -2/3 + 3/3
y = 1/3


z - 2 = 1/3 * -1
z - 2 = - 1/3
z = - 1/3 + 6/3
z = 5/3


D'où ( 0 ; 1/3 ; 5/3) le point d'intersection .


Plan zOx :

y - 1 = t*-2
0 - 1 = t*-2
-1 = t*-2
d'où t = 1/2


On remplace dans les autres propositions :

x - 1 = 1/2*-3
x - 1 = - 3/2
x = - 3/2 + 2/2
x = - 1/2


z - 2 = 1/2*-1
z - 2 = - 1/2
z = -1/2 + 4/2
z = 3/2


Donc le point d'intersection est ( -1/2 ; 0 ; 3/2 ) .



Pas de fautes notables? :s

Bonsoir,

Tout est juste! Rien a redire pour ma part.

A retenir: Détermination d'une équation de droite dans l'espace. Car c'est ça qui fait marcher tout l'exercice.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!!

Je me permet de reposer une question en rapport avec l'équation d'une droite .


Si l'on a pas x , y ou z du plan = 0 , comment déterminer cette équation?

Car on resterait bloquer par exemple avec : y = t*3 (exemple au hasard bien sur ) .


Il manquerait donc la détermination du y . Comment pourrrais-je alors conclure pour trouver t?

En gros si le plan n'était pas un plan définie de façon trivial comment ferait-on?

Et bien, il faut savoir que nous avons un système de 4 équations à 4 inconnues (x,y,z,t). Donc il y a 3 possibilités:

*Si le vecteur directeur de la droite est parrallèle à un des vecteurs directeur du plan:

- si les coordonnées d'un point de la droite vérifient l'équation du plan. Alors la droite est dans le plan et à ce moment là, l'intersection ses la droite elle-même.

- si les coordonnées les coordonnées d'un point de la droite ne vérifient pas l'équatino du plan. Alors la droite est parallèle au plan et en-dehors de celui-ci. Donc il n'y a pas d'intersection (exemple: un droite de ton plafond par rapport au sol de la pièce, il n'y a pas de point commun donc l'intersection est vide).


*Maintenant, si on a un vecteur directeur de la droite qui n'est pas parallèle à un vecteur directeur du plan. A ce moment là, le système à forcément nue unique solution et il "suffit" de résoudre le système de 4 équations à 4 inconnues donc.


Cependant, rassure toi un peut tout de même, il est rare que cela tombe de façon brut dans un devoir surtout que tu n'as pas dû encore voir le produit scalaire. Donc dans tous les cas tu pars du principe qu'il y a une unique solution (sauf si tu as des données qui t'indique le contraire directement).

Tu résouds tranquillement ton système en remplaçant x,y et z en fonction de t dans l'équation du plan et ainsi tu en déduis la valeure de t si elle existe. Et si elle n'existe pas par exemple en remplaçant tu obtiens 0=0 et bien cela signifie que l'intersection est la droite entière et si tu obtiens quelque chose du type 1=0 et bien tu sais qu'il n'y a pas d'intersection.


Essayons avec cette exercice là. Je garde la même droite mais je cherche l'intersection avec le plan d'équation 2x-y+z=0

L'intersection existe-t-elle? Et si oui donner la forme (un point, une droite) et ses cordonnées (ou son équation si il s'agit d'une droite).

Eh bien pour moi il n'y a pas d'intersection , car si j'ai bien compris , A dans l'équation = 3 différent de 0 et B dans l'équation = 2 différent de 0 .

Ai-je bon?



En ce qui concerner ma question , je voulais surtout demander lorsque nous n'avons pas l'équation d'un plan .
Mais peut-être serait-il plus simple de poster l'exemple où je bloque si cela ne vous dérange pas ?

Le fait que A et B n'appartienne pas au plan signifie donc que la droite est soit complètement extérieur au plan soit qu'il y a un point d'intersection.

En fait, de façon assez automatique, il faut résoudre le système de 4 équation à 4 inconnues suivant:

x-1=-3*t
y-1=-2*t
z-2=-1*t
2x-y+z=0



Si je décrypte mon système, les trois première équation définisse ma droite et la dernière équation définie mon plan. Donc la résolution du système nous donne bien la recherche de l'intersectino entre la droite et le plan.

Maintenant quelle est la méthode poru s'en sortir à tous les coup?

Et bien, écrit ainsi, on constate que les 3 premières équations permettent d'exprimer x, y et z en fonction de t. Et cela me permet de remplacer x, y et z dans l'équation du plan pour avoir une équation qui ne dépend que de t. En effet, on a:

x=1-3t
y=1-2t
z=2-t
2*(1-3t) - (1-2t) + (2-t)=0

Donc en considérant seulement la dernière équation, j'obtiens:

2 - 6t - 1 + 2t + 2 - t = 0
Donc -5t + 3=0
D'où t= (-3)/(-5)=3/5

On obtiens une valeur de t et en remplaçant cette valeur dans les autres équation, je vais en déduire les coordonnéesdu point d'intersection de ma droite avec mon plan.


Alors un exemple du même type, si je te donne l'équation du plan x + y + z =0. Quel est l'intersection de la droite (AB) avec le plan si elle existe? (On pourra voir après un exemple qui pourrait te poser des problème poru conclure comme le plan d'équation x -2y +z=0 par exemple).

Est-ce plus clair au niveau de la méthode de résolution par rapport à l'explication théorique que j'ai fait à mon dernier post?

Sinon, si nous n'avons pas d'équation de plan, il ne va pas nous ne pouvons pas résoudre cette exercice de cette façon là à moins de pouvoir déduire l'équation d'un plan. Et si nous ne pouvons pas dédurie d'équation de plan, à ce moment là il s'agira d'un exercice de tracer je pense et il faudra réaliser l'intersection sur une figure donnée à ce moment comme l'exercice de section dans l'espace par exemple. Mais si il s'agit de section dans l'espace à partir d'une figure il serait plus judicieux en effet d'ouvrir un nouveau sujet car nous nous sommes plus sur une résolution par le calcul.

Bon courage!

Nous avons donc le système :


x-1 = -3*t
y-1=-2*t
z-2=-1*t
x+y+z=0

x = 1 - 3t
y = 1 - 2t
z = 2 - 1t

1-3t + 1-2t +2-1t = 4 - 6t

d'où 6t = 4
t = 4/6
t = 2/3

C'est ca?


Une autre question . Dans un espace rapporté à un repère (O,i,j,k) , l'équation du plan est forcément x + y + z = 0 ?

C'est tout à fait ça. Ensuite, il ne reste plsuqu'à remplacer t par sa valeur pour déduire x, y et z et ainsi avoir les coordonnées du point d'intersection du plan avec la droite.

Un plan dans un repère à toujours une équation du type a*x + b*y + c*z = 0 avec (a,b,c) un triplet de réels dont au moins un n'estp as nul (sinon nous aurions 0=0 qui n'a pas d'intérêt ).

En espérant avoir répondu à toutes tes question jusqu'à maintenant. Sinon, l'autre équation de plan uej e te donnais x -2y +z=0, nous donne une intersection vide avec la droite (AB) car ne remplaçant par leur valeur en t dans cette équation on aboutit à 1=0 ce qui n'est pas possible donc la droite (AB) est parallèle au plan et ne fait pas partie de celui-ci.

Bon courage pour la suite!

Oui tout est plus clair maintenant =) . Merci beaucoup encore et encore , votre aide est fabuleuse .